（課標Ⅰ卷）2020屆高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù) 2.3 二次函數(shù)與冪函數(shù)課件 理

1、2.3 二次函數(shù)與冪函數(shù) 高考理數(shù)高考理數(shù) (課標專用) 五年高考 自主命題自主命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組 考點一二次函數(shù)考點一二次函數(shù) 1.(2017浙江,5,4分)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間0,1上的最大值是M,最小值是m,則M-m() A.與a有關,且與b有關 B.與a有關,但與b無關 C.與a無關,且與b無關 D.與a無關,但與b有關 答案答案B本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結合思想和分類 討論思想. 解法一:令g(x)=x2+ax,則M-m=g(x)max-g(x)min. 故M-m與b無關. 又a=1時,g(x)max-g(x

2、)min=2, a=2時,g(x)max-g(x)min=3, 故M-m與a有關.故選B. 解法二:(1)當-1,即a-2時,f(x)在0,1上為減函數(shù),M-m=f(0)-f(1)=-a-1. (2)當-1,即-2a-1時,M=f(0),m=f,從而M-m=f(0)-f=b-=a2. (3)當0-,即-1a0時,M=f(1),m=f,從而M-m=f(1)-f=a2+a+1. (4)當-0,即a0時,f(x)在0,1上為增函數(shù),M-m=f(1)-f(0)=a+1. 2 a 1 22 a 2 a 2 a 2 4 a b 1 4 2 a1 22 a 2 a 1 4 2 a 即有M-m= M-m與a有

3、關,與b無關.故選B. 2 2 1(0), 1 1( 10), 4 1 ( 21), 4 1(2). aa aaa aa aa 2.(2015四川,9,5分)如果函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么 mn的最大值為() A.16B.18C.25D. 1 2 1 ,2 2 81 2 答案答案B當m=2時,f(x)=(n-8)x+1在區(qū)間上單調(diào)遞減,則n-80n8,于是mn16,則mn無 最大值.當m0,2)時,f(x)的圖象開口向下,要使f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,需-,即2n +m18,又n0,則mnm=-m2+9m.而g(m)=-m2+9m在0,2

4、)上為增函數(shù),m0,2)時, g(m)2時,f(x)的圖象開口向上,要使f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,需-2,即2m+n12,而2 m+n2,所以mn18,當且僅當即時,取“=”,此時滿足m2.故(mn)max =18.故選B. 1 ,2 2 1 ,2 2 8 2 n m 1 2 9 2 m 1 2 1 2 1 ,2 2 8 2 n m 2m n 212, 2, mn mn 3, 6 m n 3.(2019浙江,16,4分)已知aR,函數(shù)f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|,則實數(shù)a的最大 值是. 2 3 答案答案 4 3 解析解析本題考查絕對值不等式的解法及二次函數(shù)的

5、最值等相關知識;以三次函數(shù)為背景,對不 等式化簡變形,考查學生運算求解能力,將不等式有解問題轉化為函數(shù)值域(最值)問題,考查學 生的化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想;突出考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng). |f(t+2)-f(t)|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|6at2+12at+8a-2|3at2+6at+4a-1|-3at2 +6at+4a-1a(3t2+6t+4), 3t2+6t+4=3(t+1)2+11, 若存在tR,使不等式成立,則需a0, 故a(3t2+6t+4)a,+), 只需a,+)即可,0a, 故a的最大值為. 疑難突破疑難突破能夠將原絕對值不等式化繁為簡,將問題簡化為一元

6、二次不等式有解問題,再進一 步轉化為值域交集非空是求解本題的關鍵. 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 4 3 2 4 , 3 3 4 3 4 3 考點二冪函數(shù)考點二冪函數(shù) (2018上海,7,5分)已知.若冪函數(shù)f(x)=x為奇函數(shù),且在(0,+)上遞減, 則=. 1 1 2, 1,1,2,3 2 2 答案答案-1 解析解析本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì).冪函數(shù)f(x)=x為奇函數(shù),可取-1,1,3,又f(x)=x在(0,+)上 遞減,0,則冪函數(shù)的圖象過原點,并且在區(qū)間0,+)上為增函數(shù); 如果0,當非零實數(shù)a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時,-+

7、的 最小值為. 3 a 4 b 5 c 答案答案-2 解析解析設2a+b=t,則2a=t-b,由已知得關于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有 解. 故=9t2-24(t2-c)0, 所以t2c, 所以|t|max=,此時c=t2,b=t,2a=t-b=, 所以a=. 故-+=-+=8=8-2-2. 所以-+的最小值為-2. 8 5 2 10 5 c5 8 1 4 3 4 t 3 8 t 3 a 4 b 5 c 8 t 16 t 2 8 t 2 11 tt 2 11 2t 3 a 4 b 5 c 5.(2015浙江,18,15分)已知函數(shù)f(

8、x)=x2+ax+b(a,bR),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間-1,1上的最大值. (1)證明:當|a|2時,M(a,b)2; (2)當a,b滿足M(a,b)2時,求|a|+|b|的最大值. 解析解析(1)證明:由f(x)=+b-,得對稱軸為直線x=-. 由|a|2,得1,故f(x)在-1,1上單調(diào), 所以M(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|. 當a2時,由f(1)-f(-1)=2a4, 得maxf(1),-f(-1)2, 即M(a,b)2. 當a-2時,由f(-1)-f(1)=-2a4, 得maxf(-1),-f(1)2,即M(a,b)2. 綜上,當|a|2時,M(a,b)

9、2. (2)由M(a,b)2得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=|f(-1)|2, 故|a+b|3,|a-b|3, 由|a|+|b|=得|a|+|b|3. 當a=2,b=-1時,|a|+|b|=3,|f(x)|=|x2+2x-1|,此時易知|f(x)|在-1,1上的最大值為2,即M(2,-1)=2. 所以|a|+|b|的最大值為3. 2 2 a x 2 4 a 2 a 2 a |,0, |,0, ab ab ab ab 考點二冪函數(shù)考點二冪函數(shù) 1.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐標系中,函數(shù)f(x)=xa(x0),g(x)=logax的圖象可能是() 答案答案D因為a0,

10、所以f(x)=xa在(0,+)上為增函數(shù),故A錯.在B中,由f(x)的圖象知a1,由g(x) 的圖象知0a1,矛盾,故B錯.在C中,由f(x)的圖象知0a1,矛盾,故C錯.在D 中,由f(x)的圖象知0a1,由g(x)的圖象知0a1,相符,故選D. 2.(2014上海,9,4分)若f(x)=-,則滿足f(x)0的x的取值范圍是. 2 3 x 1 2 x 答案答案(0,1) 解析解析令y1=,y2=,則f(x)0即為y1y2.函數(shù)y1=,y2=的圖象如圖所示,由圖象知:當0 x1 時,y1y2,所以滿足f(x)0的x的取值范圍是(0,1). 2 3 x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 考點一

11、二次函數(shù)考點一二次函數(shù) 1.(2018湖北荊州模擬,8)二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(-x+2),f(0)=3,f(2)=1,若在0,m上有最大值3, 最小值1,則m的取值范圍是() A.(0,+)B.2,+) C.(0,2D.2,4 三年模擬 A組 20172019年高考模擬考點基礎題組 答案答案D二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),其圖象的對稱軸是x=2,又f(0)=3,f(4)=3,又f(2) f(0),f(x)的圖象開口向上,f(0)=3,f(2)=1,f(4)=3,f(x)在0,m上的最大值為3,最小值為1, 由二次函數(shù)的性質(zhì)知2m4.故選D. 2.(2018河南

12、南陽模擬,9)設函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對于x1,3,f(x)-m+4恒成立,則實數(shù)m的取 值范圍為() A.(-,0B. C.(-,0)D. 5 0, 7 5 0, 7 5 , 7 答案答案Df(x)-m+4對于x1,3恒成立即m(x2-x+1)5對于x1,3恒成立.當x1,3時,x2-x +11,7,不等式f(x)-m+4等價于m.當x=3時,取最小值,若要不等式 m對于x1,3恒成立,則必須滿足m,因此,實數(shù)m的取值范圍為,故選D. 2 5 1xx 2 5 1xx 5 7 2 5 1xx 5 7 5 , 7 3.(2019河北唐山模擬,7)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-6,g

13、(x)=x+4,若對任意x1(0,+),存在x2(-,-1, 使f(x1)g(x2),則實數(shù)a的最大值為() A.6B.4C.3D.2 答案答案A由題意可知問題轉化為f(x)maxg(x)max.f(x)=-x2+ax-6=-(x2-ax)-6=-+-6,當x= 0,即a0時,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,f(x)0,即a0時,f(x)max=f=-6.而 g(x)=x+4在(-,-1上單調(diào)遞增,故g(x)max=g(-1)=3.故或解得a6,所以a的最大 值是6,故選A. 2 2 a x 2 4 a 2 a 2 a 2 a 2 4 a 0, 63, a 2 0, 63, 4 a a 4.(

14、2019廣東珠海模擬,6)已知函數(shù)y=x2-4x+5在閉區(qū)間0,m上有最大值5,最小值1,則m的取值范 圍是() A.0,1B.1,2 C.0,2D.2,4 答案答案D設y=f(x)=x2-4x+5.函數(shù)y=f(x)=x2-4x+5在閉區(qū)間0,m上有最大值5,最小值1,f(x)的 圖象的對稱軸方程為x=2,f(2)=4-8+5=1,f(0)=f(4)=5,2m4.m的取值范圍是2,4.故選D. 5.(2019福建莆田二模,14)若函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+a+1對于x-1,1時恒有f(x)0,則實數(shù)a的取 值范圍是. 答案答案 1 , 2 解析解析f(x)0a(x-1)2x-1,當

15、x=1時,aR,當x-1,1)時,a恒成立,a= -.綜上可得a-. 1 1x max 1 1x 1 2 1 2 考點二冪函數(shù)考點二冪函數(shù) 1.(2017江西九江七校聯(lián)考,4)冪函數(shù)f(x)=(m2-4m+4)在(0,+)上為增函數(shù),則m的值為 () A.1或3B.1C.3D.2 2 68mm x 答案答案B由題意知m2-4m+4=1且m2-6m+80m=1,選B. 2.(2019湖北荊門一模,4)已知點在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)是() A.奇函數(shù)B.偶函數(shù) C.定義域內(nèi)的減函數(shù)D.定義域內(nèi)的增函數(shù) 1 2, 2 答案答案A設冪函數(shù)y=f(x)=x,把代入函數(shù)解析式中,得2=,解得=

16、-1,冪函數(shù)f(x)=x-1,x (-,0)(0,+),f(x)是定義域上的奇函數(shù),且在定義域的每個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減函數(shù).故 選A. 1 2, 2 1 2 3.(2019河南濮陽二模,4)已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)是冪函數(shù),且其圖象與兩坐標軸都沒有交 點,則實數(shù)m=() A.-1B.2C.3D.2或-1 2 23mm x 答案答案A函數(shù)f(x)=(m2-m-1)是冪函數(shù),m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.當m=2時,f(x)=x5, 其圖象與兩坐標軸有交點,不合題意;當m=-1時,f(x)=,其圖象與兩坐標軸都沒有交點,符合題 意,故m=-1,故選A. 2 23mm x 4 1 x

17、 B B組組 2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組 時間時間:30分鐘分值分鐘分值:30分分 一、選擇題一、選擇題(每題每題5分分,共共15分分) 1.(2019廣東揭陽一模,3)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點,則f(8)的值為() A.B.C.2D.8 2 2, 2 2 4 2 8 22 答案答案A設f(x)=x.冪函數(shù)f(x)=x的圖象過點,=2,=-,f(x)=,f(8)= =,故選A. 2 2, 2 2 2 1 2 1 2 x 1 2 8 2 4 2.(2018福建模擬,3)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,則() A.b

18、acB.bcaC.cbaD.aba=0.40.30.30.3b=0.30.4,c=0.3-0.21,baf(x2-2x+2)成 立的x的取值范圍是() A.(1,2)B.(-,1)(2,+) C.(-,1)D.(2,+) 答案答案A因f(x)是R上的奇函數(shù)且在0,+)上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在(-,0上也是增函數(shù), 則函數(shù)在R上為增函數(shù).f(x)f(x2-2x+2)xx2-2x+2x2-3x+20,解得1xx2-2x+2, 由此解得x的取值范圍即可得答案. 方法點撥方法點撥利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)不等式的關鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號“f”,變 函數(shù)不等式為一般不等式,去掉“f”時,要注意

19、f(x)的定義域限制. 二、填空題二、填空題(每題每題5分分,共共5分分) 4.(2019河北邯鄲模擬,16)若正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則函數(shù)f(x)=ax2+x-a的零點的最大值為 . 1 3 b 答案答案 985 2 解析解析設f(x)=ax2+x-a的零點為x1,x2,且x1x2, 則x2=, 令t=+=,0b1,求導得t=, 0b時,t時,t0,函數(shù)遞增, b=時,t取得最小值9,t9, x2=在t9,+)上遞減, t=9,即a=,b=時,x2取得最大值. 思路分析思路分析問題轉化為求x2=的最大值,令t=+=(0b1),利 用導數(shù)法求得t9,+),再利用分子有理化得x2=的單調(diào)性

20、,從而可求得最大值. 1 3 b 2 3131 4 2 aabaab 3 a 1 ab 2 31b bb 2 22 321 () bb bb 1 3 1 3 1 3 2 4 2 tt 22 2 (4)(4) 2(4) tttt tt 2 2 4tt 2 3 1 3 985 2 2 3131 4 2 aabaab 3 a 1 ab 2 31b bb 2 4 2 tt 三、解答題三、解答題(共共10分分) 5.(2019山西晉中模擬,18)已知f(x)=ax2-2x+1-a,aR. (1)求f(x)在0,2上的最小值g(a); (2)若關于x的方程f(2x)=(a+1)4x-a(2x+1)-2x+

21、1+3有正實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍. 解析解析(1)當a=0時,f(x)=-2x+1在0,2上單調(diào)遞減, 故最小值g(a)=f(2)=-3. 當a0時,f(x)=ax2-2x+1-a是關于x的二次函數(shù),其圖象的對稱軸為x=. 當a0時,x=0時,x=0, 當(0,2),即a時,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故最小值g(a)=f=1-a-; 當2,+),即00),則方程變形為t2-at+2=0, 根據(jù)題意得,原方程4x-a2x+2=0有正實數(shù)根, 即關于t的一元二次方程t2-at+2=0有大于1的實數(shù)根, 而方程t2-at+2=0+t=a在(1,+)有實根, 令F(t)=+t,則F(t)

22、在(1,+)上的值域為2,+), 故a2,+). 思路分析思路分析(1)通過討論a的范圍,結合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最小 值即可; (2)化簡方程,得到4x-a2x+2=0,令t=2x(t0),問題轉化為+t=a在(1,+)有實根,求出a的范圍即可. 2 t 2 t 2 2 2 t C C組組 2017201920172019年高考模擬年高考模擬應用創(chuàng)新題組應用創(chuàng)新題組 1.(2019安徽合肥模擬,7)若0ba1,則在ab,ba,aa,bb中最大值是() A.baB.aaC.abD.bb 答案答案C0baaa,babb.故在ab,ba,aa,bb中最大值是ab,故選C.

23、解題關鍵解題關鍵本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和冪函數(shù)的單調(diào)性,熟練掌握指數(shù)函數(shù)的 單調(diào)性和冪函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)的關系是解題的關鍵. 2.(2019湖南長沙一模,15)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且4c9a,若不等式f(x)0恒成立,則 的取值范圍是. (1) (0)( 1) f ff 答案答案(3,+) 1 , 16 解析若不等式f(x)0恒成立,則又4c9a,設x=,y=,則(*),則 =1+,令z=,則z表示區(qū)域(*)內(nèi)的點(x,y)與P(1,-2)連線的斜率,如 圖,作出不等式組(*)表示的區(qū)域,因為A,所以kPA=-.設直線PB:y=k(x-1)-2與拋物 線相切,聯(lián)立得x2-4kx+4k+8=0,=16k2-16k-32=0k=-1或k=2,由圖可知,z (2,+),所以(3,+). 2 0, 40, a bac b a c a 2 4 , 9 4 xy y (1) (0)( 1) f ff 1 1 xy x 2 1 y x 2 1 y x 9 3, 4 9 2 4 4 17 16 2 4 , (1)2, xy yk x 17 , 16 (1