廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.4 數(shù)列求和課件 文

1、6 6. .4 4數(shù)列求和數(shù)列求和 -2- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)231 1.基本數(shù)列求和方法 -3- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)231 2.非基本數(shù)列求和常用方法 (1)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離” 的兩項(xiàng)的和相等,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的. (2)分組求和法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比 數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和后 再相加減.如已知an=2n+(2n-1),求Sn. (3)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中兩兩結(jié)合后可求和,則可用 并項(xiàng)求和法.如已知an=(-1)nf(n)

2、,求Sn. (4)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等 比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位 相減法來(lái)求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的. -4- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)231 (5)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一 些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和. -5- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)231 2 -6- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)3415 1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (2)利用倒序相加法可求得 sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=44.5.() (3)若Sn=a+2a2+3a3+nan,當(dāng)a0,且a1時(shí),求

3、Sn的值可用錯(cuò)位 相減法求得. () (4)如果數(shù)列an是周期為k的周期數(shù)列,那么Skm=mSk(m,k為大于1 的正整數(shù)). () () (6)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,則S50=-25. () 答案 答案 關(guān)閉 (1)(2)(3)(4)(5)(6) -7- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 2.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為( ) A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2D.2n+n-2 答案解析解析 關(guān)閉 答案解析 關(guān)閉 -8- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 則項(xiàng)數(shù)n的最大值為() A.98 B.99 C.100 D.1

4、01 答案解析解析 關(guān)閉 答案解析 關(guān)閉 -9- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 4.公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等 比中項(xiàng),S8=32,則S10等于() A.18 B.24 C.60D.90 答案解析解析 關(guān)閉 答案解析 關(guān)閉 -10- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 5.(教材習(xí)題改編P61TA4(3)1+2x+3x2+nxn-1= (x0,且x1). 答案解析解析 關(guān)閉 答案解析 關(guān)閉 -11- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.含有參數(shù)的數(shù)列求和,常伴隨著分類討論. 2.在錯(cuò)位相減法中,兩式相減后,構(gòu)成等比數(shù)列的有(n-1)項(xiàng),整個(gè) 式子共有(n+1)

5、項(xiàng). 3.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),裂項(xiàng)相消后,前面剩余幾項(xiàng),后面就剩余 幾項(xiàng). 4.數(shù)列求和后,要注意化簡(jiǎn),通常要進(jìn)行通分及合并同類項(xiàng)的運(yùn)算. -12- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 例1在等比數(shù)列an中,已知a1=3,公比q1,等差數(shù)列bn滿足 b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式; (2)記cn=(-1)nbn+an,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn. 思考具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合并項(xiàng)求和?具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適 合分組求和? -13- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 解 (1)等差數(shù)列bn的公差為d. 由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, d=

6、2,an=3n,bn=2n+1. (2)由題意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+cn=(- 3+5)+(-7+9)+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+3n. -14- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 解題心得1.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(-1)nf(n),則一般利用并 項(xiàng)求和法求數(shù)列前n項(xiàng)和. 2.具有下列特點(diǎn)的數(shù)列適合分組求和 (1)若an=bncn,且bn,cn為等差數(shù)列或等比數(shù)列,可采用分組求 和法求an的前n項(xiàng)和; (2)通項(xiàng)公式為 的數(shù)列,其中數(shù)列bn,cn是等 比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和. -15- 考點(diǎn)

7、1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018河北衡水中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和 為Sn(nN*),數(shù)列bn是等比數(shù)列,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3. (1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式; 解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為 q,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3, an=2n+1,bn=2n-1. -16- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 -17- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 例2已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn.已知S

8、2n+1=bnbn+1, 思考具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合用錯(cuò)位相減法求和? -18- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 -19- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 解題心得1.一般地,數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列 anbn的前n項(xiàng)和,可采用錯(cuò)位相減法求和,解題思路是:和式兩邊同 乘等比數(shù)列bn的公比,然后作差求解. 2.在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí),應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”, 以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式. -20- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知an為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(nN*),bn是首項(xiàng) 為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11

9、=11b4. (1)求an和bn的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列a2nbn的前n項(xiàng)和(nN*). 解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因?yàn)閝0,解得q=2. 所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,an的通項(xiàng)公式為an=3n-2,bn的通項(xiàng)公式為bn=2n. -21- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 (2)設(shè)數(shù)列a2nbn的前n項(xiàng)和為Tn,由a2n=6n-2, 得Tn=42

10、+1022+1623+(6n-2)2n, 2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1, 上述兩式相減,得 -Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1 得Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以,數(shù)列a2nbn的前n項(xiàng)和為(3n-4)2n+2+16. -22- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 例3設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通項(xiàng)公式; 思考裂項(xiàng)相消法的基本思想是什么? 解:(1)因?yàn)閍1+3a2+(2n-1)an=2n,故當(dāng)n2時(shí),a1+3a2+(2n- 3)an-1=2(n-1).兩式相減得(2n-1)an=2. -2

11、3- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 解題心得裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把a(bǔ)n分拆成an=bn+k- bn(kN*)的形式,從而達(dá)到在求和時(shí)絕大多數(shù)項(xiàng)相消的目的.在解 題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式,使之符合 裂項(xiàng)相消的條件. -24- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2018山東濰坊二模)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn,a1=2,an0(nN*),S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中項(xiàng). (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; 解:(1)S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中項(xiàng), 2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5, S6+a6-S4-a4=S5+a5-S6-a6,化簡(jiǎn),得4a6=a4. -25- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 -26- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3 1.數(shù)列求和,一般應(yīng)從通項(xiàng)入手,若通項(xiàng)未知,先求通項(xiàng),再通過(guò)對(duì) 通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式, 從而選擇合適的方法求和. 2.解決非等差、非等比數(shù)列的求和,主要有兩種思路. (1)轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一