【W(wǎng)ord版導學案】學案6

1、 賓xz 東方工昨堂核2備課U制件 導學目標： 學案6函數(shù)的奇偶性與周期性 1了解函數(shù)奇偶性、周期性的含義 2會判斷奇偶性，會求函數(shù)的周期3會 做有關函數(shù)單調性、奇偶性、周期性的綜合問題. 東芳工咋裳桟2備裸紐制作 1 函數(shù)奇偶性的定義 如果對于函數(shù)f(x)定義域內任意一個X,都有，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果 對于函數(shù)f(x)定義域內任意一個X，都有，則稱f(x)為偶函數(shù). 2 奇偶函數(shù)的性質 (1) f(x)為奇函數(shù)？ f(-x)=- f(x)? f( x) + f(x)=； f(x)為偶函數(shù)? f(x) = f( x)= f(|x|)? f(x) f( x)=. (2) f(x)是偶函數(shù)？

2、 f(x)的圖象關于 軸對稱；f(x)是奇函數(shù)？ f(x)的圖象關于 對稱 (3) 奇函數(shù)在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性；偶函數(shù)在對稱的單調區(qū)間內有 的單調性. 3函數(shù)的周期性 (1) 定義：如果存在一個非零常數(shù)T,使得對于函數(shù)定義域內的任意x,都有f(x+ T)= ，則稱f(x)為函數(shù)，其中T稱作f(x)的周期.若T存在一個最小的正數(shù)， 則稱它為 f(x)的. 性質：f(x+ T)= f(x)常常寫作 f(x+ T)= f(x T). 如果T是函數(shù)y = f(x)的周期，貝U kT(k Z且0)也是y = f(x)的周期，即f(x+ kT)= f(x) 1 若對于函數(shù)f(x)的定義域內任一

3、個自變量的值x都有f(x+ a)= f(x)或f(x+ a)= 或 f x 1 f(x+ a) = f(a是常數(shù)且0)，貝U f(x)是以為一個周期的周期函數(shù). T x a x-cx 東芳工作窒核2備課紐制作 自我檢測 1.已知函數(shù) f(x)= (m 1)x2+ (m 2)x + (m2 7m + 12)為偶函數(shù)，貝V m 的值是 () 2. (2011茂名月考)如果奇函數(shù) 7 ) A 增函數(shù)且最小值是5 B 增函數(shù)且最大值是5 f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最大值為 , 3 5,那么f(x)在區(qū) 上是 C.減函數(shù)且最大值是5 D 減函數(shù)且最小值是5 3.函 數(shù)y = x ( ) A .關于

4、原點對稱 B .關于直線y= x對稱 C. 關于y軸對稱 D. 關于直線y = x對稱 4. (2009 西改編)已知函數(shù)f(x)是( m,+m )上的偶函數(shù)，若對于 2)= f(x),且當 x 0,2)時,f(x) = Iog2(x+ 1)，則 f( 2 012)+ f(2 011)的值為 x0,都有 f(x + () 1賓工* 東方工昨裳核2備裸紐制作 5 . (2011開封模擬)設函數(shù)f(x)= x + 1 x+ a x 為奇函數(shù)，則 探究點一函數(shù)奇偶性的判定 (3)f(x)= Iog2(x+ ijx2+ 1)； (4)f(x)= x2 + x, x2 + x, x0. 東方工昨畫核業(yè)備

5、課処制件 變式遷移1判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1) f(x)= x2 x3； (2) f(x)=x2 1+ . 1 x2； a/42 (3) f(x)= |x+- 探究點二函數(shù)單調性與奇偶性的綜合應用 東賃工咋窒核2備課爼制件 2函數(shù)y= f(x)(xz0)是奇函數(shù)，且當x (0, 1 + 8 )時是增函數(shù)，若f(1) = 0,求不等式fx(x-2)0的解集. 變式遷移2 (2011承德模擬)已知函數(shù)f(x)= x3 + x,對任意的 m 2,2, f(mx- 2) + f(x)0)，在區(qū)間8,8 上有四個不同的根Xi, x2, X3, X4,貝V Xl+ X2+ X3+ X4=. 變式遷移3

6、 定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)= f(2 x).若f(x)在區(qū)間1,2上是 減函數(shù)，則f(x)() 3.4上是增函數(shù) 3.4上是減函數(shù) 3.4上是增函數(shù) 3.4上是減函數(shù) A .在區(qū)間2, 1上是增函數(shù)，在區(qū)間 B. 在區(qū)間2, 1上是增函數(shù)，在區(qū)間 C. 在區(qū)間一 2, 1上是減函數(shù)，在區(qū)間 D .在區(qū)間一 2, 1上是減函數(shù)，在區(qū)間 東方工咋愛樓2備棵紐劇冷 轉化與化歸思想的應用 (12分)函數(shù)f(x)的定義域為 D = x|xm 0, 血 東方工咋皇核備課紐制昨 A H XZ 且滿足對于任意 Xi , X2 D，有 f(xi X2)= f(xi)+ f(X2). (1)

7、求f(1)的值； 判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論； (3) 如果f(4)= 1，f(3x+ 1) + f(2x 6)w 3，且f(x)在(0,+ )上是增函數(shù)，求 x的取值范 圍. 【答題模板】 解 T 對于任意 X1 , X2 D，有 f(X1 X2) = f(X1)+ f(X2), 令X1 = X2= 1，得 f(1) = 2f(1),.f(1) = O.2 分 (2) 令 X1= X2= 1, 有 f(1) = f( 1) + f( 1), 1八 f( 1)=尹1) = 0.4 分 令 X1= 1 , X2= X 有 f( x)= f( 1) + f(x), f( x)= f(x)

8、,.f(x)為偶函數(shù).6 分 (3) 依題設有 f(4 X 4) = f(4) + f(4) = 2, f(16X 4)= f(16) + f(4) = 3, 7 分 f(3x+ 1)+ f(2x 6) w 3, 即 f(3x+ 1)(2x 6) w f(64)8 分 -f(x)為偶函數(shù)， f(|(3x + 1)(2x 6|)w f(64). 10 分 又f(x)在(0 ,+s)上是增函數(shù)，f(x)的定義域為 D. 0|(3x+ 1)(2x 6)|w 64.11 分 711 解上式，得 3xw 5 或x 3或3x3. 一711 x 的取值范圍為x| 3W x 3或3x3 或 30, 從而得出0

9、|g(x)| w a,解之得x的范圍. 【易錯點剖析】 在中，由f(|(3x+ 1) (2x 6)|)wf(64)脫掉的過程中，如果思維不縝密，不能及時回 顧已知條件中函數(shù)的定義域中x|xm 0，易出現(xiàn)0w|(3x+ 1)(2x 6)|w 64,導致結果錯誤. 東芳工昨窒核心備課紐制件 1. 正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：定義域在數(shù)軸上關于原 點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；f(-X)= -f(x)或f( X)= f(x)是定 義域上的恒等式. 2 奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時 f X 需要先將函數(shù)進行化簡，或

10、應用定義的等價形式：f( x)= (x)? f( x) x) = o? 一廠 = T x 1(f(x)M 0) 3奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，反之也真利用這一性 質可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它判斷函數(shù)的奇偶性. 1 4. 關于函數(shù)周期性常用的結論：對于函數(shù)f(x)，若有f(x+ a) = f(x)或 f(x+ a) = f 或 t x 1 f(x+ a) = f(a為常數(shù)且0)，貝U f(x)的一個周期為2a T x (滿分：75分) 東方工昨莖核2 備課U制作 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1. (2011吉林模擬)已知f(x)= ax2 + bx是定

11、義在a 1,2a上的偶函數(shù)，那么a+ b的值為 ( ) 1 1 A. 3B.3 C.2 2. (2010銀川一中高三年級第四次月考)已知定義域為x|xm 0的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且 f x f(x)在區(qū)間(一a, 0)上是增函數(shù)，若f( 3)= 0，則0時，f(x) = 2x + 2x+ b(b為常數(shù)), 則f(1)等于 ( ) A . 3B . 1C. 1D. 3 5. 設函數(shù)f(x)滿足：y= f(x+ 1)是偶函數(shù)；在1 ,+a )上為增函數(shù)，則f( 1)與f(2) 大小關系是 題號 1 2 3 4 5 答案 A . f( 1)f(2) B . f( 1)0, 6. (2010遼寧部分

12、重點中學5月聯(lián)考)若函數(shù)f(x) = a, x= 0,是奇函數(shù)，則a + b x+ b, x1 , f(2) = 2m3，則m的取值范圍是 . )1, 1 XX$ 0 1 2 若 fx(x 2)0 = f( 1)，貝y1 x x 2 1 1 由 x(x 2) 1,解得 x ?. 原不等式的解集是 11 + . 171 17 x|2x 4 或4 x0. 變式遷移2( 2, ) 解析 易知f(x)在R上為單調遞增函數(shù)，且 f(mx 2) f(x) = f( x)，此時應用 mx 2 x, 令 h(m)= mx+ x 2, h 2 0 此時，只需即可，解得x ( 2 h 2 0 x x 2 1 11

13、 +171 17 f(x)為奇函數(shù)，故f(mx 2) + f(x)0，等價于 即mx+ x 20對所有 m 2,2恒成立， 2 ，3)- 解得 2x4 或x0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根xi, x2, x3, X4,不妨設 Xlx2X3X4.由對稱性知 xi+ X2=- 12, X3+ X4= 4,所以 Xi + X2+ X3+ X4=- 12+ 4=- 8. 東方工咋窒核2備課紐制作 變式遷移 3 Bf(x)= f(2-x),.f(x+ 1) = f(1 -x). x= 1為函數(shù)f(x)的一條對稱軸. 又 f(x+ 2) = f2 - (x+ 2) =f(-x)= f(x), 2是函數(shù)f(

14、x)的一個周期. 根據(jù)已知條件畫出函數(shù)簡圖的一部分，如右圖： 1 a = 3 b= 0 由圖象可以看出，在區(qū)間-2,- 1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù). 課后練習區(qū) a 1 = 2a 1. B 依題意得 b= 0 a + b = 3. 2. D 東方工昨窒核2備課紐制件 3. D 由 f(x+ 2) =- fx , f x 由已知條件，可得函數(shù)f(x)的圖象大致為右圖，故f(2)，即 f( 1)f(2). 6. 1 解析Tf(x)是奇函數(shù)，且 x R,.f(0) = 0,即卩 a = 0又 f(- 1) =-f(1),.b 1=- (1 1)= 0,即卩 b= 1，因此 a+ b= 1.

15、 2 7. - 1m1 , 2m 3 f(- 1) =-f(1) - 1 ,- 1. m+ 1 ” 2 解得：1m3 8. 2 解析 由 g(x)= f(x- 1)，得 g(-x)= f(- x- 1), 又g(x)為R上的奇函數(shù)， g(-x)=- g(x), f( x - 1) =-f(x 1), 即 f(x- 1) =- f(-x- 1), 用 x + 1 替換 x,得 f(x) = - f( x- 2). 又f(x)是R上的偶函數(shù)， f(x)=- f(x+ 2). f(x)= f(x+ 4),即卩 f(x)的周期為 4. f(2 010) = f(4 X 502+ 2)= f(2) =

16、2. 9. 解 由題意，當 3W x 6 時，設 f(x)= a(x- 5)2+ 3, f(6) = 2 ,.2= a(6 5)2+ 3.a =- 1. f(x)=- (x- 5)2 + 3(3 x 6). (3分) f(3) = - (3 5)2 + 3=- 1. 又f(x)為奇函數(shù)， f(0)= 0. 一次函數(shù)圖象過(0,0), (3, - 1)兩點. 1八 f(x)=-尹(0 xw 3). (6分) 當一3 x 0 時，一x 0,3, 1 1 -f(- x) =- * x)= x. 1 又 f( - x) = - f(x) ,.f(x) = - x. 1八 f(x)= 尹(-3 x 3)

17、. (9分) 當一6w x - 3 時，3 - x 6, f ( x) = ( x 5)2+ 3 = (x+ 5)2 + 3. 又 f( - x) = - f(x) ,.f(x) = (x+ 5)2 - 3. x+ 5 2- 3,- 6 x - 3, 1八 f(x)= - 3x0 時，f(x) = x2-2x- 1 = (x- 1)2-2, 當 x 0, 即 f(x)= x+ 1 2 - 2,x0時，函數(shù)f(x) = (x 1)2 2的最小值為2,最大值為f(3) = 2; 當x0時，函數(shù)f(x)= (x+ 1)2 2的最小值為一2，最大值為f( 3) = 2; 故函數(shù)f(x)的值域為2,2. (12分) 11. 解 當 a= 0 時，f(x)= x2 對任意 x ( a , 0) U (0 ,+ a), 有 f( x) = ( x)2 = x2= f(x), f(x)為偶函數(shù). (2分) 當 a豐0 時，f(x) = x2 + a(x豐0，常數(shù) a R), 若 x = 時，貝U f( 1) + f(1) = 2工 0; f( 1) f(1)，又 f( 1)豐 f(1) 函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). (6分) 綜上所述，當