第二部分第五章第1講圓的基本性質(zhì)

1、第五章 圓 第 1 講 圓的基本性質(zhì) 1理解圓及其有關(guān)概念，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系 2了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對圓周角的特征 1圓的有關(guān)概念及性質(zhì) (1)圓：平面上到_的距離等于_的所有點(diǎn)組成 的圖形叫做圓 圓是_對稱圖形，也是_對稱圖形 不共線的_可確定一個(gè)圓 定點(diǎn)定長 軸中心 三點(diǎn) (2)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，大于半圓的弧稱為 _，小于半圓的弧稱為_ (3)弦：連接圓上_的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫做 _ (4)垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑_這條弦， 并且_弦所對的弧；平分弦(不是直徑)的直徑_ 于弦，并且平分弦所對的_ (5)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓或等圓中

2、，相等的 _所對的弧相等，所對的弦相等 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、_、兩條 弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等 優(yōu)弧劣弧 任意兩點(diǎn) 直徑 平分 平分垂直 弧 圓心角 兩條弧 2與圓有關(guān)的角及其性質(zhì) (1)圓心角：頂點(diǎn)在_，角的兩邊和圓相交的角 圓周角：頂點(diǎn)在_，角的兩邊和圓相交的角 (2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周 角相等，等于它所對的圓心角的_ 推論：直徑所對的圓周角是_，90的圓周角所對的弦 是直徑 【方法規(guī)律】 1圓心角、弧、弦的關(guān)系定理成立的前提條件是在同圓或 等圓中 2在應(yīng)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu)造直角三 角形，根據(jù)垂

3、徑定理及勾股定理進(jìn)行求解 圓心 圓上 一半 直角 垂徑定理 例題：(2012 年黑龍江哈爾濱)如圖 511， O 是ABC 的外接圓，B60，OPAC 于點(diǎn) P，OP2 ，則 O 的半徑為(). 圖 511 A4B6C8D12 思路分析：先求出AOC 的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定 理求出OAC30，利用 30所對的直角邊等于斜邊的一半， 根據(jù) OP 的長可得出 OA 的長，即為圓 O 的半徑 答案：A 【題型突破】 類型：垂徑定理的應(yīng)用 1(2012 年貴州遵義)如圖 512，AB 是 O 的弦，AB 的長為 8，P 是 O 上一個(gè)動點(diǎn)(不與 A，B 重合)，過點(diǎn) O 作 OCAP 于點(diǎn) C，

4、ODPB 于點(diǎn) D，則 CD 的長為_ 圖 512 4 AE 3015(cm)， 2(2012 年江蘇南通)如圖 513， O 的半徑為 17 cm，弦 ABCD，AB30 cm，CD 16 cm，圓心 O 位于 AB，CD 的上方，求 AB 和 CD 之間的距離 圖 513 解：如圖 D13 過點(diǎn) O 作弦 AB 的垂線，垂 足為 E，延長 AE交 CD 于點(diǎn) F，連接 OA，OC. ABCD，OFCD. AB30 cm，CD16 cm， 圖 D13 在RtAOE中，OE2OA2AE2172152，OE8 cm. 在RtOCF中，OF2OC2CF217282， OF15 cm. EFOFOE

5、1587(cm) 答：AB和CD的距離為7 cm. 圓周角、圓心角之間的關(guān)系 【題型突破】 類型一：圓周角定理的應(yīng)用 3(2012 年湖北隨州)如圖 514，AB 是 O 的直徑，若BAC35，則ADC () A35 C70 B55 D110 圖 514 B 類型二：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 4(2012 年山東青島)如圖 515，點(diǎn) A，B，C 在 O 上， AOC60，則ABC 的度數(shù)是_ 圖 515 150 類型三：與圓周角、圓心角有關(guān)的綜合應(yīng)用 5(2012 年四川涼山州)如圖 51 6，已知直徑為 OA 的 P 與 x 軸交于 O，A 兩點(diǎn)，點(diǎn) B，C 把 OA 三等分，連 接 PC 并延

6、長 PC 交 y 軸于點(diǎn) D(0,3)求 證：POD ABO.圖 516 證明：連接 PB，直徑為 OA 的 P 與 x 軸交于 O，A 兩 點(diǎn)，點(diǎn) B，C 把 OA 三等分， PA PB， PAB 是等邊三角形 ABPA ，BAO60. ABOP，BAOOPD. 在POD 和ABO 中， OPDBAO, OPBA ，PODABO， POD ABO(ASA) 小結(jié)與反思：直徑所對的圓周角是直角，在同圓或等圓中， 同弧或等弧所對的圓周角相等. 1(2012 年廣東)如圖 517，A，B，C 是 O 上的三個(gè) 點(diǎn)，ABC25，則AOC 的度數(shù)是_ 2(2012 年廣東珠海)如圖 518，AB 是

7、O 的直徑，弦 CDAB，垂足為 E，如果 AB26，CD24，那么 sinOCE _. 圖 517圖 518 50 3(2012 年廣東湛江)如圖 519，在半徑為 13 的 O 中， OC 垂直弦 AB 于點(diǎn) B，交 O 于點(diǎn) C，若 AB24，則 CD 的長 是_ 4(2012 年廣東深圳)如圖 5110， C 過原點(diǎn)，且與兩 坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A，點(diǎn) B，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(0,3)，M 是第三象 限內(nèi) OB 上一點(diǎn)，BMO120，則 C 的半徑長為( ) A6B5C3D3 圖 519圖 5110 8 C 5(2011 年廣東茂名)如圖 5111， P 與 y 軸相切于坐 標(biāo)原點(diǎn) O(0

8、,0)，與 x 軸相交于點(diǎn) A(5,0)，過點(diǎn) A 的直線 AB 與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) B，與 P 交于點(diǎn) C. (1)已知 AC3，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； (2)若 ACa，D 是 OB 的中點(diǎn)問：點(diǎn) O， P，C，D 四點(diǎn)是否在同一圓上？請說明理由 如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個(gè)圓的圓心為 含 a 的代數(shù)式表示) 圖 5111 解：(1)連接 OC，OA 是 P 的直徑，OCAB. 在 RtAOC 中，OC 4. 在 RtAOC 和 RtABO 中， CAOOAB， RtAOCRtABO. (2)點(diǎn) O，P，C，D 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，理由如下： 如圖 D14，連接 CP，CD，DP， OCA

9、B，D 為 OB 上的中點(diǎn)， 圖 D14 又OPCP，12. 132490， PCCD. 又DOOP, 點(diǎn)，故圓心 O1 RtPDO 和 RtPDC 是同以 PD 為斜邊的直角三角形 PD 上的中點(diǎn)到點(diǎn) O，P，C，D 四點(diǎn)的距離相等， 點(diǎn) O，P，C，D 在以 DP 為直徑的同一個(gè)圓上 由上可知，經(jīng)過點(diǎn) O，P，C，D 的圓的圓心 O1 是 DP 的中 由(1)，知：RtAOCRtABO， (3)若 O的半徑為5，AF ，求 6(2011 年廣東肇慶)已知：如圖 5112，ABC 內(nèi)接 于 O，AB 為直徑，CBA 的平分線交 AC 于點(diǎn) F，交 O 于 點(diǎn) D，DEAB 于點(diǎn) E，且交 AC 于點(diǎn) P，連接 AD. (1)求證：DACDBA； (2)求證：P 是線段 AF 的中點(diǎn)； tanABF 的值 圖 5112 (1)證明：BD 平分CBA， CBDDBA. DAC 與CBD 都是弧 CD 所對的圓周角， DACCBD，DACDBA. (2)證明：