解圓錐曲線問題常用方法

1、精品文檔解圓錐曲線問題常用方法（一）【學(xué)習(xí)要點】解圓錐曲線問題常用以下方法：1、定義法（ 1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r 2=2a。第二定義中，r1=ed1r2=ed2。（ 2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，r1r22a ，當(dāng) r1r 2 時，注意 r2 的最小值為 c-a：第二定義中， r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。（ 3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終

2、轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設(shè)弦的兩個端點A(x 1,y1 ),B(x 2,y2),弦 AB 中點為 M(x 0,y0)，將點 A 、B 坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有：x 2y 21(ab0) 與直線相交于x0y0k0 。（

3、1）2b 2A 、 B，設(shè)弦 AB 中點為 M(x 0,y0 )，則有2b2aax2y 21( a0, b0) 與直線 l 相交于 A 、 B，設(shè)弦 AB 中點為 M(x 0,y0)則有x0y0k0（ 2）2b2a2b2a（ 3） y2=2px （ p0 ）與直線 l 相交于 A 、 B 設(shè)弦 AB 中點為 M(x 0,y0),則有 2y0k=2p, 即 y0k=p.【典型例題】例 1、 (1)拋物線 C:y 2=4x 上一點 P 到點 A(3,4 2 )與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點 P 的坐標(biāo)為 _(2) 拋物線 C: y2=4x 上一點 Q 到點 B(4,1) 與到焦點 F 的距離和最小 ,

4、則點 Q 的坐標(biāo)為。分析：（1） A 在拋物線外，如圖，連PF，則 PHPF ，因而易發(fā)現(xiàn)，A當(dāng) A 、P、F 三點HQPB共線時，距離和最小。F（ 2）B 在拋物線內(nèi)，如圖，作 QRl 交于 R，則當(dāng) B 、Q、R 三點共線時，距離和最小。解：（ 1）（ 2， 2 ）.精品文檔連 PF，當(dāng) A 、P、F 三點共線時， AP PHAP PF 最小，此時 AF 的方程為 y4 20 ( x 1) 即 y=2 2 (x-1),31代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交點為 (1 ,2 )，它為直線 AF 與拋物線的另一交點，舍去）21（ 2）（,1）過 Q 作 QRl 交于 R，當(dāng)

5、 B、 Q、R 三點共線時，BQQFBQQR 最小，此時 Q 點的縱坐標(biāo)為 1，代入 y2 =4x得 x= 1 ， Q( 1 ,1)44點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。x 2y2P 為橢圓上一動點。例 2、F 是橢圓1 的右焦點， A(1,1) 為橢圓內(nèi)一定點，（ 1）（ 2）43yPAPF 的最小值為APHPA2 PF 的最小值為F 0 Fx分析： PF 為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF 或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解：（ 1） 4-5設(shè)另一焦點為F ，則 F (-1,0)連 A F ,PFPAPFPA 2a PF 2a( PFPA ) 2

6、a AF45當(dāng) P 是F A的延長線與橢圓的交點時, PAPF 取得最小值為4-5 。（ 2）作出右準(zhǔn)線 l ，作 PH l 交于 H，因 a2=4， b2=3， c2=1， a=2， c=1， e= 1 ，2 PF1 PH ,即2 PFPH2 PA2PF PAPH當(dāng) A 、 P、H 三點共線時，其和最小，最小值為a2x A 4 1 3c例 3、動圓 M 與圓 C1:(x+1) 2 +y2=36 內(nèi)切 ,與圓 C2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圓心 M 的軌跡方程。分析：作圖時， 要注意相切時的 “圖形特征” ：兩個圓心與切點這三點共線 （如圖中的 A 、yCM、C 共線， B、D、

7、M共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的MA 0 BDMC MD ）。5x.精品文檔解：如圖， MCMD ， ACMAMBDB即6 MA MB 2 MAMB8（ *）點 M 的軌跡為橢圓，x2y22a=8，a=4， c=1，b2=15 軌跡方程為11615點評：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出( x1) 2y2( x1) 2y24 ，再移項，平方， 相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！例 4、 ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3 sinA, 求點 A 的軌跡方程。5分析： 由于 si

8、nA 、 sinB、 sinC 的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（ R 為外接圓半徑） ，可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。解： sinC-sinB= 3 sinA2RsinC-2RsinB= 3 2RsinA55ABAC3BC5即AB AC 6（*）點 A 的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點） 2a=6，2c=10 a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為x 2y 291 （ x3）16點評： 要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例 5、定長為 3 的線段 AB 的兩個端點在y=x 2 上移動， AB 中點為 M ，求點 M 到 x 軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物

9、線設(shè)點，如設(shè)A(x 1,x12 )， B(x 2， X 22)，又設(shè)AB 中點為M(x 0y0) 用弦長公式及中點公式得出 y0 關(guān)于 x0 的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（ 2） M 到 x 軸的距離是一種“點線距離” ，可先考慮 M 到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一： 設(shè) A(x 1， x12)， B(x 2， x22)， AB 中點 M(x 0 ，y0)( x1x2 ) 2( x12x22 ) 29 則 x1x22 x0x2x22 y012.精品文檔由得 (x1-x2)21+(x 1+x 2)2=9即 (x 1+x221x2 1+(x122=9) -4x+x)由、得2x1x2

10、=(2x 0)2 -2y0=4x 02-2y 0代入得(2x 0)2-(8x 02 -4y0 ) 1+(2x 0)2=9 4 y04x029 2 ，14x04 y0 4x029(4x021)914x024x0212915,5y04當(dāng) 4x02+1=3即 x02時， ( y0 ) min5此時M(2,5)2424法二： 如圖， 2 MM 2 AA2BB2 AF BF AB 3313MM2，即MM1，2425， 當(dāng) AB 經(jīng)過焦點 F 時取得最小值。MM14yBMAA10MB1x12M2A2B M 到 x 軸的最短距離為54點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成 y0 關(guān)

11、于 x0 的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M 到 x 軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A 、B 到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證AB 是否能經(jīng)過焦點F，而且點 M 的坐標(biāo)也不能直接得出。例 6、已知橢圓x2y 21(2m5) 過其左焦點且斜率為1 的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A 、B 、C、mm1.精品文檔D、設(shè) f(m)=ABCD ,（ 1）求 f(m), （ 2）求 f(m) 的最值。分析： 此題

12、初看很復(fù)雜，對f(m) 的結(jié)構(gòu)不知如何運算，因A 、B 來源于“不同系統(tǒng)” ， A 在準(zhǔn)線上， B 在橢圓上，同樣 C 在橢圓上， D 在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x 軸上，立即可得防f (m)( xBx A )2( xDxC )22 ( xBxA )(x DX C )2 ( xBxC ) (x A xD )yDC2 ( xBX C )F1 0F2xBA此時問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。解：（ 1）橢圓 x2y 21中， a2=m ，b2=m-1 ，c2 =1，左焦點 F1(-1,0)m m 1則 BC:y=x+1, 代入橢圓方程即 (m-1)x 2 +my 2-m(m

13、-1)=0得 (m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=0 (2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0設(shè) B(x 1,y1),C(x 2,y2),則 x1+x2=-2m(2 m 5)2m1f (m)ABCD2 ( xBx A )( xDxC )2 (x1x2 ) (x AxC )2 x1x22m212m（ 2） f (m)2 2m1 12(11)2m12m1當(dāng) m=5 時， f ( m) min1029當(dāng) m=2 時， f ( m)max423.精品文檔點評： 此題因最終需求xBxC ，而 BC 斜率已知為1，故可也用“點差法”設(shè)BC 中點為 M(x 0,y0),通過將 B 、C 坐x0

14、y0kx0x01， x0m2m標(biāo)代入作差， 得m 10 ，將 y0=x 0+1，k=1 代入得m0，可見 xBxCmm12m 12m 1當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對f (m) AB CD 的認(rèn)識，通過線段在x 軸的“投影”發(fā)現(xiàn) f (m)xB xC 是解此題的要點。【同步練習(xí)】x2y 21的左、右焦點，過F1 作直線交雙曲線左支于點A 、B，若 ABm ， ABF 21、已知： F1，F(xiàn)2 是雙曲線b2a 2的周長為（）A 、4aB、 4a+mC、 4a+2mD、 4a-m2、若點 P 到點 F(4,0) 的距離比它到直線x+5=0 的距離小 1，則 P 點的軌跡方程是（）A 、y2=-16xB

15、、 y2=-32xC、 y2=16xD 、 y2=32x3、已知 ABC 的三邊 AB 、BC 、AC 的長依次成等差數(shù)列，且ABAC ，點 B、C 的坐標(biāo)分別為 (-1，0)，(1，0)，則頂點 A 的軌跡方程是（）x 2y 21x 2y 21(x0)A 、3B、344x 2y 21( x 0)x 2y 21( x0且 y 0)C、3D、3444、過原點的橢圓的一個焦點為F(1， 0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是（）A 、 (x1) 2y29 ( x1)B、 (x1 ) 2y 29 ( x1)2424C、 x 2( y1) 29 ( x1)D、 x 2( y1 )29 ( x1)2

16、4245、已知雙曲線x2y 291 上一點 M 的橫坐標(biāo)為 4，則點 M 到左焦點的距離是166、拋物線y=2x 2 截一組斜率為2 的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是7、已知拋物線y2=2x 的弦 AB 所在直線過定點p(-2，0) ，則弦 AB 中點的軌跡方程是.精品文檔8、過雙曲線x2-y2=4 的焦點且平行于虛軸的弦長為9、直線 y=kx+1 與雙曲線x2-y2=1 的交點個數(shù)只有一個，則k=x 2y2sin F1PF2 的最大值。10、設(shè)點 P 是橢圓1上的動點， F1， F2 是橢圓的兩個焦點，求25911、已知橢圓的中心在原點，焦點在x 軸上，左焦點到坐標(biāo)原點、右焦點、右準(zhǔn)線的距

17、離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A 、 B 兩點，且AB 中點 M 為 (-2 ，1)， AB4 3 ，求直線 l 的方程和橢圓方程。x 2y21(a 0, b 0) 及其漸近線的交點從左到右依次為A 、B 、C、D。求證： AB CD 。12、已知直線 l 和雙曲線2b2a參考答案1、 C.精品文檔AF2AF12a, BF2BF12a ，AF2BF2AB4,BF2AB4a2,a AF2m 選 C2、 C點 P 到 F 與到 x+4=0 等距離， P 點軌跡為拋物線p=8 開口向右，則方程為y2=16x ，選 C3、 D ABAC22，且 ABAC點 A 的軌跡為橢圓在y 軸右方的部分

18、、又A 、 B 、C 三點不共線，即 y 0，故選 D。4、 A設(shè)中心為 (x，y)，則另一焦點為(2x-1 ，2y) ，則原點到兩焦點距離和為4 得 1(2 x1) 2( 2 y) 24 ， (x1) 2y 29又 ca,(x1) 2y 22(x-1) 2+y 2)222=x+2(x2)設(shè) A(x，y)， B(x ， y )， AB中點 M(x ， y)，則7、 y1122y122x1 , y222x2 , y12y222( x1x2 ), y1y2 ( y1y2 ) 2x1x2 k ABkMPy0 ，y22 y2 ，即 y2=x+2x2x又弦中點在已知拋物線內(nèi)P，即 y22x ，即 x+2

19、2、a 2b 24,c 28,c2 2，令x 2 2代入方程得22，y=2，弦長為48 48-y =4y =49、2或1y=kx+1代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=0(1-k 2)x2-2kx-2=01k 20得 4k2+8(1-k2)=0 ， k=2 1-k2=0 得 k= 1010、解： a2=25 ， b2=9，c2=16y設(shè) F1、 F2 為左、右焦點，則F1(-4， 0)F2(4， 0)PFFx設(shè) PFr , PFr,F PF12222111 則r1r22r 2r 2(2c) 22r rcos1212 2-得 2r1r2(1+cos )=4b 2.精品文檔 1+cos=4b22b2122 r1r2 ，12的最大值為22r1r2r1 r2 r +r rra 1+cos的最小值為 2b 2，即 1+cos18a 225cos7， 0arccos 7則當(dāng)時， sin取值得最大值1，25252即 sin F1PF2 的最大值為 1。11、設(shè)橢圓方程為x 2y 21(ab0)a 2c 成等差數(shù)列，a