信號與系統(tǒng)PPT教程第四章 傅里葉變換

1、1 第四章第四章 傅里葉變換傅里葉變換 本章提要本章提要 傅里葉級數(shù)和傅里葉級數(shù)的性質(zhì)傅里葉級數(shù)和傅里葉級數(shù)的性質(zhì) 傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì) 周期信號和非周期信號的頻譜分析周期信號和非周期信號的頻譜分析 卷積和卷積定理卷積和卷積定理 抽樣信號的傅里葉變換和抽樣定理抽樣信號的傅里葉變換和抽樣定理 相關(guān)、能量譜和功率譜相關(guān)、能量譜和功率譜 2 4.1 4.1 引言引言 一、一、傅里葉生平傅里葉生平 1768年生于法國年生于法國 1807年提出年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)任何周期信號都可用正弦函數(shù) 級數(shù)表示級數(shù)表示” 1829年狄利克雷第一個給出收斂條件年狄利克

2、雷第一個給出收斂條件 拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表 1822年首次發(fā)表年首次發(fā)表“熱的分析理論熱的分析理論”中中 3 二、傅立葉的兩個最主要的貢獻二、傅立葉的兩個最主要的貢獻 “周期信號都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號周期信號都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號 的加權(quán)和的加權(quán)和”傅里葉的第一個主要論點傅里葉的第一個主要論點 “非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示” 傅里葉的第二個主要論點傅里葉的第二個主要論點 三、變換域分析三、變換域分析 頻域分析傅里葉變換，自變量為頻域分析傅里葉變換，自變量為 j 復頻域分析拉氏變換復頻域分析拉氏變換, 自變量為自變量為

3、 s = +j z域分析域分析z 變換，自變量為變換，自變量為 st ez 4 4.24.2周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析 周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無 窮級數(shù)：窮級數(shù)： 三角函數(shù)式的三角函數(shù)式的 傅立里葉級數(shù)傅立里葉級數(shù) cosn 1t, sinn 1t 復指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù)復指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù) e j n 1t 5 一、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù) 1 1 2 t )sincos()( 11 1 01 tnbtnaatf nn n 直流 分量 基波分量 n =1 諧波分量 n1 6 10 0 )( 1 1 0 tt

4、t dttf t a 10 0 1 1 cos)( 2 tt t n tdtntf t a tdtntf t b tt t n 10 0 1 1 sin)( 2 直流系直流系 數(shù)數(shù) 余弦分量余弦分量 系數(shù)系數(shù) 正弦分量正弦分量 系數(shù)系數(shù) 7 狄利克雷條件：狄利克雷條件： .在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點；在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點； .在一個周期內(nèi)有有限個極值點；在一個周期內(nèi)有有限個極值點； .在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即 一般周期信號都滿足這些條件一般周期信號都滿足這些條件. 01 0 ( ) tt t f tdt 8 三角函數(shù)是正交函數(shù)三角函數(shù)是正交函數(shù) )2

5、. 3(0sincos 11 10 0 tdtmtn tt t )3 . 3( )( )( 0 sinsin 0 0 1 2 11 nm nm tdtmtn tt t t ) 3 . 3( )( )( 0 coscos 0 0 1 2 11 nm nm tdtmtn tt t t 9 周期信號的另一種周期信號的另一種 三角函數(shù)正交集表示三角函數(shù)正交集表示 01 1 ( )cos() nn n f tccn t )sin()( 1 10n n n tnddtf 10 比較幾種系數(shù)的關(guān)系比較幾種系數(shù)的關(guān)系 sincos nnnnn bcd 000 dca 22 nnnn badc n n n b

6、a tg n n n b tg a cossin nnnnn acd 11 周期函數(shù)的頻譜：周期函數(shù)的頻譜： an,bn,cn和和 n都是都是 n 1的函數(shù)。把的函數(shù)。把cn（各頻率分量（各頻率分量 的相對大?。┑南鄬Υ笮。 1的關(guān)系繪成線圖，此圖為信號的的關(guān)系繪成線圖，此圖為信號的 幅度頻譜（幅度譜），圖中每條線代表某一頻率分量幅度頻譜（幅度譜），圖中每條線代表某一頻率分量 的幅度，稱為譜線。的幅度，稱為譜線。 n對對n 1的關(guān)系線圖為信號的相的關(guān)系線圖為信號的相 位譜。因為位譜。因為cn和和 n只在只在n 1 （各頻率點且（各頻率點且n=0）取值，）取值， 所以周期信號的幅度譜與相位

7、譜均為單邊離散譜。所以周期信號的幅度譜與相位譜均為單邊離散譜。周周 期信號的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。期信號的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。 直觀看出：各分量的大小，各分量的相移。直觀看出：各分量的大小，各分量的相移。 cn 1 )(n 1 12 二、周期函數(shù)的復指數(shù)級數(shù)二、周期函數(shù)的復指數(shù)級數(shù) n tjn n tjntjn j n j n n tjnj n tjnj n n tnjtnj n n nn enf enfenfftf e c nfe c nfcf ee c ee c c ee cc tncctf nn nn nn 1 11 11 11 )( )()()( 2

8、)(, 2 )(, 22 2 )cos()( 1 1 110 1100 1 0 1 )()( 0 1 10 令 引入了引入了 負頻率負頻率 13 0000 adcf )( 2 1 nn j nn jbaeff n )( 2 1 nn j nn jbaeff n 兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系 22 2 1 2 1 2 1 nnnnnn badcff nnn cff 14 nnn aff nnn bffj )( nnnnnn ffbadc 4 2222 15 頻譜圖頻譜圖 同樣可以畫出復指數(shù)形式表示的信號頻譜，同樣可以畫出復指數(shù)形式表示的信號頻譜， 因因 f(n 1)一般是

9、復函數(shù)，稱為復數(shù)頻譜。一般是復函數(shù)，稱為復數(shù)頻譜。 |f(n 1)| 為復數(shù)幅度譜，為復數(shù)幅度譜， n 為相位譜。為相位譜。同同 樣因為樣因為|f(n 1)|和和 n只在只在n 1 取值，而取值，而n的取值可的取值可 從從- 到到+ ，因此指數(shù)形式表示的信號頻譜為離，因此指數(shù)形式表示的信號頻譜為離 散的雙邊譜。散的雙邊譜。 注：應把指數(shù)形式表示的信號頻譜的正、負頻率注：應把指數(shù)形式表示的信號頻譜的正、負頻率 上對應的兩條譜線矢量相加才代表一個頻率分量上對應的兩條譜線矢量相加才代表一個頻率分量 的幅度。負頻率的出現(xiàn)完全是數(shù)學運算的結(jié)果，的幅度。負頻率的出現(xiàn)完全是數(shù)學運算的結(jié)果， 無物理意義。如圖

10、無物理意義。如圖3-2。 16 周期復指數(shù)信號的頻譜圖周期復指數(shù)信號的頻譜圖 n n f n f 1 1 1 0 0 0 17 例例 將全波整流信號將全波整流信號f(t)=|sin f(t)=|sin t|t|展開成指數(shù)形展開成指數(shù)形 式的傅里葉級數(shù)，并畫出頻譜圖。式的傅里葉級數(shù)，并畫出頻譜圖。 1 0 1 0 1 0 2 1 11 0 1 1 )21cos()21cos( )21sin()21sin( 2 1 2sin2cossin sin)( 2, 1 sin 1 )( 1 1 dttntnj tntn dttnjtntdttenf tdtte t nf tjn t tjn 其中 18 2

11、,.1,0,n )41 ( 2 )21 ( 2 )21 ( 2 2 1 0 1 )21sin( )21 ( 1 0 1 )21sin( )21 ( 1 0 1 )21cos( )21 ( 1 0 1 )21cos( )21 ( 1 2 1 )( 2 1 nnn tn n jtn n j tn n tn n nf . 35 2 15 2 3 2 . 35 2 15 2 3 22 )41( 2 )( 642 642 2 2 tjtjtj tjtjtj n tjn eee eee e n tf 19 一次諧波分量由一次諧波分量由n=+1,n=-1兩條譜線決定，兩條譜線決定， 二次諧波分量由二次諧波分

12、量由 n=+2,n=-2兩條譜線決定兩條譜線決定 2 4 6 -2 -4 -6 2 4 6 -2 -4 -6 f(n 1) |f(n 1)| 2 4 6 -2 -4 -6 n 幅度譜幅度譜 相位譜相位譜 20 三、譜系數(shù)三、譜系數(shù)f(n)的性質(zhì)的性質(zhì) 1.奇偶虛實性奇偶虛實性 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 11 1 2 2 11 1 2 21 2 21 1 sin)(cos)( 1 sincos)()( 1 )()( 1 )( 1 )( )()()( t toe t toe t t tjn oe t t tjn oe dttntjftntf t dttnjtntf

13、tf t dtetftf t dtetf t nf tftftf 21 若若f(t)為偶函數(shù)，那么為偶函數(shù)，那么f(n 1)為實函數(shù)為實函數(shù) （an 0，bn=0），），f(t)的傅里葉級數(shù)只含有余弦的傅里葉級數(shù)只含有余弦 項，相位為項，相位為 ； f(t)為奇函數(shù)，那么為奇函數(shù)，那么f(n 1)為虛函數(shù)為虛函數(shù) （ an=0，bn 0），），f(t)的傅里葉級數(shù)只含有正弦的傅里葉級數(shù)只含有正弦 項，相位項，相位 ； f(t)為非奇非偶，那么為非奇非偶，那么f(n 1)為復函數(shù)為復函數(shù) （an 0，bn 0），），f(t)的傅里葉級數(shù)既含有余弦的傅里葉級數(shù)既含有余弦 項，又含有正弦項。項，又含

14、有正弦項。 90 180 22 2. 奇諧函數(shù)，即波形沿時間軸平奇諧函數(shù)，即波形沿時間軸平 移半周期并相對于時間軸上下移半周期并相對于時間軸上下 反轉(zhuǎn)。如圖反轉(zhuǎn)。如圖3-5，直流分量，直流分量a0=c0=f0=0；對于；對于 偶次諧波分量，其系數(shù)為偶次諧波分量，其系數(shù)為0；而奇次諧波分量；而奇次諧波分量 系數(shù)不為系數(shù)不為0，故奇諧函數(shù)只含有基波和奇次諧，故奇諧函數(shù)只含有基波和奇次諧 波分量。波分量。 ) 2 ()( 1 t tftf t1/2 -t1/20 t 23 3.時移特性時移特性 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 21 2 21 2 21 )( 1 )( 1 )( 1

15、)( )( )( jn n t t tjnjn t t tjn tt t t tjn jn nn ef dtetfe t dtetf t dtetf t tf eftfftf 令 的傅里葉級數(shù)為：證 則若 24 4.微分特性微分特性 )( )( 1 )( 1 )( 1 )(1 )( 11 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 21 1 1 1 1 11 1 1 1 nfjn dtetf t jn dtejntf t etf t dte dt tdf t fjn dt df(t) ftf t t jn t t tjn t t tjn t t tjn nn 證 則若 25

16、 例刪除直流分量偏移以顯現(xiàn)隱藏的對稱性例刪除直流分量偏移以顯現(xiàn)隱藏的對稱性 刪除直流分量刪除直流分量a0=0.5后，信號為奇對稱。故后，信號為奇對稱。故 an=0，其付里葉級數(shù)只有正弦分量。，其付里葉級數(shù)只有正弦分量。 12 1 n ntntnt n tdtnt tdtntf t b t n 1 0 1 )2(2)2sin( )2( 2 2sin2 sin)( 2 2 1 0 0 1 26 可利用微分特性求譜系數(shù)可利用微分特性求譜系數(shù) 例周期信號例周期信號f(t)如下圖，試求其譜系數(shù)。如下圖，試求其譜系數(shù)。 取一個周期的取一個周期的f (t) f (2)(t) e 2 t 2 t 2 t 2

17、t 2 t 2 t t e2 ) 2 ( t e ) 4 ( t e )()() 1(cos 4242 ) 2 ( 2 )( 4 ) 2 ( 2 1 )( ) 2 ( 2 )( 4 ) 2 ( 2 )( 1 2 1 2222 2 2 2 2 2 2 1 1 11 nfjnn t e e t e t e e t e dte t t t e dtet t e dte t t t e t nf t t t e t t et t t e tf jnjn t t tjn t t tjn t t tjn 變 27 )( )( 1 )()( 1 2 1 1 nf jn nftf 變 應補出直流分量應補出直流

18、分量2e 例半波整流信號例半波整流信號f(t)，周期為，周期為t，試求其譜系數(shù)。，試求其譜系數(shù)。 ) 2 ()()cos( ) 2 ()()sin() 2 ()()cos()( ) 2 ()()sin()( 0 11 111 1 t tutute t ttte t tututetf t tututetftt 28 ,.,n ,., n n e n n e nf nfjnn t e nf e t e nf dte t tt t e nfnf t ttetf t tte t tutute t ttte t tututetf jn t t tjn 53 0 42, 0 )1 ( 2 )cos1 (

19、)1 ( )( )()()cos1 ()( )1 ()( ) 2 ()()()( ) 2 ()()( ) 2 ()() 2 ()()sin( ) 2 ()()cos() 2 ()()sin()( 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 11 1 2 1 11 2 1 111 2 1 1 變 29 2 1 2 1 4 )( 4 )( 0 0 1 jj e e fe e f n 型，應單獨求時為由于 12 14 1-4 1-2 1- 1 12 14 1-2 1- 1-4 1 |f(n 1)| (n) 30 四、周期信號的功率特性四、周期信號的功率特性 p為周期信

20、號的平均功率為周期信號的平均功率 符合帕斯瓦爾定理符合帕斯瓦爾定理 10 0 )( 1 )( 2 1 2 tt t dttf t tfp t m tjm n tjn t dtemfenf t dttf t p 0 1 * 1 0 2 11 )()( 1 )( 1 31 1 2 2 0 1 2 1 2 2 1 0 )( 1 * 1 )( 0 )( 1 * 1 2 )(2)0()( )()( 1 0 )()( 1 1 1 1 n n nn nm t tmnj tmnj t tmnj mn c c nffnf dtemfnf t p mn m nt e dtemfnf t 功率譜功率譜：|f(n 1)|2n 1 32 五、傅里葉有限級數(shù)五、傅里葉有限級數(shù) 如果完全逼近，則如果完全逼近，則 n= ; 實際中，實際中，n=n, n是有限整數(shù)。是有限整數(shù)。 如果如果 n愈接近愈接近 ，則，則 其均方誤差愈小其均方誤差愈小 若用若用2n1項逼近，則項逼近，則 )sincos()( 11 1 0 tbtaats n n n nn 33 誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)和均方誤差 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 均方誤差均方誤差 )()()(tstft nn )( 2 1 )()( 222 0 22 nnnn baatfte 34 例如對稱方波：偶函數(shù)且奇諧函數(shù)例如