離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)（經(jīng)典實(shí)用）

1、一一、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 二、幾種常見的離散型隨機(jī)變量二、幾種常見的離散型隨機(jī)變量 三三、小結(jié)小結(jié) 第第2.22.2節(jié)節(jié) 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 及其分布函數(shù)及其分布函數(shù) 一、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 離散型離散型 (1)離散型離散型 若隨機(jī)變量所有可能的取值為有限個(gè)若隨機(jī)變量所有可能的取值為有限個(gè) 或可列無窮個(gè)，則稱其為離散型隨機(jī)變量或可列無窮個(gè)，則稱其為離散型隨機(jī)變量. 觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的可能值是的可能值是 : 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 連續(xù)型連續(xù)型 實(shí)例實(shí)例1 1, 2, 3

2、, 4, 5, 6. 非離散型非離散型 其它其它 實(shí)例實(shí)例2 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 記為記為 “連續(xù)射擊連續(xù)射擊, 直至命直至命 中時(shí)的射擊次數(shù)中時(shí)的射擊次數(shù)”, 則則 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1 實(shí)例實(shí)例3 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8, 現(xiàn)該射手射了現(xiàn)該射手射了30次次,則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X 記為記為“擊中目標(biāo)擊中目標(biāo) 的次數(shù)的次數(shù)”, 則則 X 的所有可能取值為的所有可能取值為: .30, 3, 2, 1, 0 實(shí)例實(shí)例2 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為“測量某零件尺寸時(shí)的測誤差測量某零件尺寸時(shí)的測誤差”. 則則 X 的

3、取值范圍為的取值范圍為 (a, b) 內(nèi)的任一值內(nèi)的任一值. 實(shí)例實(shí)例1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為“燈泡的壽命燈泡的壽命”. )., 0 (2)連續(xù)型連續(xù)型 若若隨機(jī)變量所有可能的取值可以連續(xù)隨機(jī)變量所有可能的取值可以連續(xù) 地充滿某個(gè)區(qū)間地充滿某個(gè)區(qū)間,則稱其為則稱其為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量. 則則 X 的取值范圍為的取值范圍為 說明說明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk . 1)2( 1 k k p . ., 2 , 1, , ,), 2 , 1( 的分布律的分布律量量稱此式為離散型隨機(jī)變稱此式為離散型隨機(jī)變 為為的概率的概率 即事件即事件取各個(gè)可能值的概率取各個(gè)可能值的概率 所

4、有可能取的值為所有可能取的值為設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 X kpxXP xX Xkx X kk k k 定義定義 離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為 n n ppp xxx X 21 21 X k p n xxx 21 n ppp 21 或或 例例1 1 設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞信號(hào)設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過四盞信號(hào) 燈燈. .每盞燈以每盞燈以 的概率禁止汽車通過的概率禁止汽車通過. .以以 表示汽車首次停下時(shí)已經(jīng)過的信號(hào)燈盞數(shù)（信表示汽車首次停下時(shí)已經(jīng)過的信號(hào)燈盞數(shù)（信 號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的），求號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的），求 的分布律

5、的分布律. . 01)pp（ X X 解：X的分布律為 X k p 01234 p (1)p p 2 (1)pp 3 (1)pp 4 (1)p xx k k pxXPxF)(分布函數(shù) 分布律 kk xXPp 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與其分布律之間的關(guān)系：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與其分布律之間的關(guān)系： 也就是：也就是： . )()( xxxx kk kk xXPpxXPxF 二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 只取只取0與與1兩個(gè)值兩個(gè)值 , 它的分布律為它的分布律為 1.兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 則稱則稱 X 服從服從 (0-1) 分布分布或或兩

6、點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布或或伯努利分布伯努利分布. X k p 0 p 1 1 p 兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有任何一個(gè)只有 兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是 女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)都屬于兩點(diǎn) 分布分布. 說明說明 2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 若若X的分布律為：的分布律為： 則則 nkqpCkXP knkk n 0,1,2, 稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,pn,p的的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布。記為。記為 ),(pnBX , ,其中其中q q1 1p

7、p 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 1 n 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 ?)20, 1 , 0( 20.20, 2 . 0 .1500 , 一級(jí)品的概率是多少一級(jí)品的概率是多少只只中恰有中恰有 只元件只元件問問只只現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查品率為品率為 級(jí)級(jí)已知某一大批產(chǎn)品的一已知某一大批產(chǎn)品的一小時(shí)的為一級(jí)品小時(shí)的為一級(jí)品 用壽命超過用壽命超過某種型號(hào)電子元件的使某種型號(hào)電子元件的使按規(guī)定按規(guī)定 kk 分析分析 這是不放回抽樣這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很但由于這批元件的總數(shù)很 大大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很 小小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回

8、抽樣來處理因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理. .2020,重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)只只元元件件相相當(dāng)當(dāng)于于做做檢檢查查試試驗(yàn)驗(yàn) 否否為為一一級(jí)級(jí)品品看看成成是是一一次次把把檢檢查查一一只只元元件件看看它它是是 例例2 解解,20 只只元元件件中中一一級(jí)級(jí)品品的的只只數(shù)數(shù)記記以以 X ),.,(2020BX則則因此所求概率為因此所求概率為 .,).().(20108020 20 20 k k kXP kk 012. 00 XP 058. 01 XP 137. 02 XP 205. 03 XP 218. 04 XP 175. 05 XP 109. 06 XP 055. 07 XP 022. 08

9、 XP 007. 09 XP 002. 010 XP 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)11,001. 0 kkXP 圖示概率分布圖示概率分布 .,400 ,02. 0, 率率試試求求至至少少擊擊中中兩兩次次的的概概次次獨(dú)獨(dú)立立射射擊擊 設(shè)設(shè)每每次次射射擊擊的的命命中中率率為為某某人人進(jìn)進(jìn)行行射射擊擊 解解 ,X設(shè)擊中的次數(shù)為設(shè)擊中的次數(shù)為 ).,(020400BX則則 的的分分布布律律為為X ,)98. 0()02. 0( 400 400 kk k kXP .400, 1 , 0 k 因此因此 1012 XPXPXP 399400 )98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例3 3. 泊

10、松分布泊松分布 0,1, 2, ,0,1,2, ! 0. ,( ). k e P Xkk k X X 設(shè)隨機(jī)變量所有可能取的值為而取各個(gè) 值的概率為 其中是常數(shù)則稱服從參數(shù)為 的泊松分 布 記為 泊松分布的背景及應(yīng)用泊松分布的背景及應(yīng)用 二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察 與分析放射性物質(zhì)放射出的與分析放射性物質(zhì)放射出的 粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí)粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí), , 他們做了他們做了2608 2608 次觀察次觀察( (每次時(shí)間為每次時(shí)間為7.5 7.5 秒秒) )，發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn) 放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), , 其放射的粒子其放

11、射的粒子 數(shù)數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 地震地震 在生物學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及 公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的泊松分布是常見的. 例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電 話呼喚次數(shù)等都服從泊松分布話呼喚次數(shù)等都服從泊松分布. 火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水 電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)商場接待的顧客數(shù) 在生物學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及 公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是

12、常見的泊松分布是常見的. 例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電 話呼喚次數(shù)等話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布都服從泊松分布. 泊松定理泊松定理 ( ,) (1) 0 , lim ! n kkn k nnn n k n XB n p P XkC pp np k P Xke k 設(shè) 且滿足 則對任意非負(fù)整數(shù)有 證明證明, n p n 由 得 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布 n很大很大, p 很小很小 上面我們提到上面我們提到 ：設(shè)：設(shè)1000 輛車通過輛車通過,出事故的次出事故的次 數(shù)為數(shù)為 X , 則則 可利用泊松定理計(jì)可利用泊松定理計(jì) 算算 , 1

13、 . 00001. 01000 所求概率所求概率 為為 - 1000999 1000 = 10.99990.00010.9999 1 .0047. 0 ! 1 1 . 0 !0 1 1 . 01 . 0 ee 解解 2 XP 1012 XPXPXP ),.,(000101000BX 例例4 有一繁忙的汽車站有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過, 設(shè)每輛汽車設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率 為為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通輛汽車通 過過,問出事故的次數(shù)不小于問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少的

14、概率是多少? 4. 幾何分布幾何分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為 則稱則稱 X 服從服從幾何分布幾何分布. 實(shí)例實(shí)例 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為 p,對該批產(chǎn)品做有對該批產(chǎn)品做有 放回的抽樣檢查放回的抽樣檢查 , 直到第一次抽到一只次品為止直到第一次抽到一只次品為止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的產(chǎn)品那么所抽到的產(chǎn)品 數(shù)目數(shù)目 X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量 , 求求X 的分布律的分布律. , 1, qp X k p k21 pqp pq k 1 )( 121kk AAAAPkXP )()()()( 121kk APAP

15、APAP pppp k )1( )1()1)(1( . 1 pq k ), 2 , 1( k 所以所以 X 服從幾何分布服從幾何分布. 說明說明 幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn)幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn) “首次成功首次成功” 的概率模型的概率模型. 解解., 3, 2, 1所取的可能值是所取的可能值是X ,個(gè)個(gè)產(chǎn)產(chǎn)品品是是正正品品抽抽到到的的第第表表示示設(shè)設(shè)iAi 5.超幾何分布超幾何分布 設(shè)設(shè)X的分布律為的分布律為 ),min,(nMm C CC mXP n N mn MN m M 210 .,服從超幾何分布服從超幾何分布則稱則稱這里這里XNMMmNn 超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用到超

16、幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用到.說明說明 1.常見離散型隨機(jī)變量的分布常見離散型隨機(jī)變量的分布 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布 幾何分布幾何分布 三、內(nèi)容小結(jié)三、內(nèi)容小結(jié) 超幾何分布超幾何分布 )., 2 , 1 , 0( , ! )( )1( , ,)(, nk e k np pp k n kXP nnppn np k knk 即即為為參參數(shù)數(shù)的的泊泊松松分分布布于于以以 時(shí)時(shí)趨趨當(dāng)當(dāng)為為參參數(shù)數(shù)的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布以以 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布 1010.p,n 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 1 n 例例1 1 為了保證設(shè)備正常工作為了保證設(shè)備正常工作, 需配備

17、適量的維修工需配備適量的維修工 人人 (工人配備多了就浪費(fèi)工人配備多了就浪費(fèi) , 配備少了又要影響生產(chǎn)配備少了又要影響生產(chǎn)), 現(xiàn)有同類型設(shè)備現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái)臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生發(fā)生 故障的概率都是故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障 可由一個(gè)人來處理可由一個(gè)人來處理(我們也只考慮這種情況我們也只考慮這種情況) ,問至少問至少 需配備多少工人需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及 時(shí)維修的概率小于時(shí)維修的概率小于0.01? 解解.人人設(shè)需配備設(shè)需配備 N 設(shè)設(shè)備備記記同同一一時(shí)時(shí)刻刻

18、發(fā)發(fā)生生故故障障的的 ,X臺(tái)數(shù)為臺(tái)數(shù)為).,(,010300BX那那末末所需解決的問題所需解決的問題 ,N是是確確定定最最小小的的使得使得 合理配備維修工人問題合理配備維修工人問題 備份題備份題 由泊松定理由泊松定理 得得 , ! 3 0 3 N k k k e NXP 故有故有,99. 0 ! 3 0 3 N k k k e 即即 N k k k e 0 3 ! 3 1 1 3 ! 3 Nk k k e ,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得滿足此式最查表可求得滿足此式最N 個(gè)工人個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的 概率小于概率小于0.01. 故至少需配備故至少需配備8 .99. 0 NXP 例例2 (人壽保險(xiǎn)問題人壽保險(xiǎn)問題) 有有2500個(gè)同年齡同社會(huì)階層個(gè)同年齡同社會(huì)階層 的人在保險(xiǎn)公司里參加了人壽保險(xiǎn)的人在保險(xiǎn)公司里參加了人壽保