高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)寶典匯總

1、第一章 集合與簡易邏輯一、集合知識(shí)1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.3. 集合元素的特征：確定性、 互異性 、無序性 .4. 集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ) .5.主要性質(zhì): A BA I BAAUB BCUAUB UC(AB)= (C A) ( CB) C(A B)= (CA)(CB)UUUUUU6.設(shè)集合 A 中有 n 個(gè)元素 , 則 A 的子集個(gè)數(shù)為 2 n ； A 的真子集個(gè)數(shù)為 2 n1 ； A 的非空子集個(gè)數(shù)為 2n1； A 的非空真子集個(gè)數(shù)為2n2 .7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集二含絕對(duì)值不

2、等式、一元二次不等式的解法1. 整式不等式的解法：一元一次不等式 axb的解集 （ 分 a 0或 a 0)一元二次不等式ax 2bx c 0(a 0)的解集 ：（ 大于取兩邊，小于取中間）一元高次不等式：穿根法（零點(diǎn)分段法）（記憶： x 的系數(shù)全化為正，從右到左、從上到下，奇（次冪）穿，偶（次冪）穿而不過）2. 分式不等式的解法f ( x)0f (x) g( x) 0; f ( x)0f (x) g( x) 0（移項(xiàng)通分，不能去分母）g ( x)g( x)g (x) 03. 含絕對(duì)值不等式的解法ax b c , 與 axb c(c 0) 型的不等式的解法 .（將 x 的系數(shù)化為正,大于取兩邊，

3、小于取中間 ）三簡易邏輯1構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p 或 q( 記作“ p q” )(一真則真 ) ；p 且 q( 記作“ pq” ) （一假則假 ）；非 p( 記作“ q” ) （真假相反 ） 。2四種命題的形式：原命題：若 P 則 q； 逆命題：若 q 則 p；否命題：若 P 則 q；逆否命題：若 q 則 p。( 原命題逆否命題 )3、充要條件：原 命 題互逆逆 命 題若 p 則 q互若 q則 p否為互逆互否為逆否否互否 命 題逆否命題若 p則 q互逆若 q則 p4、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出( 與已知、公理、定理 ) 矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法

4、。1第二章函數(shù)一、函數(shù)與映射1 映射的性質(zhì)：從A 到 B 的映射： A 中不能有剩余元素，B 中可以有剩余元素，允許多對(duì)一，不允許一對(duì)多。若A 有 3 個(gè)元素， B 有 4 個(gè)元素，則有43 個(gè)映射 。2 函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則。二、函數(shù)的性質(zhì)（ 1）奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）奇函數(shù)： f (x)f ( x) 、圖象關(guān)于 原點(diǎn) 對(duì)稱，在兩個(gè)對(duì)稱區(qū)間具有相同 的單調(diào)性；偶函數(shù)： f (x)f ( x) 、圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，在兩個(gè)對(duì)稱區(qū)間具有相反 的單調(diào)性；常用的結(jié)論：若f (x) 是奇函數(shù)，且0定義域 ，則 f ( 0)0或 f (1)f (1) ；若

5、f (x) 是偶函數(shù)，則f (1)f (1) ；反之不然。常見的奇函數(shù)：ylg( xx21) ylg 1x yexe x1x11ex11x 2 y y yx222 2 x1ex1非奇非偶函數(shù)：f （ x） = 1cosxsin x .1 cosx sin x（ 2）單調(diào)性 （在定義域的某一個(gè)子集內(nèi)考慮）定義法步驟： a.設(shè) x1, x2A且 x1x2 ； b.作差 f (x1 )f ( x2 ) ； c.判斷正負(fù)號(hào)。掌握函數(shù)yax bx cabac(0);yxa(a0)的圖象和性質(zhì)；xb acxc函數(shù)圖象單調(diào)性yaxbbacxa0）xaxy(accx(b ac 0)yyY=aoxX=-coX當(dāng)

6、 b-ac0 時(shí) :在 (,a和a ,)在 (,c)和 (c,) 上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增；當(dāng) b-ac0) 恒成立 ,則 y=f(x) 的周期為 2a；若 y=f(x) 是偶函數(shù) ，其圖像又關(guān)于直線x=a 對(duì)稱，則f(x) 的周期為2 a；若 y=f(x) 奇函數(shù) ，其圖像又關(guān)于直線x=a 對(duì)稱，則f(x) 的周期為4 a； y=f(x) 對(duì) xR 時(shí)， f(x+a)= f(x)( 或 f(x+a)=1，則 y=f(x)的周期為2 a ；f (x)三、函數(shù)的圖象1、基本函數(shù)的圖象：（ 1）一次函數(shù)、（2）二次函數(shù)、（3）反比例函數(shù)、（ 4）指數(shù)函數(shù)、（5）對(duì)數(shù)函數(shù)、（6）三角函數(shù)。2、圖象的變

7、換：（1）平移變換（先表示成y =f(x) ：左加右減，上加下減。）（ 2）對(duì)稱變換： 函數(shù)函數(shù)yf (x) 與函數(shù) yf (x) 的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱；yf (x) 與函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于x 軸對(duì)稱；函數(shù) yf (x) 與函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于 坐標(biāo)原點(diǎn) 對(duì)稱；如果對(duì)于函數(shù)y=f(x) 都有 f(x+a)=f(a-x) ，那么 y=f(x)的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱。如果對(duì)于函數(shù)y=f(x) 都有 f(x+a)=f(b-x) ，那么 y=f(x)的圖象關(guān)于直線xab2對(duì)稱。 yf ( x)yf (x)（把 x 軸下方的圖象翻折到上方 ） yf ( x)yf ( x )（擦

8、掉 y 軸左側(cè)的圖象，把右側(cè)的圖象對(duì)稱到左側(cè)） yf 1 ( x) 與 yf ( x) 關(guān)于直線 yx 對(duì)稱。 性質(zhì)： f (a) bf1 (b)a（ 3）伸縮變換 ： yf ( x)yf (ax), (a 0) 系數(shù)變小伸長；系數(shù)變大縮短。四、函數(shù)的反函數(shù)求反函數(shù)的步驟：求原函數(shù)yf ( x) ， ( x A) 的值域 B把 y f ( x) 看作方程，解出 x( y) ； x， y互換的 yf ( x) 的反函數(shù)為y f1 ( )， ( x B) 。x五、求函數(shù)的值域的常用解題方法：配方法。如函數(shù)yx4x21的值域，特點(diǎn)是可化為二次函數(shù)的形式；換元法：如 y= 1 2xx 單調(diào)性：如函數(shù)

9、y 2xlog 2 x x 1,2判別式法（法）如函數(shù)y= x22x3x22x33利用函數(shù)的圖像：如函數(shù)y=|x+3|+|x 2| 利用反函數(shù)：如函數(shù) y= 2sin x22sin x利用基本不等式：如函數(shù)y= .方程 k=f(x) 有解kD(D 為 f(x) 的值域 )；3x2 .a f(x)a f(x) max,min; af(x)a f(x) ;六、指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)：0p1mnmm11. 指數(shù)運(yùn)算： a1 (a0)， aa(a 0) ，a n(a 0)ap (a 0) , a nn am2.對(duì)數(shù)運(yùn)算：log a M log a N M，N0log a ( MN )0log aMlog a

10、 Mlog a N ， log a n M1log a M ， log am bn n log a bNnm對(duì)數(shù)恒等式： a log axx ( x0) ， log a a kk (kR)log對(duì)數(shù)換底公式： log a blogccb,a3. log a b 的符號(hào)由口訣“ 同正異負(fù) ”記憶 ;如： log 2 3 0.log 15 0 。2七、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性： yf g x ， f (x)與 g ( x) ：同增同減為增，一增一減為減 。4第三章數(shù) 列一數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式1.數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：Sna1 a2a3an2.數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1S1 (n 1)SnSn 1 (n2)3.遞

11、推公式：已知數(shù)列an的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an 與它的前一項(xiàng) an 1 （或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式。二等差數(shù)列1.定義： 即： anan1d (n2, an0, q0) an 成等差數(shù)列2.判定方法：定義法：an 1and (常數(shù) )； 等差中項(xiàng)法：2an 1anan 2 。3.通項(xiàng)公式：若首項(xiàng)是a1 ，公差是 d ，則通項(xiàng)為 ana1(n1)d 。是關(guān)于 n 的一次函數(shù)。4.等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和： Snn(a1a n )Snna1n(n1)d22對(duì)于公式整理后是關(guān)于n 的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)（充要條件）。5.等差中項(xiàng) ：如果 a ， A

12、 ， b 成等差數(shù)列，則有Aab或 2 Aab26.等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an 是等差數(shù)列的第n 項(xiàng)，am 是等差數(shù)列的第m 項(xiàng)，且 mn ，公差為 d ，則有 anam(nm) d .若 n mp q ，則 anama paq 。 . Sn 是其前 n 項(xiàng)的和， kN * ，那么 Sk ， S2 kSk ， S3 kS2 k 成等差數(shù)列。 . S奇 是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶 是偶數(shù)項(xiàng)的和，Sn 是前 n 項(xiàng)的和，結(jié)論： (i) 若有偶數(shù)項(xiàng) 2n項(xiàng)，則 S奇a1a2n 1nn an ； S偶a2a2 n nn an 122所以有 S偶S奇a2a1a4a3a2na2n 1nd（

13、 ii ）若有奇數(shù)項(xiàng)2n項(xiàng)，則S奇a1a2n1(n1)an 1(n1)12S偶a2a2nnan 1nS奇S偶an1 (2n1)(2n1)a中2S奇S偶an1a中S奇n 1；SnS奇S偶2n1S偶nS奇S偶S奇S偶若等差數(shù)列an的前 2n1項(xiàng)的和為 S2n 1 ，等差數(shù)列bn的前2n 1項(xiàng)的和為 T2n 1 ，則 anS2n 1 。 (比如： a9S17； a10S19)bnT2n 1b9T17b10T195三等比數(shù)列anq( n2, an0, q0) an 成等比數(shù)列1定義：an 1a ，GbGb2。2.，成等比數(shù)列，那么，即Gab等比中項(xiàng) ：如果aG3.等比數(shù)列的判定方法：a n 1 定義法

14、 ：對(duì)于數(shù)列an，若q(q0)，則數(shù)列 an是等比數(shù)列。a n 等比中項(xiàng) ：對(duì)于數(shù)列an，若 an an 2an21 (an0) ，則數(shù)列an 是等比數(shù)列。4.等比數(shù)列的 通項(xiàng)公式 ： ana1 qn 1 。na1 ( q 1)5.等比數(shù)列的 前 n項(xiàng)和： Sna1 (1qn )a1an q1)1q1(qq6.等比數(shù)列的性質(zhì)：如果 an 是等比數(shù)列的第 n 項(xiàng)， am 是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且 mn ，公比為 q ，等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：則有 a n am qn m .對(duì)于等比數(shù)列an，若 nmpq ，則 an ama paq若數(shù)列 an是等比數(shù)列，S 是其前 n 項(xiàng)的和， kN* ，那么

15、S， SS ， SSnk2kk3k2k成等比數(shù)列。四數(shù)列的通項(xiàng)求法：(1)等差，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知 Sn求 an ,則有 ana1 , (n 1)（3）累乘法： 形如ang (n)Snan 1Sn 1 ,( n 2)(4)累加法 ： 形如 anan 1f (n), (n 2)；(5)構(gòu)造法 ： 形如 an 1pa nq.五數(shù)列的求和方法：(1) 公式法：即等差與等比數(shù)列的公式；(2)裂項(xiàng)相消法：如： an 1111n(n1) nn 1(3)錯(cuò)位相減法： an bn cn ,bn為等差數(shù)列， cn 為等比數(shù)列倒序相加法：如an= nC100n;分組求和法： anbncn 如： an=

16、2n+3 n六其他結(jié)論：1、 an 成等差數(shù)列anAnBSnAn2Bn(1)a成等差數(shù)列ban成等比數(shù)列nanank 成等比數(shù)列 ； an 成等比數(shù)列an 0(2)成等比數(shù)列l(wèi)og b an 成等差數(shù)列62、在等差數(shù)列an 中 ,(1) 當(dāng) a1am00 ,d0 時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù) m使得 Sm 取最小值。am 103、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d4、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq；第四章三角函數(shù)一、基本概念和知識(shí)要點(diǎn)1三角函數(shù)定義： sin= y ，cos = x ， tan= y ， cot= x ， sec= r ， c

17、sc= r 。rrxyxy2同角三角函數(shù)的關(guān)系中，平方關(guān)系是：sin 2cos21； cos21；1 tan2倒數(shù)關(guān)系是：tancot1，商數(shù)關(guān)系是： tansincos。， cotsincos3 誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限（的奇、偶數(shù)倍）。如： sin( 3， cot(152)cos) = tan ， tan(3)tan 。224、 三角函數(shù)的圖象：ysinxycosxytan x （略）5 函數(shù) y Asin( x) B（其中 A0，0）的最大值是 AB ，最小值為 BA ，周期是 T2，頻率是f，相位是x，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線xk(kZ ) ，對(duì)稱中心為（x

18、0 ，0），22其中橫坐標(biāo)滿足x0k(kZ ) 。6 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：ysin x 的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ ) 遞減區(qū)間是2272k3Z ) ； y cosx 的遞增區(qū)間是2k，2k(k Z ) ，遞減區(qū)間是，2k(k222k ，2k( kZ ) ， y tan x 的遞增區(qū)間是k， k2，27 y Asin( x ) 五點(diǎn)法作圖： 依次取 x 0, ,3,2.8 三角變換： (A0 ， 0)22 先平移變換，再伸縮變化 先伸縮變化，再平移變化。（注：平移多少個(gè)單位，一定要把解析式中x 的系數(shù)提出 ）如將函數(shù) y2 sin(3x)3 的圖象按 a 平移后得函數(shù) y2sin 3x的圖象

19、，則 a 39兩角和與差公式：sin()sin coscossincos() cos cossin sintan()tantan1tantan10、二倍角公式是：sin2= 2sincoscos2= cos2sin 2= 2 cos21= 12 sin 2tan 22 tan。tan1cossin。=2=sin=cos1 tan2111、升冪公式是： 1cos2 cos21cos2 sin 2。2212、降冪公式是： sin 21 cos2cos21cos 2。222 tan13、萬能公式：sin =21 tan22 tancos =2tan =21 tan21 tan21tan222214、

20、特殊角的三角函數(shù)值：（自己總結(jié)）15、正弦定理：（其中abc2RR 表示三角形的外接圓半徑）：sin Bsin Csin A16、余弦定理第一形式：b 2 = a2c 22ac cos B ；第二形式： cosB= a 2c 2b 22ac17、 ABC 的面積用S 表示，外接圓半徑用R 表示，內(nèi)切圓半徑用r 表示，則： S1 a ha； S1 bc sin A； S2R2 sin A sin B sin C ；22 Sabc1； Spr （ p 為 ABC 的周長）4R2818、在 ABC中， b a cosCc cos A ， AB sin A sin B （充要條件 ） sin(A +

21、B) = sinCcos(A + B)-cosCtan(A + B)-tanC sin ABcosCcos ABsin Ctan A Bcot C222222 tan Atan Btan Ctan Atan B tanC19解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（ 1）已知兩角和一邊，由正弦定理求；（ 2）已知兩邊和夾角，應(yīng)用余弦定理求c 邊；（ 3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、 b、A ），應(yīng)用正弦定理求B ，（ 4）已知三邊a、 b、 c，應(yīng)用余弦定理求A、 B ，再由 A+B+C = ，求角 C20.弧度制：|l ，弧長公式： l r； 扇形面積公式：s1 lr 1 r 2 ；r2221幾個(gè)重

22、要的三角變換：sin cos 可湊倍角公式；1 cos可用升冪公式；a sinb cosa2b2 sin（其中tanb ）這一公式應(yīng)用廣泛。a22函數(shù) y = sin ( x )：奇函數(shù)kkZ 偶函數(shù)kkZ2函數(shù) y =cos ( x )：奇函數(shù)kkZ偶函數(shù)kkZ 29第五章平面向量1.向量的概念（ 1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的長度，叫做向量的模。（ 2）幾種向量：零向量，單位向量，共線向量（平行向量），相等向量，相反向量。向量的坐標(biāo)表示：AB =(x 2-x1,y2-y1)，其中 A(x 1,y1),B(x 2,y2 )（ 3）向量的運(yùn)算 向量的加法與減法：

23、定義與法則（如圖5-1）： 坐標(biāo)運(yùn)算 ： a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x 1-x2,y1-y2)。其中 a=(x1，y1),b=(x2,y2)。2.平面向量的數(shù)量積定義與法則（如圖5-3）：向量的夾角 ： （ 001800 ）兩個(gè)向量的數(shù)量積：a b = a b cos 其中 b cos 稱為向量 b 在 a 方向上的投影 向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若 a =（ x1, y1 ） , b =（ x2 , y2 ）則 a b = x1 x2y1 y2a ba b =0x1 x2 y1 y20a 與 b 夾角為銳角x1x2y1 y20; a 與 b 夾角為鈍角x1 x2y1 y2 0(

24、 x1 , y2 )( x2 , y2 )(x1 , y2 )(x2 , y2 )3.定理與公式 共線定理 ：向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b = a 。結(jié)論： a b( b0 )的充要條件是x1y2-x 2 y1=0平面向量基本定理 ：如果 e ， e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a ，有且只有12一對(duì)實(shí)數(shù) 1, 2使 a = 1e1 +2e2兩向量垂直的充要條件(i)a ba b =0(ii) a b1212x x +y y =0三點(diǎn)共線定理 ： 平面上三點(diǎn) A、 B、 C 共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)、,使 OA = OB +

25、 OC ，其中 + =1， O 為平面內(nèi)異于 A 、 B、 C 的任一點(diǎn)。兩點(diǎn)間的距離公式 ： | P1 P2 |=( x2x1 ) 2( y2y1 )2 ，其中 P1(x 1,y1),P2(x2,y2)xxh,點(diǎn)的平移公式：若點(diǎn) P0 (x,y) 按向量 a =(h,k) 平移至 P(x,y )，則yyk.10x1 x2x定比分點(diǎn)公式 ：若 P1P =P P2 ； P1 , P, P2 的坐標(biāo)分別為 （ x1 , y1 ）, （ x , y）, （ x2, y2）；則：1y1 y2y1x1x2x1x2x3x2x3中點(diǎn)坐標(biāo)公式：重心公式：y2y2y3y1y1y2y3第六章不等式一、不等式的性質(zhì)

26、(3)a ba c b c( 加法單調(diào)性 ) (5)a b ca c b( 移項(xiàng)法則 )a ba b 0ac bd(同向正數(shù)不等式可乘 )(6)ac b d( 同向不等式可加 ) (8)c dc d 011)(12)a b 0(正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù)ab二、常用的基本不等式和重要的不等式：（ 1） a, bR,則 a 2b22ab ，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“”號(hào)；（ 2） a, bR ，則 ab 2ab ；當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取“”號(hào)；注： ab算術(shù)平均數(shù)， ab幾何平均數(shù)2（ 3） a2b2( ab ) 2； 2abababa 2b 2( ,R) ；22ab22a b（ 4）若 a、 b、m R+，

27、且 ab，則 ama 或 bmb ；bmbama三、最值定理（均值不等式）（ 1）如積 xyP(定值），則和 xy有最小值 2 P（ 2）如和 xyS(定值），則積 xy有最大值（S2）2即；積定和最小，和定積最大。注；運(yùn)用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”四、恒成立問題如：關(guān)于 x 的不等式 ( a2) x 22(a2) x40 對(duì) xR 恒成立，則 a 的取值范圍。11五、不等式的同解性(1) 當(dāng) a 1時(shí)， af(x) ag(x) 與 f(x) g(x) 同解，當(dāng) 0a 1時(shí)， af(x) ag(x)與 f(x) g(x) 同解當(dāng)時(shí)，（）（ ）與 f（）g（ ）xx(2) a

28、 1 log a fxlog a g x（ ）同解 .gx0f(x) g(x)當(dāng)0a1時(shí)， log a f(x) loga g(x)與 f(x) 0同解g(x) 0第七章直線和圓的方程一、解析幾何中的基本公式1、 兩點(diǎn)間距離：若A (x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ，則 AB( x2x1) 2( y2y1 ) 22、 平行線間距離 : 若 l1 : Ax ByC10,l 2 : AxByC 20則 dC1C2A 2B 23、 點(diǎn)到直線的距離：若P(x , y ),l :AxByC0， 則 dAxByCA 2B24、 直線與圓錐曲線相交的弦長公式：ykxm消 y： ax 2bx c0 ，注意0.F (x, y)0若 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 則： AB(1 k 2 )( x2x1 ) 21 k 2x x224x x2115、 若直線 l的斜率為 k，直線 l的斜率為 k ， k1， k都存在且 kk2 1112221則 l 1 到 l 2 的角為 ,(0, ) ， tank 2k11 k1 k2若 l 1 與 l 2 的夾角為，則 tank1k2 ，(0,1 k1 k2