（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 第三節(jié) 雙曲線課件 蘇教版

1、第三節(jié)第三節(jié)雙曲線雙曲線 1.雙曲線定義 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 教教 材材 研研 讀讀 3.等軸雙曲線 考點(diǎn)一 雙曲線的定義及其應(yīng)用 考點(diǎn)二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 考考 點(diǎn)點(diǎn) 突突 破破 考點(diǎn)三 雙曲線的幾何性質(zhì) 1.雙曲線定義雙曲線定義 i.第一定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于 常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的 焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距. 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a0,c0. 教材研讀 (1)當(dāng)2a|F1F2|時(shí),P點(diǎn)不存在. ii.第二定義:平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F

2、的距離和它到定直線l(F不在l上)的距 離的比是常數(shù)e(e1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.定點(diǎn)F是焦點(diǎn), 定直線l是準(zhǔn)線,常數(shù)e是離心率. 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 3.等軸雙曲線等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線,其漸近線方程為 y=x,離心率e為. 知識(shí)拓展知識(shí)拓展 雙曲線方程的四種常見設(shè)法雙曲線方程的四種常見設(shè)法 (1)與雙曲線-=1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-=(0). (2)若雙曲線的漸近線方程為y=x,則雙曲線方程可設(shè)為-=( 2 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x a 2 2 y b n m 2 2 x m 2 2 y n 0)或

3、n2x2-m2y2=(0). (3)與雙曲線-=1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為-=1(-b2k a2). (4)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的方程可設(shè)為mx2+ny2=1(mn0). 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x ak 2 2 y bk 1.(教材習(xí)題改編)若雙曲線8kx2-ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3),則k=. 答案答案-1 解析解析雙曲線方程可化為-=1,則a2=-,b2=-,c2=a2+b2=-=9,解得 k=-1. 2 8 y k 2 1 x k 8 k 1 k 9 k 2.(2018學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三情況調(diào)研)雙曲線-=1的漸近線方 程為. 2 4 x 2 3 y 答案答案

4、y=x 3 2 3.(2019江蘇南通高考模擬)雙曲線mx2+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則 實(shí)數(shù)m=. 答案答案- 1 4 解析解析由題意知m0,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2-=1,則-=4,m=-. 2 1 x m 1 m 1 4 4.(教材習(xí)題改編)若雙曲線的方程為-=1,且過(guò)點(diǎn)(a,0),(0,b)的直線 的傾斜角為150,則雙曲線的離心率為. 2 2 x a 2 2 y b 答案答案 2 3 3 解析解析由題意得-=tan150=-,解得a=b,則c=2b,則離心率e= =. b a 3 3 3 c a 2 3 2 3 3 5.(教材習(xí)題改編)經(jīng)過(guò)M,N(4,-3)兩點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

5、程是 . 4 3 ,1 3 答案答案-=1 2 4 x 2 3 y 解析解析設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn0),代入點(diǎn)M、N的坐標(biāo)得 解得m=,n=-,故所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 16 1, 3 1691, mn mn 1 4 1 3 2 4 x 2 3 y 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 雙曲線的定義及其應(yīng)用雙曲線的定義及其應(yīng)用 典例典例1(1)已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及 圓C2外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為. (2)已知雙曲線-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),若 |PF1|=2|PF2|,則cosF1PF2=.

6、 2 2 x 2 2 y 考點(diǎn)突破 答案答案(1)x2-=1(x-1)(2) 2 8 y3 4 解析解析(1)如圖所示,設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B,根據(jù) 兩圓外切的充要條件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因?yàn)閨MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=26. 這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2、C1的距離的差是常數(shù)2且小于|C1C2|.根據(jù)雙 曲線的定義知,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M到C2的距離大,到C1的 距離小),且a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則其軌跡方程為x2-=1 (x

7、-1). (2)由雙曲線的方程可得a=b=,c=2, 由得|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cosF1PF2= = . 2 8 y 2 12 12 | 2 2, | 2| PFPF PFPF 22 222 1212 12 | 2| | PFPFFF PFPF 3 4 解析解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2a=2, 在F1PF2中,由余弦定理,得 cosF1PF2=, 所以|PF1|PF2|=8, 所以=|PF1|PF2|sin60=2. 2 222 1212 12 | 2| | PFPFFF PFPF 1 2 12 F PF S 1 2 3 探究探究若將本例

8、(2)中的條件“|PF1|=2|PF2|”改為“F1PF2=60”, 則F1PF2的面積是多少? 線,進(jìn)而根據(jù)已知條件可求出雙曲線方程;(2)在“焦點(diǎn)三角形”中,常利 用正弦定理、余弦定理,結(jié)合|PF1|-|PF2|=2a,運(yùn)用平方的方法,建立與 |PF1|PF2|的關(guān)系. 易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示 利用雙曲線的定義解決問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn):(1)距離之差的絕對(duì)值;(2) 2a0,b0),則a2+b2=7,= ,解得a=2,b=,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. (2)設(shè)雙曲線的方程為mx2-ny2=1(mn0). 雙曲線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-3,2)和Q(-6,-7), 2 16 x 2 9 y 7 7 4 2 2

9、x a 2 2 y b c a 7 a 7 2 3 2 4 x 2 3 y 72 9281, 72491, mn mn 解得 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 方法技巧方法技巧 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法 (1)定義法:由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線,由雙曲線的定義確 定2a,2c,然后確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點(diǎn)的位置寫出雙曲線方程. 1 , 75 1 . 25 m n 2 25 y 2 75 x (2)待定系數(shù)法:根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后 根據(jù)條件列出關(guān)于a,b的方程組,解出a,b,從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示 (1)雙曲線

10、的焦點(diǎn)位置僅靠漸近線是確定不了的,必須結(jié)合其他已知條件 綜合判斷.(2)正確判斷所求軌跡是雙曲線,還是雙曲線的一支,若是雙曲 線的一支,則需確定是哪一支. 2-1設(shè)雙曲線與橢圓+=1有共同的焦點(diǎn),且與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn) 的坐標(biāo)為(,4),則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是. 2 27 x 2 36 y 15 答案答案-=1 2 4 y 2 5 x 解析解析橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3),設(shè)雙曲線方程為-=1(a 0,b0),根據(jù)雙曲線的定義,知2a= =4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 2 27 x 2 36 y 2 2 y a 2 2 x b 2222 ( 15

11、0)(43)( 150)(43) 2 4 y 2 5 x 典例典例3(1)(2019揚(yáng)州高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線- =1(a0,b0)的漸近線與圓x2+y2-6y+5=0沒(méi)有交點(diǎn),則雙曲線的離心率 的取值范圍是. (2)(2018江蘇海安高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期階段測(cè)試)設(shè)雙曲線-=1(0 a0,b0)的漸近線bxay=0與圓x2+y2-6y+5=0 沒(méi)有交點(diǎn),則=2,3a2c,則離心率e=. 2 2 x a 2 2 y b 22 3a ab 3a c c a 3 1, 2 (2)由題意可得直線l的方程為+=1,即bx+ay-ab=0,則原點(diǎn)到直線l的距 離為=c,則16a2b2

12、=3c4,則3e4-16e2+16=0,解得e=2或e=,又b a0,所以c2=a2+b22a2,ca,e=,所以e=2. x a y b 22 |ab ab 3 4 2 3 3 2 c a 2 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 求雙曲線的離心率或其取值范圍的方法求雙曲線的離心率或其取值范圍的方法 (1)求出a與c(或b)的值,由e2=1+求e. (2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),根據(jù)b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成 關(guān)于e的方程(或不等式)求解. 2 2 c a 22 2 ab a 2 2 b a 典例典例4(1)(2018南京高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-= 1的焦點(diǎn)到其漸近

13、線的距離為. (2)(2018江蘇三校高三聯(lián)考)若雙曲線-=1的離心率為,則雙曲線 的漸近線方程為. 2 16 x 2 9 y 2 x m 2 9 y5 4 角度二與雙曲線的漸近線有關(guān)的問(wèn)題角度二與雙曲線的漸近線有關(guān)的問(wèn)題 答案答案(1)3(2)3x4y=0 解析解析(1)雙曲線-=1的焦點(diǎn)到漸近線y=x的距離為3. (2)易知m0,離心率e=,解得m=16,則雙曲線的漸近線方程為3x 4y=0. 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 求雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程的方法是令-=0,得y= x;反之,已知雙曲線的漸近線方程為y=x,可設(shè)雙曲線方程為-= (a0,b0). 2 16 x 2 9 y3 4 9m m 5 4 2 2 x a 2 2 y b 2 2 x a 2 2 y b b a b a 2 2 x a 2 2 y b 3-1(2019江蘇徐