探究關(guān)于勾股定理的那點事

1、探究：關(guān)于勾股定理的證明的那點事在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”（Pythagoras Theorem ）。數(shù)學公式中常寫作 a2+b2=c2勾股定理（又稱商高定理，畢達哥拉斯定理）是一個基本的幾何定理，早在中國商代就由商高發(fā)現(xiàn)。據(jù)說畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理 ”。勾股定理指出：直角三角形兩直角邊（即 “勾”“股”）邊長平方和等于斜邊（即 “弦 ”）邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a 和 b ，斜邊為c ，那么a2+b2=c2(

2、為了編輯省時，以下“a2”用“ a2 ”代替 )勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400 種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理其實是余弦定理的一種特殊形式。我國古代著名數(shù)學家商高說：“若勾三，股四，則弦五。”它被記錄在了九章算術(shù)中。勾股數(shù)組滿足勾股定理方程a2+b2=c2的正整數(shù)組 (a,b,c) 。例如 (3,4,5)就是一組勾股數(shù)組。由于方程中含有3 個未知數(shù)，故勾股數(shù)組有無數(shù)多組。勾股數(shù)組的通式：a=m2-n2b=2mnc=m2+n2(mn,m,n為正整數(shù)）推廣1、如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩直角邊看作在平面直角坐標系坐標軸上的投影，則可以從另一個角度考察勾股定理

3、的意義。即，向量長度的平方等于它在其所在空間一組正交基上投影長度的平方之和。2、勾股定理是余弦定理的特殊情況。勾股定理定理如果直角三角形兩直角邊分別為a， b，斜邊為c，那么a2+b2=c2; ；即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。古埃及人利用打結(jié)作Rt如果三角形的三條邊 a ，b ，c 滿足 a2+b2=c2; ，還有變形公式： A B= 根號（ AC2+BC2 ），如：一條直角邊是 3 ，另一條直角邊是 4 ，斜邊就是 33+44=xx ， x=5 。那么這個三角形是直角三角形。（稱 勾股定理的逆定理）勾股定理的來源畢達哥拉斯樹 是一個基本的 幾何定理 ，傳統(tǒng)上認為是由古希臘的畢達

4、哥拉斯所證明。據(jù)說畢達哥拉斯證明了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱 “百牛定理 ”。畢達哥拉斯在中國，周髀算經(jīng) 記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽 對周髀算經(jīng)內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明1 。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。常用勾股數(shù)(3,4 ,5);(6,8, 10);(5,12 ,13);(8,15,17)畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。畢達哥拉斯樹又因為重復數(shù)次后的形狀

5、好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形 面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積。利用不等式a2+b22ab 可以證明下面的結(jié)論：三個正方形之間的三角形 ，其 面積 小于等于大正方形面積的四分之一，大于等于一個小正方形面積的二分之一。常見的勾股數(shù)順序：勾，股，弦3，4 ， 56，8 ， 105，12 ， 137，24 ， 258，15 ， 179，40 ， 41勾、股、弦的比例1： 3： 2勾股數(shù)的介紹 察3 ，4 ， 5 ；5 ， 12 ，13 ； 7， 24 ， 25 ； 些勾股數(shù)都是奇數(shù)，且從 3 起就沒有 斷 。 算0.5 （ 9

6、-1 ）， 0.5 （9+1 ）與0.5 （ 25-1 ）， 0.5 （25+1），并根據(jù)你 的 律寫出分 能表示7，24 ， 25 的股和弦的算式。根據(jù)的 律，用 n 的代數(shù)式來表示所有 些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想他 之 的兩種相等關(guān)系，并 其中一種猜想加以 明。 察4 ， 3，5； 6 ，8， 10 ；8， 15 ，17 ；可以 各 的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4 起也沒有 斷 ，運用上述 似的探索方法，之 用m 的代數(shù)式來表示它 的股合弦。例一 直角三角形三 a、 b、 c，由勾股定理知a2+b2=c2， 是構(gòu)成直角三角形三 的充分且必要的條件。因此，要求一 勾股數(shù)就是要解不定方程x2+

7、y2=z2，求出正整數(shù)解。例：已知在ABC中，三 分 是a、 b、 c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n 1) ，求 ：C=90。此例 明了 于大于2 的任意偶數(shù)2n(n 1) ，都可構(gòu)成一 勾股數(shù)，三 分 是：2n 、 n2-1、n2+1。如：6 、8 、 10 ，8、 15 、17 ， 10 、 24 、 26 等 。例二再來看下面 些勾股數(shù)：3、4 、5 ，5、12 、13 ，7 、24 、25 ，9 、40 、 41 ， 11 、 60 、 61 些勾股數(shù)都是以奇數(shù) 一 構(gòu)成的直角三角形。由上例已知任意一個大于2 的偶數(shù)可以構(gòu)成一 勾股數(shù)， 上以任意一個大于1 的奇數(shù) 2n+1

8、(n 1) 為邊也可以構(gòu)成勾股數(shù)，其三邊分別是2n+1 、2n2+2n 、2n2+2n+1 ，這可以通過勾股定理的逆定理獲證。觀察分析上述的勾股數(shù)，可看出它們具有下列二個特點：1 、直角三角形短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個連續(xù)自然數(shù)。2、一個直角三角形的周長等于短直角邊的平方與短邊自身的和。掌握上述二個特點，為解一類題提供了方便題目 1直角三角形的三條邊的長度是正整數(shù)，其中一條短直角邊的長度是 13 ，求這個直角三角形的周長是多少？用特點1 解：設(shè)這個直角三角形三邊分別為13 、x、x+1，則有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周長=13+84+85=182。用特點

9、 2 解：此直角三角形是以奇數(shù)為邊構(gòu)成的直角三角形，因此周長 =169+13=182。勾股數(shù)的通項公式：題目 2已知a2+b2=c2,a,b,c均為正整數(shù)，求a,b,c滿足的條件.解答：結(jié)論1：從題目中可以看出,a+bc（ 1） , 聯(lián)想到三角形的成立條件容易得出。結(jié)論2： a2=c2-b2=(c+b)*(c-b)（ 2）從（2）中可以看出題目的關(guān)鍵是找出a2做因式分解的性質(zhì)，令X=c+b,Y=c-b所以：a2=X*Y,(XY,aY)（ 3）首先將Y 做分解，設(shè)Y 的所有因子中能寫成平方數(shù)的最大的一個為k=m2,所以Y=n*m2（4 ）又（3 ）式可知a2=X*n*m2（ 5）比較(5) 式兩

10、邊可以a 必能被m 整除,且n 中不可能存在素數(shù)的平方因子，否則與（4）中的最大平方數(shù)矛盾。同理可知a2=Y*n*m2（6 ），X=n*m2,且n 為不相同素數(shù)的乘積將（5）式與（6）式相乘得a2=(m*m)2*n*n,（ n,n為不相同素數(shù)的乘積）（ 7）根據(jù)（7）知n*n仍然為平方數(shù)，又由于n,n均為不相同素數(shù)乘積知n=n(自行證明，比較簡單）可知a=m*m*nc=(X+Y)/2=(n*m2+n*m2)/2=n*(m2+m2)/2b=(X-Y)/2=n*(m2-m2)/2a=m*n*m勾股數(shù)的常用套路所謂勾股數(shù)，一般是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個正整數(shù) (a,b,c)。即a2+b2=c

11、2,a,b,c N又由于，任何一個勾股數(shù)組(a,b,c)內(nèi)的三個數(shù)同時乘以一個整數(shù)n 得到的新數(shù)組(na,nb,nc)仍然是勾股數(shù)，所以一般我們想找的是a,b,c互質(zhì)的勾股數(shù)組。關(guān)于這樣的數(shù)組，比較常用也比較實用的套路有以下兩種：第一套路當 a 為大于1 的奇數(shù)2n+1時，b=2*n2+2*n,c=2*n2+2*n+1。實際上就是把a 的平方數(shù)拆成兩個連續(xù)自然數(shù)，例如：n=1 時 (a,b,c)=(3,4,5)n=2時 (a,b,c)=(5,12,13)n=3時 (a,b,c)=(7,24,25).這是最經(jīng)典的一個套路，而且由于兩個連續(xù)自然數(shù)必然互質(zhì)，所以用這個套路得到的勾股數(shù)組全部都是互質(zhì)的

12、。第二套路2、當a 大于4 的偶數(shù)2n ，b=n2-1,c=n2+1也就是把 a 的一半的平方分 減1 和加1，例如：n=3時 (a,b,c)=(6,8,10)n=4時 (a,b,c)=(8,15,17)n=5時 (a,b,c)=(10,24,26)n=6時 (a,b,c)=(12,35,37). 是次 典的套路，當n 奇數(shù) 由于(a,b,c) 是三個偶數(shù)，所以 勾股數(shù) 必然不是互 的；而 n 偶數(shù) 由于b、 c 是兩個 奇數(shù)必然互 ，所以 勾股數(shù) 互 。所以如果你只想得到互 的數(shù) ， 條可以改成， 于a=4n(n=2),b=4*n2-1,c=4*n2+1，例如：n=2時 (a,b,c)=(8

13、,15,17)n=3時 (a,b,c)=(12,35,37)n=4時 (a,b,c)=(16,63,65). 充=Edward 充= 于N 因數(shù)比 多的和數(shù) 可以參照其 因數(shù) 行取相 的勾股數(shù) 充，即1 個N會有多 的勾股數(shù), 例如：n=9 （ a,b,c） =（9,24,25）or(9,12,15)-3*(3,4,5)n=12 （a,b,c） = (12,35,37)or(12,16,20)-4*（ 3,4,5）=ShangJingbo 充= 有 如此 的勾股數(shù)，20 、21 、29 ；119 、120 、169 ；696 、 697 、985；4059、 4060、5741；23660、

14、23661 、33461；1379031379041950258037608037611136689468465946846606625109已有三千年研究 史的勾股定理 有研究的空 ? 我用本文 探索。勾股 數(shù)的探索基礎(chǔ)1 定 ：凡符合X 2+Y2=Z 2公式的正整數(shù) 我 稱之 勾股數(shù)。X 和Y 是直角 ，Z 是斜 。2凡最大公 數(shù)大于1的勾股數(shù)我 稱之 派生勾股數(shù)，例30， 40， 50等；3最大公 數(shù) 1 的勾股數(shù)，例3 ，4， 5 ； 8 ，15， 17 等，我 稱之 勾股數(shù)。全是偶數(shù)的勾股數(shù)必是派生勾股數(shù)，三個奇數(shù)不可能符合定 公式。因此，勾股數(shù)唯一的可能性是：X 和Y 分 是奇數(shù)和

15、偶數(shù)（偶數(shù)和奇數(shù)），斜 Z 只能是奇數(shù)。特性4勾股數(shù)具有以下特性：斜 與偶數(shù) 之差是奇數(shù)奇數(shù)只能是某奇數(shù)的平方數(shù),例 1,9,25,49,，至無 大； 與奇數(shù) 之差是偶數(shù), 個偶數(shù)只能是某偶數(shù)平方數(shù)的一半, 個斜例 2，8， 18， 32，至無 大；推 出公式5 由以上定 我 推 出勾股公式：X = P 2 + PQ（ X等于P 平方加PQ）Y = Q2/ 2 + PQ（ Y 等于二分之Q方加PQ）Z = P 2 + Q 2 / 2 + PQ（ Z等于P 平方加二分之Q方加 PQ）6 此公式涵蓋了自然界的全部勾股數(shù)，包括部分派生勾股數(shù)。但不能涵蓋全部派生勾股數(shù)，如9 ，12，15 ；15，36

16、，39等。7 用此公式很容易 出全部勾股數(shù)，例如2000 以內(nèi)的勾股數(shù) 有320 組 , （不含派生勾股數(shù)）。最大的一 是315, 1972,19978 斜 是 1105 和 1885的勾股數(shù)各有4 ：47 ，1104 ，1105 264 ， 1073， 1105 576， 943， 1105744， 817， 1105 ；427 ，1836 ， 1885 1003， 1596， 18851643， 924， 1885 1813 ， 516，1885；9以任意奇數(shù)代入P ，任意偶數(shù)代入 Q ，即可得到唯一一組勾股數(shù)。例如 P = 5，Q = 8 ，得到X = 25 + 5 8 = 65Y =

17、32 + 5 8 = 72Z = 25+ 32 + 58 = 9710 它極清楚地顯示出了斜邊與偶數(shù)直角邊之差是奇數(shù)的平方，斜邊與奇數(shù)直角邊之差是偶數(shù)平方值的一半，而斜邊則是由奇數(shù)的平方與偶數(shù)平方的一半和此奇數(shù)與偶數(shù)之積三項之和所構(gòu)成。11 當P 與Q有公約數(shù)時，例如9 與12，再例如21 與28 等，推導出來的是派生勾股數(shù)；當 P 與Q無公約數(shù)時，例如9 與8，再例如21 與16 等，推導出來的是勾股數(shù)；12 不存在不符合本公式的勾股數(shù)。例如有人奉獻趣味勾股數(shù)88209，90288，126225，它實際是個派生勾股數(shù)，它是297，304，425乘297 倍而成，它是由P = 11和Q = 1

18、6導出。本文公式與前印度婆羅門笈多公式13本文所提供的公式是依據(jù)本文第4 條的兩條勾股數(shù)特性規(guī)律推導而出， 但是它可以與六百年前印度婆羅門笈多公式相互推導。14依據(jù)本公式勾股定理可從正整數(shù)拓展到負整數(shù)。在笛卡爾座標圖上，勾股三角形可以在更大的位置上顯現(xiàn)。編輯本段勾股數(shù)公式及證明證明a=2mnb=m2-n2c=m2+n2證：假設(shè) a2+b2=c2 ，這里研究 (a,b)=1的情況（如果不等于1則(a,b)|c，兩邊除以 (a,b) 即可）如果 a,b均奇數(shù)，則 a2 + b2 = 2(mod 4)（奇數(shù) mod4余 1），而 2 不是模4 的二次剩余，矛盾，所以必定存在一個偶數(shù)。不妨設(shè)a=2k等

19、式化為 4k2 = (c+b)(c-b)顯然b,c 同奇偶（否則右邊等于奇數(shù)矛盾）作代換： M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，顯然 M， N 為正整數(shù)現(xiàn)在往證： (M,N)=1如果存在質(zhì)數(shù) p，使得 p|M,p|N,那么 p|M+N(=c), p|M-N(=b),從而 p|c, p|b, 從而 p|a ，這與 (a,b)=1矛盾所以 (M,N)=1得證。依照算術(shù)基本定理， k2 = p1a1 * p2a2 * p3a3 * .，其中 a1,a2.均為偶數(shù)， p1,p2,p3.均為質(zhì)數(shù)如果對于某個pi ， M的 pi 因子個數(shù)為奇數(shù)個， 那 N對應的 pi因子必為奇數(shù)個 （否則加起來不為

20、偶數(shù)），從而 pi|M, pi|N， (M,N)=pi1與剛才的證明矛盾所以對于所有質(zhì)因子 ,pi2|M, pi2|N，即 M， N 都是平方數(shù)。設(shè) M = m2,N = n2從而有 c+b = 2m2, c-b = 2n2，解得 c=m2+n2, b=m2-n2,從而 a=2mn關(guān)于勾股數(shù)的公式還是有局限目前，關(guān)于勾股數(shù)的公式還是有局限的。勾股數(shù)公式可以得到所有的基本勾股數(shù)，但是不可能得到所有的派生勾股數(shù)。比如3，4，5；6， 8， 10； 9， 12，15.，就不能全部有公式計算出來。編輯本段常用勾股數(shù)口訣記憶常見勾股數(shù)3， 4， 5 ： 勾三股四弦五5，12，13 ： 5 12 記一生6

21、，8， 10： 連續(xù)的偶數(shù)7， 24，25 ： 企鵝是二百五8，15， 17 ： 八月十五在一起特殊勾股數(shù)連續(xù)的勾股數(shù)只有 3， 4， 5連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有6， 8， 10最早的勾股定理應用從很多泥板記載表明， 巴比倫人是世界上最早發(fā)現(xiàn) “勾股定理 ”的，這里只舉一例。例如 公元前 1700 年的一塊泥板（編號為 BM85196 ）上第九題，大意為 “有一根長為 5 米的木梁（ AB ）豎直靠在墻上，上端（ A）下滑一米至 D。問下端（ C）離墻根（ B）多遠？ ”他們解此題就是用了勾股定理，如圖設(shè) AB=CD=l=5米， BC=a a=l-（ l- h)= 5-(5-1)=3， AD=h=

22、1米，則米，三角形BDCBD=l-h=5-1 米 =4 正是以 3 、4、 5米為邊的勾股三角形。周髀算經(jīng)中勾股定理的公式與證明周髀算經(jīng) 算經(jīng)十書 之一。約成書于公元前二世紀，原名周髀，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規(guī)定它為國子監(jiān)明算科的教材之一，故改名周髀算經(jīng)。首先，周髀算經(jīng)中明確記載了勾股定理的 公式 ： “若求邪至日者，以日下為句， 日高為股， 句股各自乘， 并而開方除之， 得邪至日 ”（周髀算經(jīng)上卷二）而勾股定理的證明 呢，就在周髀算經(jīng)上卷一2昔者 周公 問于 商高 曰： “竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度 夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請

23、問數(shù)安從出？”商高曰： “數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”周公對古代 伏羲 （包犧）構(gòu)造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請教商高數(shù)學知識從何而來。于是商高以勾股定理的證明為例，解釋數(shù)學知識的由來。周髀算經(jīng)證明步驟“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。 ”：解釋發(fā)展脈絡 數(shù)之法出于圓（圓周率 三）方（四方），圓出于方（圓形面積 =外接正方形*圓周率 /4 ），方出于矩（正方形源自兩邊相

24、等的矩），矩出于九九八十一（長乘寬面積計算依自九九乘法表）?！肮收劬兀詾榫鋸V三，股修四，徑隅五。”：開始做圖 選擇一個勾三（圓周率三）、股四（四方）的矩，矩的兩條邊終點的連線應為5（徑隅五）。“既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五?！保哼@就是關(guān)鍵的證明過程 以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據(jù)矩的弦外面再畫一個矩（曲尺，實際上用作直角三角），將“外半其一矩 ”得到的三角形剪下環(huán)繞復制形成一個大正方形，可看到其中有邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方三個正方形。“兩矩共長二十有五，是謂積矩?！保捍藶轵炈?勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等 從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面

25、積后為弦方，再是大正方形減去右上、左下兩個長方形面積后為勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出四個三角形面積等于右上、左下兩個長方形面積，所以勾方 +股方 =弦方。注意： 矩，又稱曲尺， L 型的木匠工具， 由長短兩根木條組成的直角。古代 “矩 ”指 L 型曲尺， “矩形 ”才是 “矩”衍生的長方形。 “既方之，外半其一矩 ”此句有爭議。清代四庫全書版定為 “既方其外半之一矩 ”，而之前版本多為 “既方之外半其一矩 ”。經(jīng)陳良佐 3 、李國偉 4 、李繼閔 5 、曲安京 1 等學者研究， “既方之，外半其一矩 ”更符合邏輯。長指的是面積。古代對不同維度的量綱比較，并沒有發(fā)明新的術(shù)語，

26、而統(tǒng)稱 “長 ”。趙爽注稱 : “兩矩者 , 句股各自乘之實。共長者 , 并實之數(shù)。由于年代久遠，周公弦圖失傳，傳世版本只印了趙爽弦圖（造紙術(shù)在 漢代 才發(fā)明）。所以某些學者誤以為商高沒有證明（只是說了一段莫名其妙的話），后來趙爽才給出證明。其實不然，摘錄趙爽注釋周髀算經(jīng)時所做的句股圓方圖 2 “句股各自乘 , 并之為弦實 , 開方除之即弦。案：弦圖 又可以句股相乘為朱實二 , 倍之為朱實四 , 以句股之差自相乘為中黃實 , 加差實亦成弦實。 ”趙爽弦圖注意 “案 ”中的 “弦 又可以 ”、“亦 成弦 ”，“又 ”“亦”二字表示 爽 勾股定理 可以用另一種方法 明，于是他 出了新的 明。下 爽

27、 明青朱出入圖三角形 直角三角形，以勾a 的正方形 朱方，以股b 的正方形 青方。以盈 虛，將朱方、青方并成弦方。依其面 關(guān)系有a2+b2=c2.由于朱方、 青方各有一部分在玄方內(nèi)，那一部分就不 了。以勾 的的正方形 朱方，以股 的正方形 青方。以盈 虛，只要把 中朱方（a2 ）的 I 移至 I ，青方的 II 移至 II ，III 移至 III ， 好拼好一個以弦 的正方形（c 2）由此便可 得a+b2=c2;伽菲爾德證明勾股定理的故事1876 年一個周末的傍晚，在美國首都 盛 的郊外，有一位中年人正在散步，欣 黃昏的美景，他就是當 美國俄亥俄州共和黨 伽菲爾德 。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的

28、一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？那個小男孩頭也不抬地說： “請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為 3 和 4，那么斜邊長為多少呢？ ”伽菲爾德答道： “是 5 呀。 ”小男孩又問道： “如果兩條直角邊分別為 5 和 7 ，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？ ”伽菲爾德不加思索地回答到： “那斜邊的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方 ” 小男孩說： “先生，你能說出其中的道理嗎？

29、 ”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。如下 :解：在網(wǎng)格內(nèi)，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等于以斜邊為邊長的的正方形面積。勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊 a、b 的平方和等于斜邊 c 的平方，a 的平方 +b 的平方 =c 的平方 ;說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾 ”，較長直角邊為 “股 ”，斜邊稱為 “弦 ”，所以把這個定理稱為“勾股定理 ”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系。舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則

30、斜邊 c 的平方 ;= a 的平方 +b 的平方 =9+16=25 即 c=5則說明斜邊為 5。勾股定理的多種證明方法這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學眾多定理中最多的。路明思（ Elisha Scott Loomis ）的 Pythagorean Propos ition （ 畢達哥拉斯命題） 一書中總共提到 367 種證明方式。有人會嘗試以三角恒等式（例如： 正弦 和余弦 函數(shù)的 泰勒級數(shù) ）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環(huán)論證 ）。證法 1（梅文鼎證明）作四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a

31、、b，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E 、F在一條直線上.過 C 作AC的延長線交DF于點P.D、 E、 F在一條直線上, 且 RtGEFRtEBD, EGF= BED， EGF+ GEF= 90， BED+ GEF= 90， BEG=180 90= 90又AB= BE= EG= GA= c ， ABEG 是一個邊長為 c 的正方形 . ABC + CBE = 90 Rt ABC Rt EBD, ABC= EBD. EBD+ CBE= 90即 CBD=90又 BDE= 90， BCP= 90，BC= BD = a. BDPC 是一個邊長為 a 同理， HPFG 是一個邊長

32、為設(shè)多邊形 GHCBE 的面積為的正方形 .b 的正方形 .S，則, BDPC 的面積也為 S，HPFG 的面積也為 S 由此可推出： a2 +b2=c2證法 2（項明達證明）作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a 、b（ ba ） ，斜邊長為 c. 再做一個邊長為 c 的正方形 . 把它們拼成如圖所示的多邊形，使 E 、A、 C 三點在一條直線上 .過點 Q 作 QP BC ，交 AC 于點 P.過點 B 作 BM PQ ，垂足為 M；再過點F 作 FN PQ ，垂足為 N. BCA= 90， QP BC ， MPC= 90， BM PQ ， BMP= 90， BCPM 是一個

33、矩形，即 MBC = 90. QBM+ MBA= QBA= ， ABC+ MBA= MBC= 90， QBM= ABC ，又 BMP= 90， BCA= 90，BQ= BA= c， Rt BMQ Rt BCA.同理可證RtQNF RtAEF. 即 a2+b2=c2證法 3（趙浩杰證明）作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a 、b（ ba ） ，斜邊長為 c. 再做一個邊長為 c 的正方形 . 把它們拼成如圖所示的多邊形 .分別以 CF ， AE 為邊長做正方形 EF=DF-DE=b-a， EI=b ，F(xiàn)CJI和AEIG ， FI=a ， G,I,J 在同一直線上， CJ=CF=a

34、 ， CB=CD=c ， CJB = CFD = 90， Rt CJB Rt CFD ，同理， Rt ABG Rt ADE， Rt CJB Rt CFD Rt ABG Rt ADE ABG= BCJ, BCJ+ CBJ=90, ABG+ CBJ=90, ABC=90, G,B,I,J 在同一直線上，所以 a2+b2=c2證法 4（歐幾里得證明）作三個邊長分別為a、b、c 的三角形， 把它們拼成如圖所示形狀，使 H 、C、 B 三點在一條直線上，連結(jié)BF 、 CD.過 C 作 CL DE ，交 AB 于點 M，交 DE 于點 L.AF= AC ， AB= AD ， FAB = GAD ， FAB

35、 GAD，F(xiàn)AB 的面積等于，GAD 的面積等于矩形ADLM的面積的一半，矩形 ADLM 的面積=.同理可證，矩形MLEB 的面積=.正方形 ADEB 的面積= 矩形 ADLM 的面積 + 矩形 MLEB 的面積 即 a 的平方 +b 的平方 =c 的平方證法 5( 歐幾里得的證法)幾何原本中的證明在歐幾里得 的 幾何原本 一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設(shè) ABC 為一直角三角形，其中A 為直角。從A 點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所

36、夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS 定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等于其二邊長的乘積（據(jù)輔助定理3 ）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉(zhuǎn)換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個同等面積的長方形。其證明如下：設(shè) ABC 為一直角三角形，其直角為CAB 。其邊為BC 、 AB 、和 CA ，依序繪成四方形 CBDE 、BAGF 和 ACIH 。 畫出過點 A 之 B D、 CE 的平行線。此線將分別與 BC 和 DE 直角相交于 K、 L。 分別連接 CF 、AD ，形成兩個三角形 BCF 、B

37、DA 。 CAB 和 BAG 都是直角，因此 C、 A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、 A 和 H。 CBD 和 FBA 皆為直角，所以ABD 等于 FBC 。 因為 AB 和BD 分別等于FB 和 BC ，所以 ABD必須相等于 FBC 。 因為A 與 K 和 L 是線性對應的，所以四方形BDLK必須二倍面積于ABD 。 因為 C、 A 和 G 有共同線性，所以正方形BAGF 必須二倍面積于 FBC 。 因此四邊形 BDLK必須有相同的面積BAGF= AB2。 同理可證，四邊形CKLE必須有相同的面積ACIH =AC2 。把這兩個結(jié)果相加，AB2+AC2; = BD BK + KLKC 由于 BD=KL ， BDBK + KLKC = BD(BK+ KC) = BDBC由于 CBDE 是個正方形，因此AB2+ AC2=BC2 。 此證明是于歐幾里得幾何原本一書第1.47節(jié)所提出的證法