變化率問題教學(xué)

1、.1 .2 通過閱讀引言我們知道： 1.隨著對(duì)函數(shù)的深入研究產(chǎn)生了微積分隨著對(duì)函數(shù)的深入研究產(chǎn)生了微積分, ,它是數(shù)學(xué)發(fā)它是數(shù)學(xué)發(fā) 展史上的一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為展史上的一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為 數(shù)學(xué)史上的里程碑?dāng)?shù)學(xué)史上的里程碑. . .微積分的創(chuàng)立者是微積分的創(chuàng)立者是2牛頓和萊布尼茨牛頓和萊布尼茨. .他們都是著名 的科學(xué)家，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)一下. 牛頓（牛頓（Isacc Newton,1642 - 1727)Isacc Newton,1642 - 1727)是英國數(shù)學(xué)是英國數(shù)學(xué) 家、天文學(xué)家和物理學(xué)家家、天文學(xué)家和物理學(xué)家 是世界上出類拔萃的科學(xué)家。是世界上出類拔萃的

2、科學(xué)家。 .3 萊布尼茨萊布尼茨(1646-1716)德國數(shù)學(xué)德國數(shù)學(xué) 家、哲學(xué)家，家、哲學(xué)家， 和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人. 3.本章我們將要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)是微本章我們將要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)是微 積分的核心概念之一積分的核心概念之一. 打個(gè)比喻如果微積分是萬丈打個(gè)比喻如果微積分是萬丈 高樓，那么平均變化率就是地基高樓，那么平均變化率就是地基. 那么我們這一節(jié)課就相當(dāng)于那么我們這一節(jié)課就相當(dāng)于 是是“地基地基”. 現(xiàn)在我們就開始現(xiàn)在我們就開始 “打造地基打造地基” .4 姚明身高變化曲線圖姚明身高變化曲線圖(部分部分) 2.26 2.12 年齡年齡 身高身高 471013 16 19

3、 22 0.8 1.61 .5 問題1 氣球膨脹率 在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的 增加, 氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)學(xué)的角度, 如何 描述這種現(xiàn)象呢? 氣球的體積V(單位:L)與半徑r (單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是 . 3 4 )(V 3 rr 若將半徑 r 表示為體積V的函數(shù), 那么. 4 V3 )V( 3 r 當(dāng)空氣容量V從0L增加到1L , 氣球半徑增加了 ),dm(62. 0)0( ) 1 ( rr 氣球的平均膨脹率為 ),dm/L(62. 0 01 )0( ) 1 ( rr 當(dāng)空氣容量V從1L增加到2 L , 氣球半徑增加了 ),dm(16. 0) 1 (

4、 )2( rr 氣球的平均膨脹率為 (2) (1) 0.16(dm/L). 2 1 rr 隨著氣球隨著氣球 體積逐漸體積逐漸 變大變大,它的它的 平均膨脹平均膨脹 率逐漸變率逐漸變 小小. .6 當(dāng)空氣容量從當(dāng)空氣容量從V1增加到增加到V2時(shí)時(shí),氣球的氣球的 平均膨脹率是多少平均膨脹率是多少? 21 21 ()()r Vr V VV 思考思考 .7 問題2 高臺(tái)跳水 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中, , 運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面 的高度的高度 h ( (單位單位: :m) ) 與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間 t ( (單位單位: :s) ) 存在函數(shù)存在函數(shù) 關(guān)系關(guān)系: : 2 ( )

5、4.96.5 10httt .8 問題問題2 高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中, 運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度 h (單位單位:m)與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間 t (單位單位:s) 存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系 2 ( )4.96.510h ttt 如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度 描述其運(yùn)描述其運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)動(dòng)狀態(tài), 那么那么: v 在在0 t 0.5這段時(shí)間里這段時(shí)間里, 在在1 t 2這段時(shí)間里這段時(shí)間里, (0.5)(0) 4.05(m/s); 0.50 hh v (2)(1) 8.2(m/s); 2 1 hh v .9

6、平均速度不 能反映他在 這段時(shí)間里 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 需要用瞬時(shí) 速度描述運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)。 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在 這段時(shí)間里的平均速度這段時(shí)間里的平均速度,并并 思考下面的問題思考下面的問題: 65 0 49 t (1) 運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎? 探探 究究 t h O 65 98 t 65 49 65 ()(0) 49 65 0 49 0 hh v (2) 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么 問題嗎問題嗎? .10 平均變化率平均變化率: 式子式子 12 12 )()( xx xfxf 令令x = x2 x1 ,

7、y = f (x2) f (x1) ,則則 xxx xfxf y )()( 12 12 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)從從x1到到 x2的平均變化率的平均變化率. 平均變化率的定義： .11 1、式子中式子中x 、 y 的值可正、可負(fù)，但的值可正、可負(fù)，但 的的x值不能為值不能為0， y 的值可以為的值可以為0 x y 2、若函數(shù)、若函數(shù)f (x)為常函數(shù)時(shí)，為常函數(shù)時(shí)， y =0 理解理解 x xfxxf xx xfxf )() ()()( 11 12 12 3、變式變式: 21 21 ()( ) y f xf x xxx .12 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)的圖象的圖象平均變化率平均變化率 表示

8、什么表示什么? 1 21 ()()f xf x xx 2 思考 x y o B x2 f (x2) A x1 f (x1) f (x2)-f (x1) x2-x1 直線AB的斜率 y=f (x) .13 例例 (1) 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù) f (x) = 2 x +1在區(qū)間在區(qū)間 3 , 1上的平均變化率上的平均變化率 ； (2) 求函數(shù)求函數(shù)f (x) = x2 +1的平均變化率。的平均變化率。 (1)解：解： y=f (-1)- f (-3)=4 (2)解：解： y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 2 2() 2 yx xx xx xx x=-1- (-3)=2 4 2 2 y x .14 練習(xí) 1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2) 及臨近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則y/x=(D ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x l2、求y=x2在x=x0附近的平均變化率. 2x0+x .15 小結(jié)：小結(jié)： 1.函