完整版)函數(shù)的基本性質(zhì)及常用結(jié)論

1、解不等式,a,b時(shí)a,b具有函數(shù)的基本性質(zhì)及常用結(jié)論、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢，高考中常考其一下作用：比較大小,求最值。定義：(略)定理1:x1 x2a,b , x1X2那么(XiX2) f(xj f(X2)0f(X1)X1f(X2)oX2f (x)在a,b上是增函數(shù);(X1X2) f(Xj f(X2)0f (X1)X1f(X2)0X2f (x)在a,b上是減函數(shù).定理2：(導(dǎo)數(shù)法確定單調(diào)區(qū)間)若x a, b，那么f x 0f(x)在a,b上是增函數(shù)；f x 0 f(x)在a,b上是減函數(shù).1函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)(1)作差法(定義法)(2)作商法(3)導(dǎo)數(shù)法

2、2. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定對(duì)于函數(shù)y f(u)和u g(x)，如果函數(shù)u g(x)在區(qū)間(a,b)上具有單調(diào)性，當(dāng) x u m,n，且函數(shù)y f(u)在區(qū)間(m, n)上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù) y f (g(x)在區(qū)間 單調(diào)性。3. 由單調(diào)函數(shù)的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷對(duì)于兩個(gè)單調(diào)函數(shù) f(x)和g(x)，若它們的定義域分別為I和J，且I J :(1)當(dāng)f (x)和g(x)具有相同的增減性時(shí)， R(x) f (x) g(x)的增減性與f (x)相同， F2(x)f(x) g(x)、F3(x)f(x) g(x)、F4&) 丄(g(x) 0)的增減性不能確定;g(x)當(dāng)f(x)和g(

3、x)具有相異的增減性時(shí)，我們假設(shè)f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，那么: R(x) f(x) g(x)、 F2(x) f(x) g(x)、F4(x) 凹(g(x) 0)、Fs(x) 妙(f(x) 0)的增減性 g(x)f(x)不能確定；F3(x) f (x) g(x)為增函數(shù)。4奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。1、函數(shù)的對(duì)稱性，而且利用對(duì)稱性往往函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中能夠更簡捷的使問題得到解決，對(duì)稱關(guān)系同時(shí)還充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。1. 函數(shù)y f (x)的圖象的對(duì)稱性(自身)a

4、b定理1:函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直x對(duì)稱 f(a為 f(b x)f(ab x) f(x)函數(shù)yf (x)的圖象關(guān)于直線 x a對(duì)稱f (ax) f(ax)f (2 ax)f(x)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(偶函數(shù))f( x)f (x)。函數(shù)yf (x a)是偶函數(shù)f (x)關(guān)于x a對(duì)稱。定理2:函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱f(x) 2bf(2a x)f (ax)特殊的有:函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱f(x)f(2ax)。函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(奇函數(shù))f ( x)f(x)。函數(shù)y f (x a)是奇函數(shù)f (x)關(guān)于點(diǎn)a,0對(duì)稱。定理3:

5、(性質(zhì))特殊的有:o若函數(shù)y=f (x)的圖像有兩條對(duì)稱軸f (a x) 2bx=a和x=b , (a b),那么f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|是它的一個(gè)周期。 若函數(shù)y=f (x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心M( m , n)和一條鉛直對(duì)稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個(gè)周期。 若函數(shù)y=f (x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn) A (a ,c)和點(diǎn)B (b ,c)成中心對(duì)稱(a* b)，則y=f (x)是周期函數(shù)，且 2| a- b|是其一個(gè)周期。 若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身，那么它的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。2.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性函數(shù)y f (x)與函數(shù)y f( x)的圖象關(guān)于直線 x

6、 0(即y軸)對(duì)稱.a b 函數(shù)yf(mx a)與函數(shù)y f(b mx)的圖象關(guān)于直線 x對(duì)稱.2m特殊地：y f (x a)與函數(shù)y f (a x)的圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱 函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x a對(duì)稱的解析式為 y f(2a x) 函數(shù)yf (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱的解析式為y f (2a x) 函數(shù)y = f (x)與a x = f (a - y)的圖像關(guān)于直線 x +y = a成軸對(duì)稱。函數(shù)y = f (x)與x a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線 x y = a成軸對(duì)稱。函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線 x = y成軸對(duì)稱。三奇偶

7、函數(shù)性質(zhì)對(duì)于兩個(gè)具有奇偶性的函數(shù)f (x)和g(x)，若它們的定義域分別為|和J，且| J(1)滿足定義式子f ( x)f(x)(偶)f (x)f( x) 0 (奇)(2)在原點(diǎn)有定義的奇函數(shù)有f (0)0當(dāng)f(x)和g(x)具有相同的奇偶性時(shí)，假設(shè)為奇函數(shù)，那么:函數(shù) Fx)f (x) g(x)、F3(x) f (x) g(x)也為奇函數(shù);f (v) F2(x)f(x) g(x)、F4(x)(g(x) 0)為偶函數(shù);g(x)兩個(gè)偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù)當(dāng)f(x)和g(x)具有相異的奇偶性時(shí)，那么:R(x) f (x) g(x)、F3(x)f (x) g(x)的奇偶性不能確定;:簡單地說

8、：:奇函數(shù)埼函數(shù)=奇函數(shù),1偶函數(shù)禺函數(shù)=偶函數(shù),1奇函數(shù)X奇函數(shù)=偶函數(shù), :偶函數(shù)X偶函數(shù)=偶函數(shù), 奇函數(shù),.X偶函數(shù),=奇函數(shù),. F2(x) f(x) g(x)、F4(x)器(g(x) 0)、F5(x)g(x) (f (x)0)為奇函數(shù)。f(x)(5) 常見的奇偶函數(shù)一 1 1(6) 任意函數(shù)f (x)均可表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x) f(x) f( x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x) f (x) f ( x)的和。2 2(7) 般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)(8)圖形的對(duì)稱性關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)(偶函數(shù))關(guān)于原點(diǎn)0,0對(duì)稱的函數(shù)(奇函數(shù))(9)若f(x)是偶函數(shù)，則必有f

9、 (axb) 1f (axb)若f (x)是奇函數(shù)，則必有f (axb)f (axb)(10)若f(ax b)為偶函數(shù)，則必有 f(ax b) f( ax b)若f(ax b)是奇函數(shù)，則必有 f (ax b) f( ax b)四、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性反映了函數(shù)的重復(fù)性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負(fù)值化正，求值。1周期性的定義對(duì)于函數(shù)y f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f (x T) f (x)都成立，那么就把函數(shù) y f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。 如果 所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)， 就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正

10、周期。 如果非零常數(shù)T是函數(shù)f(x) 的周期，那么 T、nT ( n N* )也是函數(shù)f (x)的周期。2. 函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論1:如果f(x a) f(x b)( a b)，那么f (x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 Tab結(jié)論2 :如果f(x a) f (x b)( a b)，那么f (x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期 T 2a b結(jié)論3:如果定義在 R上的函數(shù)f (x)有兩條對(duì)稱軸x a、x b對(duì)稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一 個(gè)周期T 2a b結(jié)論4:如果偶函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線xa (a0)對(duì)稱，那么f (x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T 2a結(jié)論5:如果奇函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線xa (a0)對(duì)稱，那么f (x)是周期函數(shù),其中一個(gè)周期T 4a結(jié)論6:如果函數(shù)冋時(shí)關(guān)于兩點(diǎn)a, c、b,c(ab)成中心對(duì)稱，那么 f (x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T2a b結(jié)論7:如果奇函數(shù)f (x)關(guān)于點(diǎn) a,c(a0)成中心對(duì)稱，那么f (x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T 2 a結(jié)論8:如果函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn) a,c ( a 0)成中心對(duì)稱，且關(guān)于直線x b( a b)成軸對(duì)稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T 4a