橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程鹿城中學(xué)田光海一、教案背景：1. 面向?qū)ο螅?高中二年級(jí)學(xué)生2. 學(xué)科： 數(shù)學(xué)3. 課時(shí)： 2課時(shí)4. 教學(xué)內(nèi)容： 高中新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)北師大版選修 1-1 第二章圓錐曲線與方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 二. 教材分析本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時(shí)， 它是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方 程，對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解， 對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有 了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線。 橢圓的學(xué)習(xí)可 以為后面研究雙曲線、 拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。 因此這節(jié)課 有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一。1. 教法分析結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、 探究合作。 在

2、學(xué)生的生活體 驗(yàn)、直觀感知、知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)概念，為學(xué)生 數(shù)學(xué)思想方法的形成打下基礎(chǔ)。利用多媒體課件 , 精心構(gòu)建學(xué)生自主 探究的教學(xué)平臺(tái) ,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察 , 想象,思考,實(shí)踐,從而發(fā)現(xiàn)規(guī) 律、突破學(xué)生認(rèn)知上的困難，讓學(xué)生體驗(yàn)問題解決的思維過程，獲得 知識(shí), 體驗(yàn)成功。主要采用探究實(shí)踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合。2. 學(xué)法分析從知識(shí)上看， 學(xué)生已掌握了一些橢圓圖形的實(shí)物與實(shí)例， 對(duì)曲線 和方程的概念有了一些了解， 對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步的認(rèn) 識(shí)。從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看， 通過一年多的學(xué)習(xí)， 學(xué)生已具備了一 定的觀察事物的能力， 積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn)， 在一定程度上具

3、備了抽象、概括的能力和語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生頭腦中雖有一些橢圓的實(shí)物實(shí)例， 但并沒有上升為“概念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學(xué)描述 如何“定 性”“定量”地描述橢圓是學(xué)生關(guān)注的問題，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問題。 他們渴望將感性認(rèn)識(shí)理性化， 渴望通過自己動(dòng)手作圖、 觀察來辨析和 完善概念， 通過對(duì)比產(chǎn)生頓悟， 渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心向是學(xué)生 學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ)。3. 教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能： 掌握橢圓的定義；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程， 掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程。過程與方法： 經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程， 逐步提 高學(xué)生的觀察、分析、歸納、類

4、比、概括能力；通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的 推導(dǎo)，進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法坐標(biāo)法， 并滲透數(shù)形結(jié) 合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 通過課堂活動(dòng)參與， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生審美情趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。4. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)： 橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式難點(diǎn)： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)教學(xué)方法5. 教學(xué)準(zhǔn)備通過百度搜索與橢圓有關(guān)的圖片資料， 利用百度搜索相關(guān)的教學(xué)資料制作多媒體課件，自制教具：繪圖板、圖釘、細(xì)繩。三、教學(xué)過程教學(xué) 環(huán) 節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng) 設(shè) 情 景 引 入 新 課情景 1： 用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在 水平桌面上， 截面為

5、圓形當(dāng)端起水杯喝水時(shí)， 水杯傾斜，再觀察水平面，此時(shí)截面為橢圓 形（演示）問題 1： 聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形情景 2：?jiǎn)栴} 2： （1）圓是怎么畫出來的 （2）圓的定義是什么 （3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式的學(xué)生觀察學(xué)生舉例 學(xué)生思考 后回答。引入生活 情境激發(fā) 學(xué)生的學(xué) 習(xí)欲望，自 然引入新 課，同時(shí)與 其實(shí)際相 聯(lián)系，拓寬 學(xué)生思維，猜想： 1、橢圓是怎么畫出來的 2、橢圓的定義是什么 3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么形式發(fā)展他們 聯(lián)想、類比 能力。使學(xué)生在 感嘆祖國(guó) 科技輝煌 發(fā)展的氛 圍中認(rèn)識(shí) 橢圓。用類比的 思想，通過 已經(jīng)學(xué)過 的圓的知 識(shí)猜想橢 圓，開展后 續(xù)教學(xué)?；ヌ骄?1同桌同

6、學(xué)給學(xué)生提動(dòng)將圓心從一點(diǎn) “分裂”成兩點(diǎn)，給你兩個(gè)圖釘，按照老師供一個(gè)動(dòng)探一根無彈性的細(xì)繩，一張紙板，能畫出橢圓嗎的要求合手操作，合究讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，使其探究性學(xué)習(xí)，作畫圖，并作學(xué)習(xí)的形再提出以下問題：思考軌跡機(jī)會(huì)；通過成思考 1：在紙板上作圖說明什么上的點(diǎn)具實(shí)驗(yàn)讓學(xué)概思考 2：在作圖過程中，有哪些物體的位備什么特生去探究念置沒變有哪些量沒有變點(diǎn)。“滿足什思考 3：若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬?duì)位置，所得展示學(xué)生么樣的條到的圖形有何變化成果。請(qǐng)學(xué)件下的點(diǎn)根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢圓定義與兩個(gè)生代表本的集合為定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)（繩長(zhǎng)）的點(diǎn)的軌跡為小組交流橢圓”；讓橢圓（繩長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)

7、生成軌跡的全過程，印證猜想探究結(jié)論：每個(gè)人都 動(dòng)手畫圖， 自己思考 問題，由此 培養(yǎng)學(xué)生 的自信心。探究 2利用動(dòng)使學(xué)生經(jīng)互在繩長(zhǎng)不變的情況下，改變兩個(gè)圖釘之間畫顯示結(jié)歷橢圓概動(dòng)的距離，畫出的橢圓有何變化果念的生成探當(dāng)兩個(gè)圖釘重合在一起時(shí)，畫出的圖形是學(xué)生通過和完善過究什么課件觀察程，提高其深當(dāng)兩個(gè)圖釘之間的距離等于繩長(zhǎng)時(shí)，畫出變化情況歸納概括化的圖形是什么請(qǐng)學(xué)生給能力，加深概當(dāng)兩個(gè)圖釘之間固定，能使繩長(zhǎng)小于兩個(gè)出經(jīng)過修對(duì)橢圓本念圖釘之間的距離嗎改的橢圓質(zhì)的認(rèn)識(shí)，定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 距離的和等于常定義并逐漸養(yǎng)數(shù)（大于 ）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。 教師指出： 這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢M 圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)學(xué)生

8、思考后回答成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)的距離叫橢圓的焦距。思考 1： 焦點(diǎn)F為1的橢圓上任F一2 點(diǎn) M，有什么性質(zhì)令橢圓上任一點(diǎn) M，則有，補(bǔ)充：若 時(shí)，軌跡是線段 ；若 時(shí)，無軌跡。思考 2：剛才在畫圖時(shí)， 大家的繩長(zhǎng)是一樣的， 但是畫出的橢圓一樣嗎橢圓的圓扁程度與什 么有關(guān)F1、F2位置越近橢圓愈圓， F1、F2 位置越遠(yuǎn)橢圓 越扁研前面我們已經(jīng)得到橢圓的定義，那么由橢學(xué)生回答充分發(fā)揮討圓定義，我們能不能推導(dǎo)出橢圓的方程。學(xué)生先獨(dú)學(xué)生的學(xué)探問題 3：求曲線方程的一般步驟是什么立思考，之習(xí)主動(dòng)性。究建系、取點(diǎn)；列式；代換；化簡(jiǎn)；后全班交通過坐標(biāo)推證明流，確定最系的不同導(dǎo)下面由同學(xué)根據(jù)這兩個(gè)問題分組討論

9、橢圓后的解決選擇，用不方方程的求法。（ 1）要建立橢圓方程應(yīng)該如何方案，然后同的方法程建立坐標(biāo)系分工合作，得到不同（ 2）橢圓上動(dòng)點(diǎn) M滿足什么條件共同完成，的方程，通尤其在化簡(jiǎn)過程中，對(duì)于根式的處理，學(xué)生會(huì)之后再交過比較體感到困難，教師進(jìn)行提示。流。會(huì)曲線的（把學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程的具有代表性的方法，學(xué)生思考方程的不在實(shí)物展臺(tái)上投影。）后主動(dòng)發(fā)確定性，理問題： 通過對(duì)比學(xué)生求出橢圓各種形式的方言回答。解曲線與程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律哪一種方程最簡(jiǎn)潔以上三條，方程的關(guān)22方程 x2 y2 1（ a b 0 ）（）叫做橢圓的標(biāo) ab盡量由學(xué)系，感受恰準(zhǔn)方程。 它表示焦點(diǎn)在 x 軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（ c

10、,0），F(xiàn)2（c,0） ，其中 c2 a2 b2生總結(jié)出當(dāng)選擇坐標(biāo)系的優(yōu) 越性，感受22y2 x2 1（ a b 0 ），它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn) ab標(biāo)準(zhǔn)方程方程。的簡(jiǎn)潔、對(duì)此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上，稱、和諧之焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1(0, c) F2(0, c) ，其中 c2 a2 b2美，并在實(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，以上兩種方案是最好的。踐中通過問：觀察一下焦點(diǎn)分別在 x 軸、y 軸上的橢圓對(duì)比提高的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何根據(jù)方程判斷其焦點(diǎn)在 x 軸決策能力、上還是在 y 軸上（ 看分母大小，哪個(gè)分母大焦計(jì)算能力、點(diǎn)就在哪一條軸上 ）培養(yǎng)學(xué)生說明：簡(jiǎn)約的思（1） 在兩個(gè)方程中，總有 ab0維能力。(2) 橢圓的三個(gè)

11、參數(shù) a、b、c 滿足：c2 a2 b2 即 a2 b2 c2，a 最大(3) 要分清焦點(diǎn)的位置，只要看 x2和 y2的分母22的大小。例如橢圓 x y 1( m 0，n 0，m n ) mn當(dāng) m n 時(shí)表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓； 當(dāng) m n 時(shí) 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓。培養(yǎng)學(xué)生 的觀察、分 析歸納能 力。例 1. 適合x2下列y2 條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程bx2 ay2 1 (a b0)(1)a=4 ， b=1，焦點(diǎn)在 x 軸15(2)a=4 ，c= 3125 ，5焦點(diǎn)2在 y軸3上2 5 22a ( 23)2 (25 2)2( 23)2 (25 2)2例(3) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是( 0，

12、-22)和(2 0， 2)題并且經(jīng)過點(diǎn)(，)培養(yǎng)學(xué)生研解:(1) 因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x 軸上, 所以設(shè)所求方程為運(yùn)用知識(shí)討22 a=4x2,b=1y2 1,(a b 0) a2 b2學(xué)生獨(dú)立解決問題變所求方程為2完成學(xué)生能力式(2) 因?yàn)榻裹c(diǎn)在 y 軸16上 ,y所以1設(shè)所求方程為討論解決情景精 a=4,b=1設(shè)置中的析x2 y2所bx2求方ay2程為1 (a b 0)問題(3) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在 y 軸上, 所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)2 y2方程為x 2 16 1由橢圓的定義知 ,所以所求橢圓方程為例 2. 我國(guó)發(fā)射的神舟八號(hào)飛船變軌前， 是在以 地心 F2 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行， 已知它 的近地點(diǎn) B

13、距地面 200 公里，遠(yuǎn)地點(diǎn) A距地面 330 公里，并且 F2、A、B在同一直線上，地球 半徑約為 6371km，求軌道方程 （精確到 1km）。練習(xí)檢測(cè)當(dāng)堂鞏固x 2 y 21、如果橢圓 xy1上一點(diǎn) P 到焦點(diǎn) F1距100 36離是 6，則點(diǎn) P 到另一個(gè)焦點(diǎn) F2 距離是。2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 （0，2），（0，-2 ）， 橢圓經(jīng)過點(diǎn) P（ 3, 5）22（2）a+b=10,c= 2 5學(xué)生練習(xí)檢測(cè)學(xué)習(xí)成果總 結(jié) 概 括 課 后 提 升最后進(jìn)行課堂小結(jié)，先由學(xué)生小組討論，再個(gè) 別提問，然后集體補(bǔ)充，最后教師才引導(dǎo)和完 善。師生應(yīng)共同歸納本節(jié)所學(xué)

14、內(nèi)容、知識(shí)規(guī)律 以及所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法。這一節(jié)課你收獲到了什么布置作業(yè)層次 11. 教材練習(xí)題練習(xí) B 第二題2. 你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點(diǎn)學(xué)生總結(jié)出在知 識(shí)、數(shù)學(xué) 思想等方 面的收獲擺脫傳統(tǒng) 教學(xué)中教 師小結(jié)的 做法，以 表格形式 出現(xiàn)，讓 學(xué)生自己 總結(jié)，加 深對(duì)本節(jié)嗎作圖的依據(jù)是什么根據(jù)你的作圖方法，能 找到與之相應(yīng)的方法求出橢圓方法嗎 層次 2 課后利用深入的對(duì)橢圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了 解。課內(nèi)容的 認(rèn)識(shí) 層次 1 的 目的是強(qiáng) 化鞏固本 節(jié)內(nèi)容 層次 2 的 目的是激 發(fā)學(xué)生學(xué) 習(xí)的興 趣，提高 數(shù)學(xué)文化 品位。六、板書設(shè)計(jì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)1、橢圓的定義2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）、焦點(diǎn)在 x 軸上（2）、焦點(diǎn)在 y 軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程書寫例 1 ：例 2 ： （1）詳寫 （2）寫關(guān)鍵步驟七、教學(xué)反思本節(jié)課整個(gè)教學(xué)過程為：提出問題探索解決問題 歸納反思提高。在問題的設(shè)計(jì)中，從多角度探究，縱向挖掘知 識(shí)深度，橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計(jì)不但突出了重點(diǎn)，更 使難點(diǎn)的突破水到渠成。本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動(dòng)為載體，學(xué)生在自覺進(jìn)入問 題情境后，在問題的指引下和老師的指導(dǎo)下，通過實(shí)踐、探索、體 驗(yàn)、反思等活動(dòng)把探究活動(dòng)層層展開、步步深入，親身經(jīng)歷知識(shí)的