第1章勾股定理

1、勾股定理本章教材分析本章主要介紹勾股定理及其逆定理，以及這兩個(gè)定理的應(yīng)用， 具體內(nèi)容如下：探索勾股定理；驗(yàn)證勾股定理；探索直角三角形的判別條件以及勾股定理及其逆定理在實(shí)際中的應(yīng)用。勾股定理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)偉大成就，是反映自然界基本規(guī)律中的一條重要結(jié)論。它對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要作用。它揭示了直角三角形的本條邊之間的數(shù)量關(guān)系，為將來(lái)解直角三角形提供了有利武器。課本中通過(guò)數(shù)格子的辦法， 讓學(xué)生經(jīng)歷探索、 發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊間的數(shù)量關(guān)系，利用拼圖的方法論證勾股定理的合理性，體會(huì)證明方法的多樣性， 通過(guò)勾股定理的實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，讓學(xué)生感受到它能夠協(xié)助我們解決很多與線段求值相關(guān)的 問(wèn)題。課本中介紹

2、了古埃及人做直角的方法，通過(guò)學(xué)生親手制作、 度量，發(fā)現(xiàn)勾股定理的逆定理。逆定理是證明一個(gè)角是直角的主要方法之一，也是證明一個(gè)三角形是直角三角形的重要依據(jù)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的重要思想一一數(shù)形結(jié)合思想。通過(guò)定理“探索一一發(fā)現(xiàn)一一證明”：滲透了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。 1。 1探索勾股定理1 經(jīng)歷探索數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)勾股定理，并利用拼圖的方法論證勾股定理的存有。2 結(jié)合具體的情境，理解和掌握“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。3探索和實(shí)際操作掌握勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。4體會(huì)勾股定理的悠久歷史及重大意義，通過(guò)定理的探索、驗(yàn)證過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù) 學(xué)轉(zhuǎn)化水平、觀察分析水平，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想，提

3、升學(xué)生解決問(wèn)題的水平。二、重點(diǎn)難點(diǎn)解析重點(diǎn)是對(duì)勾股定理的理解，以及使用勾股定理去解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn)是勾股定理的探索和驗(yàn)證過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意加輔助線的方法。三、教學(xué)方法啟發(fā)式教學(xué)四、教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程（第一課時(shí)）（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情：我們知道，任意三角形的三條邊必須滿足定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。對(duì)于等腰三角形和等邊三角形的邊，除滿足三邊關(guān)系定理外，它們還分別存有著兩邊相等和三邊相 等的特殊關(guān)系。那么對(duì)于直角三角形的邊，除滿足三邊關(guān)系定理外，它們之間也存有著特殊 的關(guān)系，這就是我們這個(gè)節(jié)要研究的問(wèn)題：勾股定理。介紹章前的圖文 P1：我

4、國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一介紹商高（三千多年前周期 數(shù)學(xué)家）。課本中P2 （圖1 一 2）并回答：1 觀察圖1 一 2，正方形A中有個(gè)小方格，即A的面積為個(gè)面積單位。正方形B中有個(gè)小方格即B的面積為 個(gè)面積單位。正方形C中有個(gè)小方格，即C的面積為個(gè)面積單位。2 你是怎樣得出上面結(jié)果的？在學(xué)生交流回答的基礎(chǔ)上教師接著發(fā)問(wèn)。3圖I 一 2中，A、B、C之間的面積之間有什么關(guān)系？在學(xué)生交流后形成共識(shí)老師板書。A + B = C ,接著提出圖1 一 1中A、B、C的關(guān)系呢？（二）做一做觀察：課本中 P3 圖 1 一 3，圖 1 一 4 ） 提問(wèn)：1、圖1 一 3中，A、B、C之間有什么關(guān)系？2、圖

5、 1 一 4 中， A 、 B 、 C 之間有什么關(guān)系？3、從圖 1 一 l 、1 一 2 、 1 一 3 、 l 一 4 中你發(fā)現(xiàn)了什么？在學(xué)生討論、交流形成共識(shí)后，老師總結(jié)： 以直角三角形兩直角邊為邊的正方形面積和，等于以斜邊為邊的正方形面積。（三）議一議1圖 1 一 1 、 1 一 2、 1 一 3、 1 一 4 中，你能用三角邊的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？ 2你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？在同學(xué)的交流基礎(chǔ)上，老師板書： 直角三角邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理” 。2 2 2 也就是說(shuō)：如果直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊為c。那么a b c我國(guó)古代

6、稱直角三角形的較短的直角邊為勾， 較長(zhǎng)的直角邊為股， 斜邊為弦， 這就是勾 股定理的由來(lái)。3分別以 5厘米和 12 厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形, 并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度 （學(xué)生測(cè) 量后回答斜邊為 13）請(qǐng)大家想一想（ 2）中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？（回答是肯定 的：成立。）4練習(xí)： P5 2 題這里的 29 英寸（ 74 厘米）的申視機(jī),指的是屏幕的長(zhǎng)嗎？指的屏幕 的寬嗎？那它指的是什么呢？（四）鞏固練習(xí)精選練習(xí),掌握應(yīng)用： 勾股定理的應(yīng)用是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn), 一定要讓學(xué)生熟練地掌握在直角三角形中已知兩邊 求第三邊的方法,為此,可設(shè)計(jì)下列三組具有梯度性的練習(xí)：練習(xí) 1（ 填空題 ）已知在 R

7、t ABC中，/ C=90o 若 a=3, b=4,則 c=; 若 a=40, b=9,則 c=; 若 a=6, c=10，則 b=; 若 c=25, b=15,則 a=。練習(xí) 2（ 填空題 ）已知在 Rt ABC中，/ C=90, AB=1（X 若/ A=30,貝U BC=, AC=; 若/ A=45,貝U BC=, AC=o練習(xí) 3已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是6cm。求：（1）高AD的長(zhǎng)； ABC的面積SABCA第二課時(shí)（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題 我們已經(jīng)通過(guò)數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的關(guān)系， 的意義，還需要加以論證，下面就是今天所要研究的內(nèi)容, 角形，并把它剪下

8、來(lái)，用這四個(gè)直角三角形拼一拼、擺一擺,究竟是幾個(gè)實(shí)例，是否具有普遍 下邊請(qǐng)大家畫四個(gè)全等的直角三 看看能否得到一個(gè)含有以斜邊C為邊長(zhǎng)的正方形，并與同學(xué)們交流。在同學(xué)操作的過(guò)程中，教師展示投影1 （書中P7圖17）接著提問(wèn)：大正方形的面積可表示為什么？同學(xué)們回答有兩種可能:(1)(a b)21ab 4(2)2在同學(xué)交流形成共識(shí)后教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號(hào)連接起來(lái)。2 1 2(a b)2 ab 4 c22請(qǐng)同學(xué)們對(duì)上式實(shí)行化簡(jiǎn)，得到：2 2 2 2,2 2a 2ab b 2ab c 即 a b c這就能夠從理論上說(shuō)明了勾股定理存有。 請(qǐng)同學(xué)們回去用別的拼圖方法說(shuō)明勾股定理。（二）講解

9、例題例1、飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方 秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每時(shí)飛行多少千米？分析：根據(jù)題意，能夠先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中 AC = 4000米，AB=5000 米欲求飛機(jī)每時(shí)飛行多少千米， 即圖中的CB的長(zhǎng)，因?yàn)?ABC的斜邊 AB =5000 勾股定理得出，這里一定要注意單位的換算。4000米處，過(guò)了 20米,就要知道AC= 4000ABC 的/ C= 90,秒時(shí)間里飛行的路程，米，這樣BC就能夠通過(guò)20解：由勾股定理得BC 2 AB $ AC 29（千米即BC=3千米飛機(jī)20秒飛行3千米.那么它I小時(shí)飛行的距離為:360032054

10、0（千米/時(shí)）答：飛機(jī)每小時(shí)飛行 540千米。（三）練習(xí)：隨堂練習(xí) P10 1，數(shù)學(xué)理解P11 2題 第三課時(shí)（一）在經(jīng)歷了數(shù)格子與拼圖之后，同學(xué)們對(duì)于勾股定理已清晰的理解了，并且也有了一些應(yīng)用的水平。在我們幾何學(xué)中補(bǔ)（即拼）與割是常用的作圖方法。那么對(duì)于“割”在直 角三角形的勾股定理中又如何體現(xiàn)呢？（二）操作：把最小與最大的兩個(gè)正方形分別繞著直角三角形的直角形與斜邊對(duì)折， 可 得到圖 111，以勾為邊的正方形假定為“朱方” ，以股為邊的正方形假定為“青方” ，用移222 動(dòng)的方法能夠?qū)⒅臁⑶喽讲⒊上曳?。依?jù)它們的面積關(guān)系有： a b c 。這就是我國(guó) 歷史上有名的魏晉時(shí)期的劉徽的“青朱出入

11、圖” 。上面的方法是幾何學(xué)中典型的割補(bǔ)作圖法的割法作圖， 它只須移動(dòng)幾塊圖形就直觀地證 明了勾股定理，真是“無(wú)字證明” ，偉大的證明。（三）練習(xí)：隨堂練習(xí)： P15 1 題四、布置作業(yè)：P7目1, 2題；P15問(wèn)題解決1題五、歸納小結(jié)本節(jié)課經(jīng)歷了數(shù)格子、 拼圖、 與割補(bǔ)的方法對(duì)勾股定理多方面的學(xué)習(xí)， 使學(xué)習(xí)在理解的 基礎(chǔ)上得到應(yīng)用。1。2 能得到直角三角形嗎一、學(xué)習(xí)目標(biāo)定位1 通過(guò)實(shí)際作圖得到直角三角形的判別條件 （即勾股定理的逆定理） ，弄清定理的條件 和結(jié)論，并能與勾股定理相區(qū)別。2能夠使用勾股定理逆定理，判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，并能實(shí)行簡(jiǎn)單的應(yīng) 用。3理解勾股數(shù)的含義，探索常用勾

12、股數(shù)的規(guī)律。4學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)，要仔細(xì)觀察圖形，親自做一做，驗(yàn)證三角形的三邊長(zhǎng)a、 b、 c 是否滿足條件 a2 b2 c2 。學(xué)習(xí)中要注意利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)協(xié)助理解問(wèn)題、解決問(wèn)題， 并即時(shí)使用所學(xué)的方法來(lái)嘗試解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。二、重點(diǎn)難點(diǎn)解析重點(diǎn)是通過(guò)作圖得到直角三角形的差別條件 （即勾股定理的逆定理） 和探索勾股數(shù)的規(guī) 律，難點(diǎn)是如何確定三角形三邊中的最大邊，以及利用 a2 b2 c2 。三、教學(xué)方法 啟發(fā)式教學(xué)四、教學(xué)過(guò)程 第一課時(shí)（一）引入 1 復(fù)習(xí)勾股定理。 2復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)概念（定義、角、邊）。 3提出問(wèn)題：從角中我們能夠判別三角形是否為直角三角形，那么從邊上又將如何判

13、別？（二）總結(jié)，得出勾股定理的逆定理。1 通過(guò)使用SSS的作圖方式得到符合 a2 b2 c2的三邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形。2總結(jié)得出勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng) a、b、c滿足a2 b2 c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。并把滿足a2 b2 c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。4.練習(xí)：P18 1（三）例題講解1. P18例 12. 練習(xí)：P19 （隨堂練習(xí)）2, P20 2五、小結(jié)本節(jié)通過(guò)作圖得到了勾股定理的逆定理，并總結(jié)了勾股數(shù)。 1。3 螞蟻怎樣走最近一、學(xué)習(xí)目標(biāo)定位1.明確解決路線最短問(wèn)題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為“在同一平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間線段最短”，也就是將原來(lái)的曲面或多面展成一個(gè)平面去解決，培養(yǎng)學(xué)生

14、將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決的水 平。2構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理求線段的長(zhǎng)。二、重點(diǎn)難點(diǎn)解析重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用是現(xiàn)實(shí)生活中的“線路最短”問(wèn)題，重點(diǎn)是將曲面或多面轉(zhuǎn)化為 平面，并注意立方體的展開圖的不同方法。難點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理， 解決實(shí)際問(wèn)題。三、教學(xué)過(guò)程1創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，弓I入新課前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長(zhǎng)的梯子？根據(jù)題意，（如圖）AC是建筑物，則 AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長(zhǎng)度。所以在 Rt ABC 中，AB 2=AC2+BC2=

15、122+52=132 ; AB=13 米。所以至少需13米長(zhǎng)的梯子。2講授新課：、螞蟻怎么走最近c(diǎn)31BBA出示問(wèn)題：有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于 3厘米.在圓行柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的的最短路程是多少？ （n的值取3）.(1) 同學(xué)們可自己做一個(gè)圓柱，嘗試從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面畫出幾條路線，你覺(jué) 得哪條路線最短呢？(小組討論)(2) 如圖，將圓柱側(cè)面剪展開開成一個(gè)長(zhǎng)方形，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路線是什么？你畫對(duì)了嗎？(3) 螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，想吃到B點(diǎn)上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少? (學(xué)生分組討論，公布結(jié)果)AA

16、將圓我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一長(zhǎng)方形。好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線 柱的側(cè)面展開(如下圖)。我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學(xué)的走法:(1) A t A B ;(2)A t BB;(3)A t d t b ；(4)A B。哪條路線是最短呢？你畫對(duì)了嗎？第(4)條路線最短。因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間的連線中線段最短”。、做一做：教材14頁(yè)。李叔叔隨身只帶卷尺檢測(cè) AD , BC是否與底邊AB垂直，也 就是要檢測(cè) / DAB=90 ，/ CBA=90 。連結(jié) BD或AC ,也就是要檢測(cè) DAB和厶CBA 是否為直角三角形。很顯然，這是一個(gè)需用勾股定理的逆定理來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題。3. 練習(xí)：P23隨堂練習(xí)14. 試一

17、試(課本P15)五、小結(jié)這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題。我們從中能夠發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決這些實(shí)際問(wèn)題，更為重要的是將它們轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。本章內(nèi)容小結(jié)本章教材的知識(shí)點(diǎn)主要有勾股定理和勾股定理的逆定理及其應(yīng)用一、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)三邊的關(guān)系 一勾股定理 一歷史、應(yīng)用直角三角形直角三角形的判定 一勾股逆定理 一應(yīng)用二、復(fù)習(xí)指導(dǎo)在使用勾股定理時(shí)一定要有三角形為直角三角形這個(gè)前提；在判定一個(gè)三角形是否為直角三角形時(shí)不能只從某兩條邊的平方和是否等于第三邊的平方來(lái)實(shí)行判斷，我們的建議是找出所有的情形再判斷(當(dāng)然成立的情形只有一種可能)。另外通過(guò)圖形展開求最近距離體現(xiàn)了勾股定理的使用。注

18、意展開方式是否唯一。從全國(guó)各地近幾年中考試題來(lái)看，對(duì)于勾股定理及其逆定理的考查，從題型上來(lái)看有 選擇題、填空題等客觀題，也有證明題、計(jì)算題、解答題，近兩年涉及本章內(nèi)容還出現(xiàn)了閱 讀題、探索題、分類討論等新題型，特別是和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及實(shí)際生活緊密相連的創(chuàng)新應(yīng)用 題，目的是考查使用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題以及創(chuàng)新水平，今后在中考試題中， 這部分內(nèi)容 多與其他知識(shí)一起綜合出現(xiàn)。三、典型例題1. 如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , CD丄 AB 于點(diǎn) D, ABC 的周長(zhǎng)是 24, BC : AC=3 : 4，求AB和CD的長(zhǎng)。分析：設(shè) BC= 3x, AC= 4x，則 AB2 AC2 BC2 9x2 16x2 25x2故 AB 5x , 3x 4x 5 x 24, x 22. 勾股數(shù): (1)(3, 4, 5) (6, 8, 10) (5, 12, 13)(9, 12, 15)(8, 15,17)(10,24,26)(16, 30,34)(20,48,52)(11, 60,61)2 2 2 2 2 2(2)( 3n,4n,5n ) ( m n , 2mn, m n )( n 1 , 2n, n 1 )22( 2n 2n,2n 1,2n 2n 1 )3. 觀察下面的表格所給出的三個(gè)數(shù)a, b,c,a b c ,(1) 試找出它們的共同點(diǎn),并說(shuō)明你的結(jié)論；(