大一線性代數(shù)期末試題及答案

1、誠信應(yīng)考 , 考試作弊將帶來嚴(yán)重后果！ 線性代數(shù)期末考試試卷及答案 注意事項(xiàng)： 1. 考前請(qǐng)將密封線內(nèi)填寫清楚； _業(yè) _專 院 學(xué) 號(hào) 學(xué) ) 題 答 不 內(nèi) 線 封 密 ( 2. 所有答案請(qǐng)直接答在試卷上 (或答題紙上 ) ； 3 考試形式：開(閉)卷； 】 A. BACB. ABC C . BCA D. CAB 2.設(shè) n階方陣 A滿足 A2 E =0，其中 E是 n階單位矩陣，則必有【 A. 矩陣 A不是實(shí)矩陣B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.設(shè) A為 n階方陣，且行列式 det(A)= 1 , 則det(-2A)= A. 2B.2 nC. 4.設(shè) A為 3階方

2、陣，且行列式 det(A)=0 ，則在 A的行向量組中 A. 必存在一個(gè)行向量為零向量 B. 必存在兩個(gè)行向量，其對(duì)應(yīng)分量成比例 C. 存在一個(gè)行向量，它是其它兩個(gè)行向量的線性組合 D. 任意一個(gè)行向量都是其它兩個(gè)行向量的線性組合 名姓 5設(shè)向量組 a1,a2 ,a3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是 A a1 a2,a2 a3,a3 a1 B. a1,a2 ,2a1 3a2 C. a2 ,2a3,2a2 a3 D. a1a3,a2,a1 6.向量組 (I): a1, ,am(m 3) 線性無關(guān)的充分必要條件是 A. (I) 中任意一個(gè)向量都不能由其余 m-1 個(gè)向量線性表出 B. (I)

3、中存在一個(gè)向量 ,它不能由其余 m-1 個(gè)向量線性表出 C. (I) 中任意兩個(gè)向量線性無關(guān) D.存在不全為零的常數(shù) k1, ,km,使k1a1kmam 0 7設(shè) a為 m n矩陣，則 n元齊次線性方程組 Ax 0存在非零解的充分必要條件是 【】 A A 的行向量組線性相關(guān)B. A 的列向量組線性相關(guān) C. A 的行向量組線性無關(guān)D. A 的列向量組線性無關(guān) a1x1 a2 x2 a3 x3 0 8.設(shè) ai 、 bi均為非零常數(shù)( i=1，2，3)，且齊次線性方程組1 1 2 2 3 3 b1x1 b2 x2 b3x3 0 的基礎(chǔ)解系含 2 個(gè)解向量，則必有 【 】 10. 設(shè)1，2，3 是

4、齊次線性方程組 Ax = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 則下列向量組中也為該方 A. a1 a2 0 B. a1 a2 a1 a2 a3 a1 a3 0 0 C. 1 2 3 D. b2 b3 b1 b2 b1 b2 b3 b1 b2 2x1 x2 x3 1 9. 方程組 x1 2x2 x3 1 有解的充分必要的條件是 【 】 3 x1 3x2 2x3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系的是 A. 可由 1，2，3 線性表示的向量組 B. 與 1， 2，3等秩的向量組 C.12，2 3，31 D. 1， 1- 3， 1- 2- 3 11. 已知非齊次

5、線性方程組的系數(shù)行列式為 0， A. 方程組有無窮多解 B. 方程組可能無解， 也可能有無窮多解 C. 方程組有唯一解或無窮多解 D. 方程組無解 階方陣 A 相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是 A有 n 個(gè) A.互不相同的特征值 B. 互不相同的特征向量 C.線性無關(guān)的特征向量 D. 兩兩正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空間 Rn 的子空間的是 A. (a1,a2, ,an) |a1a2 0 B. ( a1,a2 , 【 n ,an ) | ai 0 i1 C. ( a1,a2, ,an)|ai 14.若 2階方陣 A相似于矩陣 1 0-1 0 A. B. 1 41 -4 0 C. -

6、2 0 D. 4 -1 0 -2 -4 z,i 1,2, ,n D.(a1,a2, ,an)| ai 1 1 0 i 1 B ,E 為 2 階單位矩陣 , 則方陣 EA 必相似于矩陣 2 -3 【】 1 0 0 15. 若矩陣 A 0 2 a 正定 , 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 0 a 8 A a 4 C a -4D -4 a 4 、填空題 (每小題 2 分，共 20分)。 1 -1 3 2 0 T T 16 設(shè)矩陣 A ,B , 記AT為 A的轉(zhuǎn)置，則 ATB= 2 0 1 0 1 1 2 T 17 設(shè)矩陣 A 則行列式 det( AAT )的值為. 2 1 3 4 8 18 行列式 5 9

7、 1 的值為 . 7 2 6 19 若向量組 a1 (1,2,3), a2 (8, t, 24 ), a3 ( 0, 0, 1 )線性相關(guān)，則常數(shù) t =. 20. 向量組( 10， 20)，(30，40)， (50，60)的秩為. 21. 齊次線性方程組 x1 x2 x3 0 的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為 2x1 x2 3x3 0 22. 已知 x1 (1, 0, 2)T 、 x2 (3, 4, 5)T 是 3 元非齊次線性方程組 Ax b的兩個(gè)解向 量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程 Ax 0 有一 個(gè)非零解 = . 1 2 3 23. 矩陣 A 0 2 3 的全部特征值為 0 0 3 24設(shè)是 3階

8、實(shí)對(duì)稱矩陣 A的一個(gè)一重特征值， 1 (1, 1, 3)T、2 (4, a,12)T是 A的屬于特征值的特征向量，則實(shí)常數(shù) a= 25. 二次型 f (x1,x2,x3) 2 2 2 x1 4x1x2 4x2 8x1x3 x3 對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣 A= 三、計(jì)算題 (，共 50 分) 0345 25計(jì)算行列式 -3 4 1 0 的值。 0 2 2 -2 6 -2 7 2 1 11 26設(shè) A0 1 1 , 且 A2 AB E,其中 E是三階單位矩陣 ,求矩陣 B。 0 01 x1 2x2 3 27a 取何值時(shí)，方程組 4x1 7x2 x3 10 有解？在有解時(shí)求出方程組的通解。 x2 x3 a

9、28設(shè)向量組 a1,a2,a3線性無關(guān)。試證明： 向量組 1 a1 a2 a3, 2 a1 a2, 3 a3 線性無關(guān)。 29試證向量組 a1 (1,0,1),a2 (1,1,0),a3 (0,1,1)為 R3的一組基， 并求向量 x (2,2,2) 在該組基下的坐標(biāo)。 2007 線性代數(shù)考試試題 B 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 、單項(xiàng)選擇題（本大題共 20小題，每小題 2 分，共 40分） 14. C 15. D 、填空題（本大題共 10 空，每空 3 分，共 30分） 16. 17. 9 18. -360 19. 16 20. 2 21. 1 T（或它的非零倍數(shù) ） 23. 1 、2、3 1 -2

10、 4 24. 4 25. -2 4 0 4 0 1 22.(2,4,3) 三、計(jì)算題（每小題 6 分，共 30分） 034 26. D 341 022 0 6 9 5 0 2 2 345 32 2 -2 692 4 分96. 8分 27. 解:由于 A2 AB E,因此 AB E, 又 A 1 0,故 A可逆, 2分 1 1 1 1 1 1 0 2 2 所以 B A A 1 0 1 1 0 1 1 0 0 2 0 01 0 0 1 0 0 0 A2 120 0 -1 1 3 -2 故當(dāng)且僅當(dāng) a=2 時(shí)，有解。 8分 28 A 2分 0 0 0 a-2 當(dāng)a 2時(shí)，得 x1 x3 32 2xx

11、22 （x是任意）， 3 所以 x 0 2 2 8分 1 （k是任意常數(shù) ） 1 x11 2 x3 x2 2 x3 (x3任意), 即 x 1 2k 0 2 1 1 (k是任意常數(shù) ). 8 分 29證一：設(shè)有一組數(shù) x1, x2 ,x3使 x1 1 x2 2 x3 3 0, 2分 即 ( x1 x2 )a1 (x1 x2 )a2 (x1 x3 )a3 0 由 a1,a2 , a3線性無關(guān)， 有 x1 x2 0 x1 x2 0 2分 x1x3 0 該方程組只有零解 x1 x2 x3 0 故 1, 2, 3 線性無關(guān)。 6 分 證二：因 a1,a2, a3線性無關(guān)， 1, 2, 3用 a1,a2,a3線性表出的系數(shù)行列式 111 1 - 1 0 001 11 1 - 1 2 0 故線性無關(guān)。 (若只證明 0，不強(qiáng)調(diào) a1,a2, a3線 性無關(guān)這一條件 , 就得出 2 , 3 線性無關(guān)的結(jié)論，扣 2 分)。故命題得證。 8 分 30證明：令