不定積分公式

1、Ch4、不定積分 1、不定積分的概念與性質(zhì) 1、 原函數(shù)與不定積分 定義1:若F(X)= f(x)，則稱F(x)為f (x)的原函數(shù)。 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)； 若F(x)為f (x)的原函數(shù)，貝U F(x)+C也為f (x)的原函數(shù)； 事實(shí)上，(F(x)+C j =F(x) = f(x) 的任意兩個(gè)原函數(shù)僅相差一個(gè)常數(shù)。 事實(shí)上，由 Fi(x)Fi(x) =Fi(x)-F2(x)= f(x)-f(x) = O，得 Fi(x)-F2(x)=C 故F(x)+C表示了 f(x)的所有原函數(shù)，其中F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)。 定義2: f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記為Jf(x)dx

2、，卜積分號，f (x)- 被積函數(shù)，X-積分變量。 顯然 f f (x)dx = F(x) +C 例1、求下列函數(shù)的不定積分 Jkdx =kx +C 沁xAc inx+C 2、 基本積分表(共24個(gè)基本積分公式) 3、 不定積分的性質(zhì) Jf(X)g(x) dx = J f (x)dx Jg(x)dx Jkf (x)dx = k J f (x)dx (k 工 0) 例2、求下列不定積分 x(卡+C =- 2 1 =fx dx = 、 (2)+1 3 律 Jx 3) dx =5arcsinx3arctanx+C 1 +x J f xex - 2x丿 扶侶加冷礙二席廠訓(xùn)x + C f CSCX(CS

3、CX - cot X dx = J CSC2 xdx - Jcscx cot xdx = - cot X + cscx + C 1、 Jcot2 Vx dx xcos2 xdx ydx sin2 X +cos2 X 2 2 22 dx = Jcsc xdx + Jsec xdx = cotx + tanx+C X 、sin xcos X、 Jfcsc2 X -1 dx = -cotx - X + C X4 1 +1 2 11 1 3 dx = X 一 1 +2 dx = X -x + arctanx + C 1+x2 丿 3 2、不定積分的換元法 、第一類換元法（湊微分法） ff (ax+b

4、dx = f (ax+b d(ax+b ,即 dx = a 1 一 d(ax +b) a 例1、求不定積分 11 Jsin5xdx =- Jsin5xd(5x5x =u Jsinudu 55 1 1 io-2x7d-ro-2x)7do-2x- 7+1 1 =-gcosQx) +C 1(1-2X：7十+C丄(1-2xf+C 16 J半 a +x 1丄jx V _ 12 =-arctan - i + C a1+(x./a2a la 丿 1 r d(x a (20) (23) 32 r dx ，Ja2 -X2 =J d(xa) J11 fsin 5xcos3xdx = f(sin 8x +sin 2

5、x dx = 一 cos8x 一 cos2x +C -(x/ a) fx、 = arcsi n i + C la丿 5 2、J f(Xn Xndx 例2、求不定積分 dxn,即x2dx=dxn rx2e dx = -3 d 2 VI + 1-2 12 2 X 3 jed(X3 )= - e3 3 x 2 lx 丄 cos1dxTcos1d 一 sin +C XXX lx 丿 J coj Xjx = 2 J cos Vxd Vx = 2 si n 依 + C vx dx = 2d7x 1XX 3、 一dx=dlnx, edx=de, sinxdx = -dcosx, X cosxdx = dsi

6、nx, sec2xdx=dtanx, 1 secx tanxdx=dsecx, dx=darctan x,. -277 1 +x 1 dx = d arcsin x, .dx = dJa2 x2, 4a 例3、求不定積分 ftanxdx = fsnxdx = -fdcosX = -lncosx + C = lnsecx + C cosx cosx (16) Jcotxdx cosx dx sin x rdsi nx ，丄c丄小 f= ln sin X 中C = -ln cosx 中C 、sin X (17) Jsecxdx rSecx(secx +tan x ) Jdx = secx + ta

7、n x jd(secx+tanx)= ln(secx + tanx)+C secx + tan x (18) fcscxdx f cscx(cscx - cot X ), fdx = 、 csc X cot X fd(cscx-cotx) = ln(cscx_cotx)+C csc X cot X (19) dx Jcos1 164 x(；ltanx 廠 駕汀=ln(tanC + ex 11 dx 丄 X 1 +e =呻嚴(yán)5+5 dex dx = f=arcta neX +C 1+(ex2 =耳伶+C 例4、求不定積分 dx 2 -a 2a X a 丄v丄心宀蟲a x+a 丿 2a xa x

8、+ a 丿 2 f -X 1 +x2 ln X-a 2a + C X +a (21)(22) 2dx 1 +x2 1 rd(X2 +1 ) c r dx 1 -ln(1 + X2 )- 3arctan x + C 2 dx=2化洽=2伴1 2x+5) dx =ln(X2 -2x 中5arctan 1 2 1 丄 fcos2xd(2x)=1x 2 - - 1 -sin 2x+ C 24 R r 2 ,1 C0S2X1 fsin xdx = dx = X 2 2 f旦二dx = In sin x cos xdx d sin x dlnsinx=inlnsinx + C sin In si nxsi

9、 nxl n sin x、In sin x J dx 、1 + sin X 1 -sin X2,d cosx1- dx = fsec xdx+ f = tan x + C 2 cos x 2 cos x cosx dx f 、cosx +sin x dx _!= V2sin(x + 兀4)72 fcsc X + dix + I I 4八 4丿 / （兀、 （兀y csc X + i-cot x+- 1 X 4丿 1 4丿丿 42 1 In 第二類換元法 1三角代換 例 1、jTaxdx 解: 令 X =asint (或a cost)，貝U Ja2 -x2 = a cost, dx=acostd

10、t 1 + cos 2t 原式=fa cost acostdt =a fdt 2 a2 2 嚴(yán) Jcos2td(2t) 2 2 2 a丄丄a .丄小 a. x a =t + sin 2t +C =arcsin + 2 242 / 2 2 為x +c 丄2 2 -X2 例 2、 J dX d(x a) /2 2 Va -x .=arcsi n+C J1-(x,a)2a 原式=黒空處 a cost 解：令 x=asint x =dt = t + C = arcsi n + C ，a 例 3、 J dx Ja2 +x2 解：令 X =atant (或acott),貝U Ja2 +x2 =ased,

11、dx = asec tdt a sec2 tdt 原式=f = fsectdt =l n(sect +tan t)+C =ln 、a sect X小 + +C a =1 n(x + Jx2 +a2 )+C (24) 解：令 X =atant(或acott)，貝U Jx2 +4 =2sect, dx=2seC4dt a sec2 tdt 原式=J= Jsectdt =l n(sect +tant)+ C = In 、a sect dx 例5、 Vx -a 解: 令 X =asect (或acsct)，則 Jx2-a2 =atant, dx=asecttantdt Jx2 + a2 a 原式=fa

12、sect tantdt = fsectdt =ln(sect +tant )+C = ln 、ata nt =In(X + Jx2 -a2)+ C 例6、f叵idx X 解:令 X =asect，貝則 JX2 -9 =3tant, dx =3secttantdt XTx I a (25) 原式=f3tant ”3secttantdt=3tan2tdt = 3 (sec2t T )= 3(tant-t)+C 、3sect =3 -arccos- X丿 + C =Px2 -9 -3arccos- +C X 1 +x 15 X = asin t I x =atant x = a sect 小結(jié)：f（

13、x）中含有Tx 2、無理代換 解：令 t, 則X =t 1, dx =3t2dt 原式=能 =3( -1 + 水七山 1+t“ +t丿 ln(1+t) +C ) ” !22 Va -x 2 +a2可考慮用代換 =3V(x +1 2 -3VM +3ln(1 +)+C dx 例8、J低（1 +坂） 解:令 vx =t,則x=t6, dx =6t5dt 原式=6竺廠6厶 t3（1+t2） T+t2 dt = 6 f U dt = 6(t - arctant)+ C 1+t2 丿 = 6CVX arctanx )+C 例 9、fl jdx X V x 解：令匕 x =t, 譏,dx Jtdt -1f

14、原式=J(t2 、 2tdt 嘰一12丿 t2 解:令=t，則血一心浮 原式二 JlCin 匕-1 2 t+1J1 +ex +1 4、倒代換 例11、茁 1 解：令xu則EE t7 ,d-d2 t 原式 T獸一i=24ln 1 1 蔦1nx24nxJAC 3、分部積分法 分部積分公式：UV ) =U V +UV： UV = (UV ) -U V jUVdx = J(UV )dx - JU Vdx，故 JUdV = UV fVdU （前后相乘）（前后交換） 例 1、 Jxcosxdx =fxdsin x = xsin x - Jsin xdx = xsin x +cosx + C 例 2、fxe

15、xdx =Jxdex =xex -fexdxeex +C 例 3、Jin xdx 1 = xln X - Jxd in x = x ln x - Jx dx = xln x - x +C x 或解：令 ln X =t, X yt 原式=Jtdet =tet - Jedt =tet -e +C =x|nx-x + C 例 4、Jarcsinxdx X =xarcsin x - Jxd arcs in x = xarcsin x - J dx 寸i-x2 -xarcsin xt1 fLxarcsinx +、L+C 2忙7 或解： 令 arcsinx=t,x=sint 原式=Jtd sin t =

16、tsin t Jsin tdt =t sin t + cost + C = xarcsin x + Ji 一x? + C 例 5、fexsin xdx 1-.1 XXI- X1X1 X =fsinxde = e sin x Je cosxdx=e sin x- Jcosxde xx,rX,Xf.hiX, =e sin X-e cosx + Jedcosx=e(sinx-cosx)- Je sinxdx 1 故 fex sin xdx = -ex (sin x _cosx ) +C ， 2 例 6、fYdx cos X =fxdtanx = xtanx - ftanxdx = xtanx- In

17、secx +C 例 7、fln & + Ji +x2 dx |i2 =xln(x + Ji + X2)- fx -dx = xln(x + Ji +x2)-dx x+Jl +x 2 47 =xlnG + Ji+ x2 )-Ji+x2 4、 兩種典型積分 X +3 17 一、有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)R（x）=爲(wèi) anX af暑當(dāng)可用待定系數(shù)法化為部分分 bmXm +bm_,X 式，然后積分。 例仁將亍于6化為部分分式，并計(jì)算 解: X +3 2 X 5x +6 (A + B X (3A + 2B) A + B =1 (x-2)(x-3) x-2 -3 (x2i(x-3) iPA +2B = 3(

18、B =6 X +3 X2 - 5x +6 dx = -5 J dx x-2 + 6J dx X -3 5ln (x-2)+6l n(x-3) +C 或解：I 1 2x-5 +11 1 2 2 X -5x+6 dx=l曾雖型+11 2 X 5x+62 X -5x + 6 dx 1 2 11 寸(x-5x+6)+-U3 dx X2丿 11 ln(X2 -5x +6 )+ ln 2 x-3 x-2 dx 例 2、J（X 一 1）2 X -1 +x x(x-1)2 dxTRTE 嚴(yán) 例3、 例4、 lx -1 X2 +1 X4 中1 dx 22 dx X- (x-1)2 X1 X1 dx = d X- X 一 X4中1 dx X 1+2 arctan X2 -1 x*2 arcta n -bn +丄 X2 1- dx X2 V. X2 dx X一一 arcta n 22 In 2+ 1 -J2x 1 19 二、三角函數(shù)有理式的積分 X 對三角函數(shù)有理式積分I = f Rsin X, cosx dx ,令u=taL,則x = 2a