三角函數(shù)總結(jié)大全(整理好的)（經(jīng)典實(shí)用）

1、三角函數(shù)（一）任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。2象限角、終邊相同的角、區(qū)間角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于

2、任何一個(gè)象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個(gè)角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k(kZ)，即|=2k+，kZ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如|=，。3弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住?；《扰c角度互換公式：1

3、rad57.30=5718；10.01745（rad）?；￠L公式：（是圓心角的弧度數(shù)）； 扇形面積公式：。4 三角函數(shù)的定義:以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為，那么； ； ； （； ； ）利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:sin+cos+tan+cot+ (1)叫做的正弦,記做,即；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。5 三角函數(shù)的符號(hào)：由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負(fù)（）；余

4、弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負(fù)（）；正切值對于第一、三象限為正（同號(hào)），對于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。6三角函數(shù)線Oxya角的終邊PTMA三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的

5、方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切

6、線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6同角三角函數(shù)關(guān)系式sin2+cos2=1（平方關(guān)系）； =tan（商數(shù)關(guān)系）； tancot=1（倒數(shù)關(guān)系）.使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個(gè)常用關(guān)系式：sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之間可以互相表示)同理可以由sincos或sincos推出其余兩式。7誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。誘導(dǎo)公式一：，其中誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化

7、的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；（3）sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)；（4）；。（二）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2.三角函數(shù)的定義域、值域及周期如下表：函數(shù)定義域值域周期3三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是;的遞增區(qū)間是，4對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為；的對稱軸為，對稱中心為；對于和來說，對稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。5函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖

8、象的對稱中心。6由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個(gè)變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，便得ysin(x)的圖象。途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，再沿x軸向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，便得ysin(

9、x)的圖象。三角函數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象之間可以通過變化來相互轉(zhuǎn)化影響圖象的形狀，影響圖象與軸交點(diǎn)的位置由引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由引起的變換稱相位變換，由引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移變換方法如下：先平移后伸縮的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得圖象先伸縮后平移的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得圖象例1將的圖象怎樣變換得到函數(shù)的圖象解：（方法一）把的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長度，得的圖象；將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的，得的圖象；將所得圖象的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得的圖象；

10、最后把所得圖象沿軸向上平移1個(gè)單位長度得到的圖象（方法二）把的圖象的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得的圖象；將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的，得的圖象；將所得圖象沿軸向左平移個(gè)單位長度得的圖象；最后把圖象沿軸向上平移1個(gè)單位長度得到的圖象說明：無論哪種變換都是針對字母而言的由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的函數(shù)圖象的解析式是而不是，把的圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的，得到的函數(shù)圖象的解析式是而不是對于復(fù)雜的變換，可引進(jìn)參數(shù)求解例2將的圖象怎樣變換得到函數(shù)的圖象分析：應(yīng)先通過誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù)解：，在中以代，根據(jù)題意，有，得所以將的圖象向左平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象5由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式

11、：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（x+）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。8求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；9求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。10五點(diǎn)法作y=Asin（x+）的簡圖：五點(diǎn)取法是設(shè)x=x+，由x取0、2來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。（三）三角恒等變換1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式； ； 。3三角函數(shù)式的化簡常用方法：直接應(yīng)用

12、公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由

13、所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。對邊鄰邊斜邊ACB（四）解三角形1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各

14、元素間的關(guān)系：如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即：。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面積公式：（1）Sahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）SabsinCbcsinAacsinB；4解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少

15、有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C = ；（2）邊與邊關(guān)系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理 （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b