導(dǎo)數(shù)大題題型總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)大題解得1某堆雪在融化過程中，其體積V （單位： m3 ）與a 1,V融 化 時 間 t （ 單 位 ： h ） 近 似 滿 足 函 數(shù) 關(guān) 系 ：1b.2V (t)H (101 t)3 （ H 為常數(shù)），其圖象如圖所示 . 4 分10記 此 堆 雪 從 融 化 開 始 到 結(jié) 束 的 平 均 融 化 速 度 為1 x2（）由（）得f ( x)ln x，定義域v(m3/ h) . 那么瞬時融化速度等于v(m3/ h) 的時刻2是圖中的（）為 (0,) Ot1 t2t 3t4100t11 x2此 時x =. 令f ( x)（ A） t1（B ） t2（ C） t3xx（ D ） t4f (

2、x) 0 ， 解 得 0x 1 ， 令 f (x)0 ， 得2函數(shù)f ( x)x3ex 的極值點(diǎn) x0，曲線 y f ( x) 在 點(diǎn) ( x0 , f ( x0 ) 處 的 切 線 方 程是 .3已知函數(shù)f ( x)a ln xbx 2 ， a ， bR .1（） 若 f (x) 在 x1 處與直線 y 相切，求 2a ， b 的值；（）在（）的條件下，求f ( x) 在 1 ,e 上的e最大值；（）若不等式f ( x)x 對所有的 b(, 0 ，x (e,e2 都成立，求 a 的取值范圍 .解：（） f ( x)a2bx .x由函數(shù) f ( x) 在 x1 處與直線1y2f (1)0,a2

3、b 0,相切，得1即1f (1).b.22x1 所以 f ( x) 在（ 1 ，1）上單調(diào)遞增， 在（ 1，ee ）上單調(diào)遞減，所 以f ( x) 在 1 ,e上 的 最 大 值 為ef (1)12 8 分（ ） 若 不 等 式 f ( x)x 對 所 有 的b ( , 0 ， x (e,e2 都成立，即 a ln x bx2x 對 所 有 的b ( , 0 ， x (e,e2 都成立，即 a ln xxbx2 對所有的 b (, 0 ，x(e,e 2 都成立，即 a ln x x 0對x (e,e2 恒成立 11 分即 ax對 x(e,e2 恒成立，ln x即 a 大于或等于x 在區(qū)間 (e

4、,e2 上的ln x最大值令 h( x)x， 則 h (x）=ln x1ln x(ln x)2 ， 當(dāng)x (e,e2 時， h ( x)0 ， h(x) 單調(diào)遞增，所以 h( x)x， x(e,e2 的最大值為ln xh(e2 )e2即 ae222所以a的取值范圍是 e2,)214 分4已知函數(shù)f ( x)x2ex （）求f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（ ） 證 明 ：x1 ， x2 (,0 ，4f ( x1 )f ( x2 )e2 ；（）寫出集合 xR f (x)b0 （ b 為常數(shù)且 bR ）中元素的個數(shù)（只需寫出結(jié)論）解：（） f ( x)x( x2)ex 令f()x(x2)ex0，則 x1

5、2，xf ( x)00+-f (x)極極大小所 以 函 數(shù) f ( x) 的 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 為( 2,0) ，單調(diào)遞增區(qū)間為(, 2) , (0,) 4 分（）證明：由（）知f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (, 2)，單調(diào)遞減區(qū)間為( 2,0) ，所以當(dāng)x(,0時，f ( x)最大值 = f (2)4e2因為當(dāng) x(,2 時， f ( x)0 ，f (0) 0 ，所以當(dāng)x(,0時，f ( x)最小值 = f (0) 0所以 f ( x)最大值 - f ( x)最小值 =4 e2所 以 對x1， x2( ,0， 都 有f ( x1 ) f (x2 )f (x) 最大值 -f (x)最小

6、值 =4e2 10 分（）當(dāng) b0 時，集合 xR f ( x)b0的元素個數(shù)為 0；當(dāng)b0或4時 ，集合x2 0 be2x( , 2) 2 ( 2,0) 0(0, ) x R f ( x)b0 的元素個數(shù)為1；當(dāng) b4時，集合 xR f (x)b0e2的元素個數(shù)為2；x4當(dāng)0b時，集合e2f ( x) xR f ( x)b0的元素個數(shù)為3 13 分f ( x)5已知函數(shù) f ( x)a ln x1 (aR) .x（ ）當(dāng) a2 時 ， 求曲 線 yf ( x) 在點(diǎn)(1, f (1) 處的切線方程；（）如果函數(shù) g( x)f ( x)2 x 在 (0,)上單調(diào)遞減，求 a 的取值范圍；（）當(dāng)

7、 a0時，討論函數(shù) yf (x) 零點(diǎn)的個數(shù)解：（ ）當(dāng) a2時， f (x)2lnx1， f (1)1，x所以 f21，f(1)1 (x)x2x所以切線方程為yx 3 分（）因為 g ( x)f ( x)2x在 (0,) 上單調(diào)遞減，等價于 g (x)a12 0在xx2(0,) 恒成立，變形得 a2x1(x0) 恒成立，x而 2x12 2x122xx（當(dāng)且僅當(dāng) 2x1，即 x2x時，等2號成立）所以a2 2 8 分（） f( x)ax 1x2令 f ( x)0 ，得 x1a(0, 1 )1( 1 , )aaa0極小值所以f ( x)min = f ( 1 ) = aln 1aa(1ln a)

8、 aa（）當(dāng) 0ae時， f ( x)min0 ，所以 f (x) 在定義域內(nèi)無零點(diǎn)；（）當(dāng)ae 時， f ( x)min 0 ，所以f ( x) 在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；（）當(dāng) ae時， f (x)min0 ， 因為 f (1)10 ，所以 f ( x) 在增區(qū)間 ( 1 ,) 內(nèi)有唯一零點(diǎn)；a1 f (a(a2ln a) ，2 )a2設(shè) h( a)a2ln a ，則 h (a) 1，a因為 ae，所以 h ( a) 0，即 h(a) 在(e, ) 上單調(diào)遞增，所以 h(a)h( e)0 ，即 f ( 12 )0 ，1a所以 f ( x) 在減區(qū)間 (0,) 內(nèi)有唯一的零點(diǎn)a所以 ae 時

9、f ( x) 在定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn)綜上所述：當(dāng)0ae時， f ( x) 在定義域內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng) ae時， f (x) 在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；當(dāng) ae時， f (x) 在定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn) 13 分6已知函數(shù)f ( x) x35 x2ax b ,2g( x) x37 x2ln x b ，（ a ， b 為常數(shù)）2（） 若 g(x) 在 x1 處的切線過點(diǎn)(0 ,5) ，求b 的值；（）設(shè)函數(shù)f (x) 的導(dǎo)函數(shù)為f (x) ，若關(guān)于 x 的方程 f ( x)xxf ( x) 有唯一解，求實數(shù) b的取值范圍；（）令 F ( x)f (x)g( x) ，若函數(shù) F (x) 存在極值，且所有極值之和大

10、于5 ln 2 ，求實數(shù) a 的取值范圍解 ：（ ） 設(shè) g( x) 在 x1 處 的 切 線 方 程 為y kx 5 ，因為g ( x)3x27 x1 , g (1) 11 ，x所 以 k11 ， 故 切 線 方 程 為y11x5 .當(dāng) x1 時 ， y6 ， 將 (1,6)代入g(x) x37 x2ln x b ，2得3b23 分（） f x3x25xa ，由題意得方程x35 x2ax b 3x35x2ax x 有 唯2一解，即方程 2x35 x2x b 有唯一解令 h(x) 2 x35 x2x ，則2h (x)6x25x1(2 x1)(3x1) ，所以 h( x) 在區(qū)間 (,1),(1 , )23上是增函數(shù)，在區(qū)間( 1 ,1) 上是減函數(shù) .231)11)7，又 h(, h(54283故實數(shù) b 的取值范圍( ,7 ) U ( 1 ,) 54 8 8 分（ ） F ( x)ax x2ln x,所 以2x2ax 1.F ( x)x因 為 F (x)存 在 極 值 ， 所 以2 x2ax 10 在 (0,) 上有根，F(xiàn) ( x)x即 方 程 2x 2ax 1 0 在 (0,) 上 有根，則有=a280 .顯然當(dāng)=0 時， F ( x) 無極值，不合題意；所以方程必有兩