天津大學(xué)最優(yōu)化歷年試題

1、20032008工程與科學(xué)計算歷屆試題類型1. 直解法例 1. 用列主元素 Gauss 消去解下列線性方程組(結(jié)果保留 5 位小數(shù))0.7 29x01 0.8 10x02 0.9 00x03 0.6 8 671.0 0 0x01 1.00 0x02 1.00 0x03 0.8 33 81.33 1x01 1.2 10x02 1.10 0x03 1.0 0001 12 例 2. 設(shè)線性方程組 Ax b,其中 A 12 1313 14求 Cond （A） ，并分析線性方程組是否病態(tài)2. 迭代法例 1. 設(shè)線性方程組 Ax b 為22x1111x22， 022x32寫出求解線性方程組的 Jacobi

2、 迭代格式，并確定當(dāng) 取何值時 Jacobi 迭代格式收斂 . 例 2. 寫出求解線性方程組 Ax b 的 Seidel 迭代格式，并判斷所寫格式的收斂性，其中 Ax b 為3x1 2x3 62x2 x3 82x1 x2 2x3 53. 插值 例 1. 已知 100 10, 121 11, 144 12,1）試用二次插值多項式計算115 的近似值（數(shù)據(jù)保留至小數(shù)點(diǎn)后第 5 位）2）估計所得結(jié)果的截斷誤差（數(shù)據(jù)保留至小數(shù)點(diǎn)后第5 位）例 2. 由下列插值條件x12467f (x)41011求 4 次 Newton 插值多項式 , 并寫出插值余項 .4. RungeKutta 格式例 寫出標(biāo)準(zhǔn) R

3、unge Kutta 方法解初值問題 2的計算格式y(tǒng) xy 2y sinxy(0) 1,y(0) 1word 可編輯 .5. 代數(shù)精度 例 1. 數(shù)值求積公式形如1xf ( x)dx S(x) A0f(0) A1 f (1) A2 f (0) A3f (1)試確定其中參數(shù) A1, A2 , A3, A4 ,使其代數(shù)精度盡量高 , 并確定代數(shù)精度 .例 2. 驗證數(shù)值求積公式02 f(x)dx A0f(1 35) A1f (1) A f2(1 35)是 Gauss 型求積公式 .6 Romberg 方法1例 對積分 1 x2 dx，用Romberg方法計算積分的近似值， 誤差不超過 10 5并將

4、結(jié)果填 入下表(結(jié)果保留至小數(shù)點(diǎn)后第五位) .kT2kS2kC 2kR2k012347證明(1)設(shè) (x) 為 a, b上關(guān)于權(quán)函數(shù) (x)的n次正交多項式，以(x) 的零點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)建立Lagrange 插值基函數(shù) li (x) ，證明：b b 2a (x)li(x)dx a (x)li (x)2dx, i 1,2, ,n aa證明: 設(shè) n 次正交多項式 (x) 的零點(diǎn)為 x1,x2, xn ，則以這 n 個零點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)建立的2Lagrange插值基函數(shù) li(x),i 1,2 ,n是 n-1次多項式， li(x) 是 2n-2次多項式 . 故 當(dāng) f (x) 取 li(x) 和 li(x) 時

5、 Gauss型求積公式n(x) f (x)dxAk f(xk)k1等號成立 , 即n(x)li(x)dxAkli (xk) Aik1word 可編輯 .nb 2 2a (x)li2(x)dxAkli2(xk ) Aia k 1b b 2則有(x)li(x)dx(x)li (x)2dx, i 1,2, ,naa2)對線性方程組 Ax b，若 A是n階非奇異陣， b 0，x* 是 Ax b的精確解， x是Ax b 的近似解。記 r b Axx x* r 證明： xx*xCondA br證明：由于 x*是 Ax b的精確解，則 A x b， r b Ax Ax Ax A(x x) 又 A是 n 階非

6、奇異陣，則 x x A 1rxxA 1rA 1 r ，且 b Ax A x ，則 xbA故 x x* 故x*A1 rA 1 A r CondA rb AA 1 A b CondA b(3)初值問題 y ax b, y(0) 0有解 y(x) 21ax2 bx，若 xn nh， yn是用 Euler 格式解得的 y(x)在 x xn 處的近似值，證明： y(xn) yn 12 ahxn .證明：記 f(x,y) ax b, f (xn,yn) fn，且 y(0) 0， xn nh Euler格式為yn 1 yn hf (xn,yn) 則有yn yn 1 hfn 1 (yn 2 hfn 2) hf

7、n 1y0 hf0 hf1hfn 1h(ax0 b) h(ax1 b)h(axn 1 b)hb ah2 hb 2ah2 hb (n 1)ah2 hbn(n2 1)ah2 nhb 21 ax n2 21 ahx bxny(xn) yn 12 axn2 bxn ( 12 axn2 bxn 12ahxn) 12 ahxn .(4)設(shè) A Cn n為非奇異陣，試證：線性方程組 Ax b的數(shù)值解可用 Seidel 迭代方法求 得.word 可編輯 .證明：因為 A為非奇異矩陣，故 Ax b與 ATAx AT b是同解方程組，而 AT A正定，則Seidel格式收斂，即用 Seidel 方法一定能求得 A

8、x b的解.5)試導(dǎo)出求解初值問題yf(x, y), a x by(a) y0的梯形格式，并證明用梯形格式解初值問題y y 0 y(0) 1所得數(shù)值解為 yn2h2h證明 將 y f(x,y) 在 xn,xn1 上積分, 得xn 1y(xn 1) y(xn) x f(x,y(x)dx.將右端的積分用梯形公式計算其近似值 , 并用 yn,yn1分別代替 y(xn),y(xn 1),h得 yn 1 ynf(xn,yn) f(xn 1,yn1)2將 f (x,y)y 代入梯形公式y(tǒng)n 1yn h2 ( ynyn 1) , 則有 ynyn 1 h2 ( yn 1 yn )得yn2hy2 h yn12

9、h 22 h yn 2n2hy02 h 0因為 y0 1, 得 yn2 h n2h.6)設(shè) f C4 x0 ,x2 ,hx2 x0 , x1 x0 h，證明2f (x1) 12 f (x0) 2f (x1) f (x2) h f (4)( ),(x0,x2)h212證明： f (x) 的二次 Lagrange 插值多項式及余項形式為(x x0)(x x1) (x2 x0)(x2 x1)(x x1)(x x2 )(x x0)(x x1)f (x) f (x0)1 2f (x1)0 1f(x2)0 (x0 x1)(x0 x2) 1 (x1 x0)(x1 x2 )2f()3!(x x0 )(x x1

10、)(x x2),(x0,x2)word 可編輯 .其二階導(dǎo)數(shù)為f (x) f(x0)f(x1)f (x2)(4)(x0 x1)(x0 x2 )(x1 x0 )(x1 x2)(x2 x0 )(x2 x1)f (5)( 2) 2f (4)( 1)2 (x x0)(x x1)(x x2)1 (x x0)(x x1)( x x2)5! 4!f()(x x0 )(x x1)(x x2 ) , , 1, 2 (x0,x2 )3!注意到 hx2 x0x1 x0 h，有222f (x1) f (x0) 2 f (x1) 2 f (x2) 22h h 2hf(5)( 2)0 2f(4)( 1)( h2)f () 0, , 1,2(x0,x2)5! 4!3! 12 0 2即1h2(4)f (x1)2f(x0) 2f(x1) f(x2)f (4)( ),(x0,x2)h212(7)證明求積公式0 f(x)dx59f(1 35 ) 89 f(1)95 f (135)是穩(wěn)定的 .y f(x,y) a x b( 8)設(shè)初值問題中的 f 區(qū)域 D 上關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，y(a)y0yn 1 yn h(K 1 3K 2)4證明：格式K1f(xn ,yn ) 是收斂的 .22Knf(xn 23h,yn 32hK1)33倒數(shù)第三題，求 A0、A1、A2 參數(shù)的那道題，前面積