概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案詳解版(廖茂新復(fù)旦版)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案詳解版( 廖茂新復(fù)旦版 )習(xí) 題 一1.設(shè) A，B，C 為三個(gè)事件，用A，B，C 的運(yùn)算式表示下列事件：（1） A 發(fā)生而 B 與 C 都不發(fā)生；（2） A，B，C 至少有一個(gè)事件發(fā)生；（3） A，B，C 至少有兩個(gè)事件發(fā)生；（4） A，B，C 恰好有兩個(gè)事件發(fā)生；（5） A，B 至少有一個(gè)發(fā)生而C 不發(fā)生；（6） A，B，C 都不發(fā)生 .解：（1）A BC 或 A B C 或 A （BC）.（2）ABC.（3）（AB）（ AC）（ BC）.（4）（ABC ）（ AC B ）（ BC A ）.（5）（AB） C .（6） ABC 或 ABC .2. 對(duì)于任意事件 A，B

2、，C，證明下列關(guān)系式：（1）(A+B) (A+ B )( A + B)( A + B )=；（2）AB+ A B +A B + A BAB = AB；（3）A-(B+C)= (A-B)-C.證明：略 .第1 頁(yè)共 41 頁(yè)3.設(shè) A，B 為兩事件， P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1） A 發(fā)生但 B 不發(fā)生的概率；（2） A，B 都不發(fā)生的概率；（3） 至少有一個(gè)事件不發(fā)生的概率.解（1） P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2) P( AB )=P( A B )=1-P(AB)=1-0.7=0.3；(3) P( A B

3、 ）=P( AB ）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4. 調(diào)查某單位得知。 購(gòu)買空調(diào)的占 15，購(gòu)買電腦占 12，購(gòu)買 DVD的占 20%；其中購(gòu)買空調(diào)與電腦占6%，購(gòu)買空調(diào)與 DVD占 10%，購(gòu)買電腦和 DVD占 5，三種電器都購(gòu)買占2。求下列事件的概率。（1）至少購(gòu)買一種電器的；（2）至多購(gòu)買一種電器的；（3）三種電器都沒購(gòu)買的 .解：（1） 0.28,（2）0.83,（3） 0.725.10 把鑰匙中有 3 把能打開門，今任意取兩把，求能打開門的概率。解： 8/156. 任意將 10 本書放在書架上。其中有兩套書，一套3 本，另一套 4本。求下列事件的概率。（1）3 本一套放在一

4、起；（2）兩套各自放在一起；（3）兩套中至少有一套放在一起.解： （1）1/15， （ 2）1/210， （3）2/21第2 頁(yè)共 41 頁(yè)7. 12 名新生中有 3 名優(yōu)秀生，將他們隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班中去，試求：（ 1） 每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率；（ 2） 3 名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班的概率 .解 12 名新生平均分配到三個(gè)班的可能分法總數(shù)為44412!C12C 8C4(4! )3（ 1） 設(shè) A 表示“每班各分配到一名優(yōu)秀生”3 名優(yōu)秀生每一個(gè)班分配一名共有3！種分法，而其他9 名學(xué)生平均分配到 3 個(gè)班共有 9!3 種分法，由乘法原理， A 包含基本事件(3! )數(shù)為3！ 9!3

5、= 9! 2(3! )(3!)故有P（A）= 9! 2/ 12!3 =16/55(3!)(4! )（ 2） 設(shè) B 表示“ 3 名優(yōu)秀生分到同一班” ，故 3 名優(yōu)秀生分到同一班共有 3 種分法，其他9 名學(xué)生分法總數(shù)為 C19C84C44 9!，故由乘法原理， B 包含樣本總數(shù)為 3 9! .1!4!4!1!4!4!39!12!故有P（B）= 4！2/ 4！3 =3/558.箱中裝有 a 只白球， b 只黑球，現(xiàn)作不放回抽取，每次一只.（1） 任取 m+n 只，恰有 m 只白球， n 只黑球的概率（ ma,n第3 頁(yè)共 41 頁(yè)b）;(2) 第 k 次才取到白球的概率（ kb+1）;（3）

6、第 k 次恰取到白球的概率 .解 （1）可看作一次取出 m+n 只球，與次序無(wú)關(guān)，是組合問題 . 從 a+b 只球中任取 m+n 只，所有可能的取法共有 Cma bn 種，每一種取法為一基本事件且由于對(duì)稱性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.從a 只白球中取 m 只，共有 Cma 種不同的取法，從 b 只黑球中取 n 只，共有 Cnb 種不同的取法 .由乘法原理知，取到 m 只白球， n 只黑球的取法共有 C ma Cnb 種，于是所求概率為m n C C(2) 抽取與次序有關(guān) .每次取一只，取后不放回，一共取 k 次，每種取法即是從 a+b 個(gè)不同元素中任取 k 個(gè)不同元素的一個(gè)排列， 每種取法

7、是一個(gè)基本事件，共有 Pak b 個(gè)基本事件，且由于對(duì)稱性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同 .前 k-1 次都取到黑球，從 b 只黑球中任取k-1 只的排法種數(shù)， 有 Pbk 1 種，第 k 次抽取的白球可為 a 只白球中任一只，有 Pa1種不同的取法 .由乘法原理，前 k-1 次都取到黑球，第 k 次取到白球的取法共有 Pbk 1Pa1 種，于是所求概率為k11p2= Pb k Pa .Pa b(3) 基本事件總數(shù)仍為 Pak b .第 k 次必取到白球，可為 a 只白球中任一只，有 Pa1 種不同的取法，其余被取的 k-1 只球可以是其余 a+b-1只球中的任意 k-1 只，共有 Pak b

8、1 1 種不同的取法，由乘法原理，第k 次第4 頁(yè)共 41 頁(yè)恰取到白球的取法有 Pa1 Pak b11 種，故所求概率為Pa1Pak b11ap3=Pak ba b .9.在區(qū)間（ 0，1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的乘積小于1/4 的概率 .解設(shè)在（ 0，1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)為 x,y，則0x1,0y1圖 1-7即樣本空間是由點(diǎn)（ x，y）構(gòu)成的邊長(zhǎng)為 1 的正方形，其面積為1.令 A 表示“兩個(gè)數(shù)乘積小于1/4”，則A= （x,y） 0xy1/4,0x1,0y1事件 A 所圍成的區(qū)域見圖1-7，則所求概率第5 頁(yè)共 41 頁(yè)1111(11 )dx1dxdy1/41 3P(A) =1/41/4

9、x14x1411 / 41 dx11 ln 2 .4x4210.兩人相約在某天下午500600 在預(yù)定地方見面，先到者要等候 20 分鐘，過(guò)時(shí)則離去 .如果每人在這指定的一小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的，求約會(huì)的兩人能會(huì)到面的概率 .解設(shè) x,y 為兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻，那么，兩人到達(dá)時(shí)間的一切可能結(jié)果落在邊長(zhǎng)為60 的正方形內(nèi)，這個(gè)正方形就是樣本空間,而兩人能會(huì)面的充要條件是x-y 20，即x-y20 且 y-x20.令事件 A 表示“兩人能會(huì)到面” ，這區(qū)域如圖1-8 中的 A.則m( A)6024025P(A) = m( )6029.11.一盒中裝有 5 只產(chǎn)品，其中有 3 只正品， 2

10、 只次品，從中取產(chǎn)品兩次，每次取一只，作不放回抽樣，求在第一次取到正品條件下，第二次取到的也是正品的概率.解設(shè) A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件由條件得P（A）=(34)/(54)= 3/5，P(AB)= (32)/(54)= 3/10，第6 頁(yè)共 41 頁(yè)故有P（BA）=P（AB）/P（A）=(3/10)/( 3/5)=1/2.此題也可按產(chǎn)品編號(hào)來(lái)做，設(shè) 1，2，3 號(hào)為正品， 4，5 號(hào)為次品，則樣本空間為 =1 ，2，3，4，5 ，若 A 已發(fā)生，即在 1，2，3中抽走一個(gè)，于是第二次抽取所有可能結(jié)果的集合中共有 4 只產(chǎn)品，其中有 2 只正品，故得P（

11、BA）=2/4=1/2.12. 設(shè) P（ A ）=0.3,P(B)=0.4,P(A B )=0.5，求 P（BA B ).解P( B A U B)P( AB)P( A) P( AB)P( A U B)P( A)P(B)P( AB)0.70.510.70.60.5413.設(shè)盒中有 m 只紅球， n 只白球，每次從盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只與所取顏色相同的球 .若在盒中連取四次，試求第一次，第二次取到紅球，第三次，第四次取到白球的概率.解設(shè) Ri(i=1,2,3,4)表示第i 次取到紅球的事件，Ri(i=1,2,3,4)表示第 i 次取到白球的事件 .則有P( R1 R2 R3 R4

12、) P( R1)P( R2 R1) P( R3 R1R2 ) P(R4 R1R2 R3 )mm knn k.mnmnkmn2kmn3k14. 倉(cāng)庫(kù)中有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次為甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲廠，乙廠、丙廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的次品率依次為 1/10,1/15,1/20. 從這十箱產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，求取得第7 頁(yè)共 41 頁(yè)正品的概率。解： 0.9215. 有兩箱同類零件，第一箱有 50 個(gè)，其中 10 個(gè)一等品，第二箱有30 個(gè)，其中 18 個(gè)一等品?，F(xiàn)任取一箱，從中任取零件兩次，每次取一個(gè)，取后不放回。 求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率； （2）在第一

13、次取到一等品的條件下，第二次取到一等品的條件概率； （3）兩次取到的都不是一等品的概率。解：設(shè)A表示取到第一箱零件，Bi (i1,2)：表示第次取到一等品，由全概率公式知：P( A) P( B2 BA)P( A)P(B1 B2A) P(A) P( B2B A)P( B2 )P( A) P(B1B2 A)11C102C101C401C182C181C121)0.40.5( 2222C50A50C30A30P(B2 B1 )P(B1B2 )P(B1B2A)P( A)P( B1 B2A) P( A)P( B1 )P( B1 A)P( A)P( B1A)P( A)0.5(C1022C1822 )C50

14、C300.48560.5(0.20.6)1B21B2A)12A)C402C122P( B) P( A) P( BP( A)P( B B0.5( 22 ) 0.3942C50C3016. 設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中有 n 只白球、m 只紅球；乙袋中有 N 只白球、M 只紅球 . 今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?第8 頁(yè)共 41 頁(yè)問從乙袋中取到白球的概率是多少？解：記 A1：甲袋中取得白球； A2 ：甲袋中取得紅球； B ：從乙袋中取得白球；由全概率公式P( B)P( A1 U A2 ) BP( A1 B U A2 B)P(B | A1) P( A1)P(B | A2 )P( A2

15、)N1nNmMN1 mnMN1 mn17. 一箱產(chǎn)品， A，B 兩廠生產(chǎn)分別個(gè)占 60，40，其次品率分別為1，2?，F(xiàn)在從中任取一件為次品，問此時(shí)該產(chǎn)品是哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？解：取出產(chǎn)品是B 廠生產(chǎn)的可能性大。18.由以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下效果：被診斷者有癌癥，試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性的概率為0.95；被診斷者沒有癌癥，試驗(yàn)反應(yīng)為陰性的概率為0.95現(xiàn)對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人群中患有癌癥的概率為0.005，求：已知試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，該被診斷者確有癌癥的概率 .解設(shè) A 表示“患有癌癥”， A 表示“沒有癌癥”，B 表示“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，則由條件得P（A）=0.005,P(

16、 A )=0.995，P(BA)=0.95,P( B A ）=0.95由此 P（B A ）=1-0.95=0.05第9 頁(yè)共 41 頁(yè)由貝葉斯公式得P（AB）=P( A)P(B A)=0.087.P( A)P( B A)P( A) P(B A)19. 設(shè)每次射擊的命中率為 0.2，問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于 0.9?解 設(shè)必須進(jìn)行 n 次獨(dú)立射擊 .1 (0.8) n0.9即為(0.8) n0.1故n11至少必須進(jìn)行 11 次獨(dú)立射擊 .20. 三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為1/5， 1/3，1/4，求將此密碼破譯出的概率.解設(shè) Ai= 第 i

17、人能破譯 （i=1,2,3），則3P( U Ai ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )i 114230.653421.設(shè)在 N 件產(chǎn)品中有 M 件次品，現(xiàn)進(jìn)行n 次有放回的檢查抽樣，試求抽得 k 件次品的概率 .解 由條件，這是有放回抽樣， 可知每次試驗(yàn)是在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，故本題符合 n 重貝努里試驗(yàn)的條件，令 A 表示“抽到一件次品”第 10 頁(yè) 共 41 頁(yè)的事件 .則P（A）=p=M/N,以 Pn(k)表示 n 次有放回抽樣中，有 k 次出現(xiàn)次品的概率，由貝努里概型計(jì)算公式，可知Pn(k)= Ckn ( M ) k (1M )n k ,k

18、=0,1,2,， n.NN22. 將一枚均勻硬幣擲2n 次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.解 擲 2n 次硬幣，可能出現(xiàn)： A= 正面次數(shù)多于反面次數(shù) ，B= 正面次數(shù)少于反面次數(shù) ，C= 正面次數(shù)等于反面次數(shù) ， A，B， C 兩兩互斥 .可用對(duì)稱性來(lái)解決 .由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以P( A)1 P(C)2由 2n 重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n 次的概率為P(C)C2nn ( 1)n ( 1)n22故P( A)11C2nn 122 n2習(xí) 題 二1.從一批有 10 個(gè)合格品與 3 個(gè)次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品，各種產(chǎn)品被抽到的可能性相同，求在二種情況下，直到取出合格第

19、 11 頁(yè) 共 41 頁(yè)品為止，所求抽取次數(shù)的分布律：（1）放回；（2）不放回 .解（ 1） P XK (3/13) k 1 (10 /13)X1234（2）P10/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)2. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為kP X=k= a，k!其中 k=0，1，2， 0 為常數(shù)，試確定常數(shù)a.解 由分布律的性質(zhì)知k1P( Xk) aga ek 0k 0k!故a e3.某大學(xué)的校乒乓球隊(duì)與數(shù)學(xué)系乒乓球隊(duì)舉行對(duì)抗賽.校隊(duì)的實(shí)力較系隊(duì)為強(qiáng)，當(dāng)一個(gè)校隊(duì)運(yùn)動(dòng)員與一個(gè)系隊(duì)運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)，校隊(duì)運(yùn)動(dòng)員獲勝的概率為 0.6.現(xiàn)在校、

20、系雙方商量對(duì)抗賽的方式， 提了三種方案：（1）雙方各出 3 人；（2）雙方各出 5 人；（3）雙方各出 7 人.三種方案中均以比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利 .問：對(duì)系隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪一種方案有利？解 設(shè)系隊(duì)得勝人數(shù)為 X，則在上述三種方案中，系隊(duì)勝利的概率為第 12 頁(yè) 共 41 頁(yè)3（ 1） P X2=C3k (0.4)k (0.6)3 k 0.352；k25(2) P X3=C5k (0.4)k (0.6) 5 k 0.317；k37(3) P X4=C7k (0.4)k (0.6) 7 k 0.290.k4因此第一種方案對(duì)系隊(duì)最為有利.這在直覺上是容易理解的，因?yàn)閰①惾藬?shù)越少，系隊(duì)僥幸獲勝的可

21、能性也就越大.4. 一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命準(zhǔn)率為 45%，以 X 表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出 X 的分布律，并計(jì)算 X 取偶數(shù)的概率 .解：隨機(jī)變量X 所有可能的取值為 : 1,2,L , n,L ，分布律為：P( Xk )(10.45)k 1 0.45k1,2,L , n,L , X 取偶數(shù) U X2k ：一列互不相容的事件的和，k 1所以 P X 取偶數(shù) P U X2kP X 2k0.552 k 1 0.45 11/ 31 .k 1i 1i 15. 某十字路口有大量汽車通過(guò)， 假設(shè)每輛汽車在這里發(fā)生交通事故的概率為 0. 001，如果每天有 5000 輛汽車通過(guò)這個(gè)十字路口，求發(fā)

22、生交通事故的汽車數(shù)不少于 2 的概率 .解 設(shè) X 表示發(fā)生交通事故的汽車數(shù)， 則 Xb(n,p),此處 n=5000，p=0. 001，令 =np=5，1P X2=1- P X2=1-P Xkk0=1-(0.999)5000-5(0.999)4999第 13 頁(yè) 共 41 頁(yè)150 e 55e 5.0!1!查表可得P X2=1-0.00674-0.03369=0.95957.6. 設(shè)在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)成功概率為 0.5 ，問需要進(jìn)行多少次實(shí)驗(yàn)，才能使至少成功一次的概率不小于 0.9 。解n47. 設(shè)隨機(jī)變量 X 分布函數(shù)為F（ x）=A Be t ,x0,0,x(0),0.（ 1） 求常數(shù) A，B；（ 2） 求 P X2 ，P X3 ；（ 3） 求分布密度 f（x）.lim F (x)1得 A1【解】（1）由 xlim F (x)lim F (x)B1x0x0（2） P( X2)F (2)1e 2P( X3)1F (3)1(1e 3 ) e 3(3) f ( x)F (x)ex ,x00,x08. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為f（x）=x,0x1,2 x,1x2,0,其他 .求 X 的分布函數(shù) F（x），并畫出 f（x）及 F（ x）.第 14 頁(yè) 共 41 頁(yè)【解】當(dāng) x0 時(shí) F（x）=0當(dāng) 0x1