格林Green公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件

1、3 格林(Green)公式 曲線積分與路徑無關(guān)的條件 一、區(qū)域連通性的分類 二、格林公式二、格林公式 三、簡(jiǎn)單應(yīng)用 四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 一、區(qū)域連通性的分類 設(shè)D為平面區(qū)域, , 如果D內(nèi)任一閉曲線所 圍成的部分都屬于 D, 則稱D為平面單連通區(qū) 域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域 . 復(fù)連通區(qū)域 單連通區(qū)域 D D 設(shè)空間區(qū)域G, 如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成 的區(qū)域全屬于G, 則稱G是空間二維單連通域 ; 如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于 G的曲面, 則稱G為空間一維單連通區(qū)域 . G G G 一維單連通 二維單連通 一維單連通 二維不連通 一維不連通 二維單連通 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的

2、曲線L圍 成,函數(shù)),(),(yxQyxP及在D上具有一階連 續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 ? ? ? ? ? ? ? L D QdyPdxdxdy y P x Q )( (1) 其中 L 是D的取正向的邊界曲線, 公式(1)叫做格林公式. 二、格林公式 定理1 連成與由 21 LLL組成與由 21 LLL 邊界曲線L的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí) ,區(qū) 域D總在他的左邊. 2 L D 1 L 2 L 1 L D ),()(),( 21 bxaxyxyxD? 證明證明(1) (1) 若區(qū)域D既是?X型 又是?Y型,即平行于 坐標(biāo)軸的直線和L至 多交于兩點(diǎn). ),()(),( 21 dycyxyyxD? y

3、 x o a b D c d )( 1 xy? )( 2 xy? A B C E )( 2 yx? )( 1 yx? dx x Q dydxdy x Q y y d c D ? ? ? ? ? ? )( )( 2 1 ? ? ? ? d c d c dyyyQdyyyQ),(),( 12 ? ? ? CAECBE dyyxQdyyxQ),(),( ? ? EACCBE dyyxQdyyxQ),(),( ? ? L dyyxQ),( 同理可證 ? ? ? ? ? L D dxyxPdxdy y P ),( y x o d )( 2 yx? D c C E )( 1 yx? 若區(qū)域D由按段光 滑的

4、閉曲線圍成.如圖, 證明(2) L 1 L 2 L3 L D 1 D 2 D3 D 兩式相加得 ? ? ? ? ? ? ? L D QdyPdxdxdy y P x Q )( 將D分成三個(gè)既是?X型又是 ?Y型的區(qū)域 1 D, 2 D, 3 D. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 321 )()( DDDD dxdy y P x Q dxdy y P x Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 321 )()()( DDD dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q ? ? 321 LLL QdyPdxQd

5、yPdxQdyPdx ? ? L QdyPdx 1 D 2 D 3 D L 1 L 2 L3 L ),( 32,1 來說為正方向?qū)LLL G D 3 L 2 L F C E 1 L A B 證明證明(3) (3) 若區(qū)域不止由一條閉曲 線所圍成.添加直線段AB,CE. 則D的邊界曲線由AB, 2 L,BA, AFC,CE, 3 L, EC及CGA構(gòu)成. 由(2)知 ? ? ? ? ? ? D dxdy y P x Q )( ? ? CEAFCBALAB 2 ? ? CGAECL QdyPdx)( 3 ? ? L QdyPdx ? ? 231 )( LLL QdyPdx ),( 32,1 來說

6、為正方向?qū)LLL 便于記憶形式: ? ? ? ? ? ? L D QdyPdxdxdy QP yx . 格林公式的實(shí)質(zhì): 溝通了沿閉曲線的積分與 二重積分之間的聯(lián)系. x y o L 例 1 1 計(jì)算計(jì)算? AB xdy,其中曲其中曲 線線AB是半徑為是半徑為 r 的圓在的圓在 第一象限部分第一象限部分. 解 引入輔助曲線引入輔助曲線L, 1. 簡(jiǎn)化曲線積分 三、簡(jiǎn)單應(yīng)用 A B D BOABOAL? 應(yīng)用格林公式 , xQP?, 0 有 ? ? ? ? L D xdydxdy , ? ? BOABOA xdyxdyxdy , 0, 0? ? BOOA xdyxdy由于 . 4 1 2 rd

7、xdyxdy D AB ? ? 例 2 計(jì)算? ? D y dxdye 2 ,其中D是 以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO為頂點(diǎn) 的三角形閉區(qū)域. 解 令 2 , 0 y xeQP ? ?, 2. 簡(jiǎn)化二重積分 x y o A B 1 1 D 則 2 y e y P x Q ? ? ? ? ? ? ? , 應(yīng)用格林公式應(yīng)用格林公式, ,有有 ? ? ? ? BOABOA y D y dyxedxdye 22 ? ? ? 1 0 22 dxxedyxe x OA y ).1( 2 1 1? ?e 例3 計(jì)算? ? ? L yx ydxxdy 22 ,其中L為一條無重點(diǎn), 分段

8、光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, L 的方 向?yàn)槟鏁r(shí)針方向. 則當(dāng)0 22 ? ? y x時(shí), 有 y P yx xy x Q ? ? ? ? ? ? ? ? 222 22 )( . 記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈, 解 令 2222 , yx x Q yx y P ? ? ? ? ?, L (1) 當(dāng)D?)0, 0(時(shí), (2) 當(dāng)D?)0 , 0(時(shí), 1 D r l x y o L D 由格林公式知 ? ? ? ? L yx ydxxdy 0 22 作位于D內(nèi)圓周 222 :ryxl?, 記 1 D由L和l所圍成, 應(yīng)用格林公式,得 y x o ? ? ? ? ? ? lL yx ydxxdy y

9、x ydxxdy 2222 x y o r 1 D l L 0 2222 ? ? ? ? ? ? ? lL yx ydxxdy yx ydxxdy (其中 l 的方向 取逆時(shí)針方向 ) .2? (注意格林公式的條件) ? ? d r rr 2 2222 sincos? ? ? ? 2 0 格林公式: ? ? ? ? ? ? ? L D QdyPdxdxdy y P x Q )( 取,xQyP? 得 ? ? L D ydxxdydxdy2 閉區(qū)域D的面積 ? ? L ydxxdyA 2 1 . 取, 0 xQP? 得 ? ? L xdyA 取, 0,?QyP 得 ? ? L ydxA 3. 計(jì)算

10、平面面積 曲線AMO由函數(shù) , 0 ,axxaxy?表示, 例 4 計(jì)算拋物線)0()( 2 ?aaxyx與x軸所 圍成的面積. 解 ONA為直線0?y. ? ? L ydxxdyA 2 1 ? ? AMOONA ydxxdyydxxdy 2 1 2 1 )0 ,(aA N M ? ? AMO ydxxdy 2 1 dxxaxdx ax a x a )()1 2 ( 2 1 0 ? ? . 6 1 4 2 0 adxx a a ? ? )0 ,(aA N M 其中L是曲線|x|+|y|=1圍成的區(qū)域D的正向邊界。 1 1 -1 -1 L D y x O 格林公式的應(yīng)用 （格林公式） 從 證明了

11、： 練習(xí)1 計(jì)算積分 ? ? L xx yyxyyd)1cose(d)sine( 解 ? ? D x ycose( yxy x dd)1cose? 222? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D yx y P x Q dd ? ? L yyxQxyxPd),(d),( ? ? L xx yyxyyd)1cose(d)sine( 練習(xí)2 求星形線 tytxL 33 sin,cos?： 所界圖形的面積。所界圖形的面積。 解 ? ? D yxAdd ? ? L yxd ? ? 2 0 64 d coscos12ttt ? ? 2 0 24 dsincos3t?tt 8 3 22

12、 1 4 3 6 5 22 1 4 3 12 ? ? ? ? ? ? ? ? y x O D L 1 1 -1 -1 重要意義： 1.它建立了二重積分與曲線積分的一種等式關(guān)系 2.它揭示了函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部與邊界之間的內(nèi)在聯(lián)系 4.它的應(yīng)用范圍可以突破右手系的限制，使它的應(yīng)用 3.從它出發(fā)，可以導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的許多重要公式 更加廣泛，而這只需要改變邊界的正向定義即可。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D yx y P x Q dd ? ? 1 L QdyPdx 則稱曲線積分 ? L QdyPdx 四、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 ? ? 2 L QdyPdx 如果對(duì)于區(qū)域 G

13、內(nèi)任意指定的兩點(diǎn) A、B 以及 G 內(nèi) 從點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的任意兩條曲線 L1，L2 有 ? 否則與路徑有關(guān) . G y x o ? B ? A 1 L 2 L 在 G 內(nèi)與路徑無關(guān), ? ? 1 L QdyPdx ? ? 2 L QdyPdx. 0 ? ? L QdyPdx? )( 21 LLL? 定理定理 21.12 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域 D 是一個(gè)單連通閉區(qū)域是一個(gè)單連通閉區(qū)域 , 函函 數(shù)數(shù)),(yxP),(yxQ在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下 四個(gè)條件等價(jià)： ( ) ( ,)( ,)0 L iDL P x y dxQ x y dy? ? 沿內(nèi)任一按段光滑封閉曲線，有 ( ) ( ,)

14、( ,) ,; L iiDL P x y dxQ x y dy L ? ? 對(duì) 內(nèi)任一按段光滑曲線，曲線積分 與路線無關(guān)只與的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān) （） QdyPdx ? 是D內(nèi)某一函數(shù) u 的全微分，即 ?du QdyPdx ? ； （）在D內(nèi)處處成立 x Q y P ? ? ? ? ? 證 （）?（）如圖 ? ? ARB QdyPdx ? ? ASB QdyPdx ? ? ARB QdyPdx ? ? BSA QdyPdx ? ? ARBSA QdyPdx = = =0 所以 ? ? ARB QdyPdx = ? ? ASB QdyPdx （）?（） 設(shè) ? 00 ,A x y為D內(nèi)一定點(diǎn)， ?

15、yxB, 為D內(nèi)任意一點(diǎn)， 由（）曲線積分 ? ? AB QdyPdx 與路線的選擇無關(guān)， 故當(dāng) ?yxB, 在D內(nèi)變動(dòng)時(shí)，其積分值是 ?yxB, 的 函數(shù)，即有 ? , AB u x yPdxQdy? ? 取 x? 充分小，使 ?Dyxx?, ，由于積分與路線無關(guān) 故函數(shù) ?yxu, 對(duì)于的偏增量 ? , ACAB u xx yu x yPdxQdyPdxQdy? ? ? BC PdxQdy? ? 其中直線段 BC平行于x軸由積分中值定理可得 ? , BC uu xx yu x yPdxQdy? ? ? ? , xx x PdxQdyP xx yx? ? ? ? ? 其中 10? ，由 ?y

16、xP, 在 D 上的連續(xù)性 x u ? ? ?yxxP x u xx ,limlim 00 ? ? ? ? ? ?yxP, = = ? ,. u Q x y y ? ? ? 同理可證因此 .duPdxQdy? （）?（）設(shè)存在? ?yxu, ，使得 QdyPdxdu? ? ,.P x yu x yQ x yu x y xy ? ? ? 所以因此 22 ,. PuQu yx yxy x ? ? ? ? ? 因 ? ?yxP , ， ?yxQ , 在區(qū)域 D 內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，所以 22 . uu x yy x ? ? ? ? ? 從而在D內(nèi)每一點(diǎn)處有 . PQ yx ? ? ? （）?（） 設(shè)

17、L 為 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線，記 L 所 圍的區(qū)域?yàn)?由于 D 為單連通區(qū)域，所以 .D? 于是，在于是，在 內(nèi)內(nèi) . PQ yx ? ? ? 應(yīng)用格林公式，有 ?d y P x Q dyyxQdxyxP D C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)(),(),( . 0? ? 即在區(qū)域?yàn)?? 內(nèi)曲線積分 ? ? ? ? L dyyxQdxyxP),(),( 與路徑無關(guān). ? , x Q y P ? ? ? ? ? 若 ? ? ),( ),( 11 00 yxB yxA QdyPdx dyyxQdxyxP y y x x ),(),( 1 0 1 0 10? ? ),

18、( 01 yxC ? ),( 11 yxB? ),( 00 yxA ? dxyxPdyyxQ x x y y ),(),( 1 0 1 0 10? ?或 x y o L ? ? L QdyPdx 則 CBAC? ? ),( 10 yxD ADDB? 與路徑無關(guān) 例例 5 驗(yàn)證驗(yàn)證 ? ? L yy dyyxedxxe)2()(.與路徑無關(guān)，與路徑無關(guān)， 并求之。其中并求之。其中 L 為過三點(diǎn)為過三點(diǎn))0, 0(o，)1, 0(A，)2, 1(B 的圓周，由的圓周，由)0, 0(o到到)2, 1(B的曲線弧的曲線弧. 解 因此，積分與路徑無關(guān)。 .2),( ,),( yxeyxQxeyxP yy

19、 ?設(shè) 則 P，Q 在全平面上有 連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 , y e y P ? ? ? . y e x Q ? ? ? . x Q y P ? ? ? ? ? 即 ox y 1 1 2 全平面是單連通域。 ox y 1 1 2 取一簡(jiǎn)單路徑：L1 + L2. 1 L 2 L . 10: , 0 : 1 ?xyL . 20: , 1 : 2 ?yxL ? ? L yy dyyxedxxe)2()( ? ? 21 )2()()2()( L yy L yy dyyxedxxedyyxedxxe ? ? 2 0 1 0 0 )21()(dyyedxxe y . 2 72 ? ? e 因此，積分與路徑無

20、關(guān)。 , y e y P ? ? ? . y e x Q ? ? ? . x Q y P ? ? ? ? ? 即 全平面是單連通域。 例 6 計(jì)算 ? ? L dyyxdxxyx)()2( 422 . 其中 L 為由點(diǎn))0, 0(o到點(diǎn))1, 1(B的曲線弧 2 sin x y ? ?. 解 因此，積分與路徑無關(guān)。 . x Q y P ? ? ? ? ? 即 ox y 1 1 .),( ,2),( 422 yxyxQxyxyxP?設(shè) 則 P，Q 在全平面上有連續(xù)的 一階偏導(dǎo)數(shù)，且 ,2x y P ? ? ? .2x x Q ? ? ? 全平面是單連通域。 ox y 1 1 ? ? 1 0 1

21、0 422 )1()02(dyydxxx . 15 23 ? 因此，積分與路徑無關(guān)。 . x Q y P ? ? ? ? ? 即 ,2x y P ? ? ? .2x x Q ? ? ? 全平面是單連通域。 取一簡(jiǎn)單路徑：L1 + L2. . 10: , 0 : 1 ?xyL. 10: , 1 : 2 ?yxL 1 L 2 L ? ? L dyyxdxxyx)()2( 422 ? ? 21 )()2()()2( 422422 LL dyyxdxxyxdyyxdxxyx x y o ) ,(yxB? ),( 00 yxA ? G dyyxQdxyxPyxu y y x x ),(),(),( 00

22、 0? ? dxyxPdyyxQyxu x x y y ),(),(),( 00 0? ?或 CBAC? DBAD? 設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域 , 函數(shù)),(yxP ),(yxQ 在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則QdyPdx ?在G內(nèi)為 某一函數(shù)),(yxu的全微分的充要條件是等式 x Q y P ? ? ? ? ? 在G內(nèi)恒成立. ),( 0 yxC ? ? ),( 0 yxD 解 ,2)( 2 xyxy yy P ? ? ? ? ? ? .2)( 2 xyyx xx Q ? ? ? ? ? ? ,),( 2 xyyxP?.),( 2 yxyxQ? 例7 驗(yàn)證：在 xoy 面內(nèi)， ydyxdxxy 22 ?是某個(gè)函數(shù) u (x, y) 的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。 這里 且 在整個(gè) xoy 面內(nèi)恒成立。 x Q y P ? ? ? ? ? 即， 因此，在 xoy 面內(nèi)， ydyxdxxy 22 ?是某個(gè)函數(shù) u (x, y) 的全微分。 dyyxdxxyxu yx 0),( 0 2 0 2 ? ? . 0 , 0 00 ?yx取 . 2 22 yx ? 例 8 設(shè)曲線積分 ? ? L dyxydxxy)( 2 與路徑無 關(guān), 其中?具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 且0)0(?,