空間直線的一般方程（經(jīng)典實(shí)用）

1、空間直線的一般方程 x y z o 1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線 0: 11111 DzCyBxA 0: 22222 DzCyBxA 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 空間直線的一般方程空間直線的一般方程 L 一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程 注：表示同一直線的一般方程不唯一。注：表示同一直線的一般方程不唯一。 第八節(jié)第八節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程 空間直線的一般方程 確定空間直線的條件確定空間直線的條件 由兩個(gè)平面確定一條直線；由兩個(gè)平面確定一條直線； 由空間的兩點(diǎn)確定一條直線；由空間的兩點(diǎn)確定一條直線；

2、 由空間的一點(diǎn)和一個(gè)方向來確定一條直線。由空間的一點(diǎn)和一個(gè)方向來確定一條直線。 空間直線的一般方程 x y z o 方向向量的定義：方向向量的定義： s L ,),( 0000 LzyxM 設(shè)設(shè)定定點(diǎn)點(diǎn) 0 M M ,),(LzyxM sMM 0 / ,pnms , 0000 zzyyxxMM 二、空間直線的參數(shù)方程與對(duì)稱式方程二、空間直線的參數(shù)方程與對(duì)稱式方程 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于 一條已知直線一條已知直線L L，向量，向量 稱為稱為 直線直線L L的的方向向量方向向量 s s , 000 pnmtzzyyxx 則則 整理發(fā)布整理發(fā)布 空間直線的一般方程 直線的對(duì)稱式方

3、程直線的對(duì)稱式方程 p zz n yy m xx 000 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù) 方向向量的余弦稱為直線的方向向量的余弦稱為直線的方向余弦方向余弦. 直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程 消去參數(shù)消去參數(shù)t，有，有 空間直線的一般方程 注：注：1. 表示同一直線的對(duì)稱方程不唯一；表示同一直線的對(duì)稱方程不唯一； 2. 對(duì)稱式方程可轉(zhuǎn)化為一般方程對(duì)稱式方程可轉(zhuǎn)化為一般方程 ; 4. 任一條直線均可表示為對(duì)稱式方程任一條直線均可表示為對(duì)稱式方程. ),(),( 222111 zyxNzyxM直直線線過過直直線線的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)式式方方程程：設(shè)設(shè) 121212

4、,zzyyxxs 則則 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx 直直線線方方程程為為： p zz n yyxx 000 0 . 3 . , 00 0 p zz n yy xx 理解為理解為: 空間直線的一般方程 例例1 1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線 . 0432 01 zyx zyx 解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn) ),( 000 zyx 取取1 0 x, 063 02 00 00 zy zy 解得解得2, 0 00 zy 點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 空間直線的一般方程 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平

5、面的法向量都垂直 取取 21 nns ,3, 1, 4 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程, 3 2 1 0 4 1 zyx 參數(shù)方程參數(shù)方程. 32 41 tz ty tx 空間直線的一般方程 例例 2 2 一一直直線線過過點(diǎn)點(diǎn))4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因?yàn)闉橹敝本€線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B 取取 BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程. 4 4 0 3 2 2 zyx 空間直線的一般方程 定義定義 直線直線 : 1 L, 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx 直線直線

6、 : 2 L, 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 | ),cos( pnmpnm ppnnmm LL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角） 兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式 三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角 空間直線的一般方程 兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系： 21 )1(LL , 0 212121 ppnnmm 21 )2(LL/ , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 直線直線 : 1 L 直線直線 : 2 L ,0, 4, 1 1 s ,1 , 0 ,

7、 0 2 s , 0 21 ss , 21 ss 例如，例如， . 21 LL 即即 空間直線的一般方程 例例 4 4 一一直直線線 L 過過點(diǎn)點(diǎn)(-3,2,5)，且且和和直直線線 152 34 zyx zx 平平行行， 求求其其方方程程. 解解 所求直線方程所求直線方程 . 1 5 3 2 4 3 zyx 1 , 3 , 4 512 401 21 kji nns 方法方法2:設(shè)設(shè) ,pnms 134052 04 , 21 pnm pnm pm nsns 1 , 3 , 4 s 取取 空間直線的一般方程 例例5 5 一直線過點(diǎn)一直線過點(diǎn)M0(2,1,3)， 且與直線， 且與直線L: 12 1

8、3 1 zyx 垂垂 直相交，求其方程直相交，求其方程. 取取4 , 1, 2 10 MkMs 所求直線方程所求直線方程 . 4 3 1 1 2 2 zyx 解解 設(shè)所求直線為設(shè)所求直線為l , 先求兩直線的交點(diǎn)。先求兩直線的交點(diǎn)。 L l M1 M0 過點(diǎn)過點(diǎn)M0做平面垂直于直線做平面垂直于直線L： 3x+2y-z=5 代代入入平平面面方方程程的的參參數(shù)數(shù)方方程程： tz ty tx L21 31 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為 M1(2/7, 13/7, -3/7) 空間直線的一般方程 定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾 角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾

9、角 ,: 000 p zz n yy m xx L , 0: DCzByAx ,pnms ,CBAn 2 ),(ns 2 ),(ns 四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 0. 2 空間直線的一般方程 222222 | sin pnmCBA CpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式 直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1( . p C n B m A L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin 2 空間直線的一般方程 例例 6 6 設(shè)直線設(shè)直線:L 2 1 12 1 zyx ，平面，平面 : 32 zyx，求直線與平面的夾角，求直線與平面的夾角.

10、 解解,2, 1, 1 n ,2, 1, 2 s 222222 | sin pnmCBA CpBnAm 96 |22)1()1(21| . 63 7 63 7 arcsin 為所求夾角為所求夾角 空間直線的一般方程 稱稱為為平平面面束束。全全部部平平面面組組成成的的平平面面族族定定義義：通通過過一一條條直直線線的的 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA L： 0)()( 2222211111 DzCyBxADzCyBxA L 束束為為的的全全部部平平面面組組成成的的平平面面則則過過直直線線 不同時(shí)為零。不同時(shí)為零。， 21 0)()( 22221111 DzCyBxADz

11、CyBxA L 的的面面束束為為則則過過直直線線 五、平面束五、平面束 空間直線的一般方程 例例7 7 解解 . 4 0128 4 , 04 05 : 角的平面方程角的平面方程組成組成 且與平面且與平面求過直線求過直線 z yx zx zyx 過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為 , 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即 .1 , 5 ,1 n 其其法法向向量量 .8, 4, 1 n 又已知平面的法向量又已知平面的法向量 空間直線的一般方程 由題設(shè)知由題設(shè)知 1 1 4 cos nn nn 222222 )1(5)1()8()4(1 )8()1()4(51)1

12、( , 272 3 2 2 2 即即由此解得由此解得. 4 3 代回平面束方程為代回平面束方程為 . 012720 zyx 空間直線的一般方程 例例8 8 解解 . 12 43 : , 1 2 :)1 , 1 , 1( 2 10 L xz xy L xz xy LM 都都相相交交的的直直線線 且且與與兩兩直直線線求求過過點(diǎn)點(diǎn) 將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為 12 43:, 1 2: 21 tz ty tx L tz ty tx L 的的交交點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為與與設(shè)設(shè)所所求求直直線線 21, L LL ).12 , 43 ,()1,2 ,( 222111 tttBtttA和和 空間直線的一般方程 ,)1 , 1 , 1( 0 三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線與與BAM ).( 00 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)故故 BMAM 即有即有, 00 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)成成比比例例于于是是BMAM , 1)12( 1)1( 1)43( 12 1 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t , 0, 0 21 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 0 上上同在直線同在直線和和點(diǎn)點(diǎn)L