球的體積和表面積推導(dǎo)過程（經(jīng)典實(shí)用）

1、人教人教A版高中數(shù)學(xué)必修版高中數(shù)學(xué)必修2微課系列微課系列 R 33 24 :,. 33 VRVR 半半球球 猜猜測(cè)測(cè)從從而而 ?V 半半球球 3 1 3 VR 圓圓錐錐 3 3 3 VR 圓圓柱柱 高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比 球的體積球的體積 學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先 來回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法來回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法 我們把一個(gè)半徑為我們把一個(gè)半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新的圓分成若干等分，然后如上圖重新 拼接起來，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是拼接起來，把一個(gè)圓

2、近似的看成是邊長(zhǎng)分別是.RR 和和 的的矩矩形形 2 .R 那那么么圓圓的的面面積積就就近近似似等等于于 當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無 窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式 下下面面我我們們就就運(yùn)運(yùn)用用上上述述方方法法導(dǎo)導(dǎo)出出球球的的體體積積公公式式 即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，并部分，再求出每一部分的近似體積，并 將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變?yōu)闊o窮變?yōu)闊o窮 大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積大

3、的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積 分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和 問題問題:已知球的半徑為已知球的半徑為R,用用R表示球的體積表示球的體積. 2 1 ,rRR 22 2 () , R rR n 22 3 2 () , R rR n A O B2 C2 A O O R (1) R i n i第第 層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的半半徑徑： 22 (1) ,1, 2,. i R rRiin n i r O A 若每小塊表面看作一個(gè)平面若每小塊表面看作一個(gè)平面,將每小塊平面作為底面將每小塊平面作為底面,球心作為球心作為 頂點(diǎn)便得到頂點(diǎn)便得到n個(gè)棱錐個(gè)棱錐,這些棱錐體積之和近似為

4、球的體積這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)當(dāng)n越大越大, 越接近于球的體積越接近于球的體積,當(dāng)當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)就精確到等于球的體積趨近于無窮大時(shí)就精確到等于球的體積. 球的表面是曲面球的表面是曲面,不是平面不是平面,但如果將表面平均分割成但如果將表面平均分割成n個(gè)小塊個(gè)小塊, 每小塊表面可近似看作一個(gè)平面每小塊表面可近似看作一個(gè)平面,這這n小塊平面面積之和可近似看小塊平面面積之和可近似看 作球的表面積作球的表面積.當(dāng)當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)趨近于無窮大時(shí),這這n小塊平面面積之和接近于小塊平面面積之和接近于 甚至等于球的表面積甚至等于球的表面積. 球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖

5、求球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求 出，出，如何求球的表面積公式呢如何求球的表面積公式呢?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,是否是否 也可借助于這種也可借助于這種極限極限思想方法思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢來推導(dǎo)球的表面積公式呢? 下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式 球的表面積球的表面積 第一步：分割第一步：分割 球面被分割成球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為： 123, , n SSSS ， 則球的表面積：則球的表面積： 123n SSSSS 則球的體積為：則球的體積為

6、： i V 設(shè)設(shè)“小小錐錐體體”的的體體積積為為 i V 123n VVVVV i S O O O O 第二步：求近似和第二步：求近似和 i h 由第一步得：由第一步得： 123n VVVVV 112233 1111 3333 nn VShShShSh 1 3 iii VSh O O i S i V O O 第三步：化為準(zhǔn)確和第三步：化為準(zhǔn)確和 1 3 ii VS R 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小錐體小錐體” 就越接近小棱錐就越接近小棱錐 23 1111 3333 in VS RS RS RS R 23 11 (.) 33 in RSSSSRS 3 4 3 VR 又又球球的的體體積積為為： R i S O Oi V 23 4 41 , 33 RRSSR 從從而而 i hR 的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑