2012年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)22頁(yè)

1、2012年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）方程的一個(gè)根是ABCD2（5分）命題“，”的否定是A，B，C，D，3（5分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為 ABCD4（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為ABCD5（5分）設(shè)，且，若能被13整除，則A0B1C11D126（5分）設(shè)，是正數(shù)，且，則ABCD7（5分）定義在，上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在，上的如下函數(shù)：；則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)

2、為ABCD8（5分）如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以，為直徑作兩個(gè)半圓在扇形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是ABCD9（5分）函數(shù)在區(qū)間，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A4B5C6D710（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑，“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個(gè)近似公式人們還用過(guò)一些類似的近似公式根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是ABCD二、填空題：（一）必考題（11-14題）本大題共4小題，考試共需作答5小題，每小題5分，共25分請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可均不得分11（5分

3、）設(shè)的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是，若，則角 12（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果 13（5分）回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22，11，3443，94249等顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，191，202，999則：（）4位回文數(shù)有 個(gè)；（）位回文數(shù)有 個(gè)14（5分）如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為，則：（）雙曲線的離心率 ；（）菱形的面積與矩形的面積的比值 二、填空題：（二）選考題（請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題

4、目序號(hào)后的方框用2B鉛筆涂黑，如果全選，則按第15題作答結(jié)果計(jì)分）15（5分）如圖，點(diǎn)在的弦上移動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則的最大值為 16（選修坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知射線與曲線為參數(shù)）相交于，來(lái)兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17（12分）已知向量，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間，上的取值范圍18（12分）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為8（1）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，

5、成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和19（12分）如圖1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足在線段上且異于點(diǎn)，連接，沿將折起，使（如圖2所示），（1）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小20（12分）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量（單位：對(duì)工期的影響如下表：降水量工期延誤天數(shù)02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求：工期延誤天數(shù)的均值與方差；（）在降水量至少是300的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率21（13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)與軸垂直

6、的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；（）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn)，是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22（14分）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且求的最小值；試用的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù)，若，則；請(qǐng)將中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式2012年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出

7、的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）方程的一個(gè)根是ABCD【解答】解：方程中，故選：2（5分）命題“，”的否定是A，B，C，D，【解答】解：命題“，”是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題， “，”的否定是，故選：3（5分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為 ABCD【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象可知二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，從而可知二次函數(shù)它與軸所圍圖形的面積為故選：4（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為ABCD【解答】解：由三視圖可知幾何體是圓柱底面半徑為1高為6的圓柱，被截的一部分，如圖所求幾何體的體積為：故選：5（5分）設(shè)，且，若能被13整除，則A

8、0B1C11D12【解答】解：由于含有因數(shù)52，故能被52整除要使得能能被13整除，且，則可得故選：6（5分）設(shè)，是正數(shù)，且，則ABCD【解答】解：由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，等號(hào)成立故選：7（5分）定義在，上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在，上的如下函數(shù)：；則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為ABCD【解答】解：由等比數(shù)列性質(zhì)知，故正確；，故不正確；，故正確；，故不正確；故選：8（5分）如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以，為直徑作兩個(gè)半圓在扇形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是ABCD【解答】解：設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積

9、為，連接，把下面的陰影部分平均分成了2部分，然后利用位移割補(bǔ)的方法，分別平移到圖中劃線部分，則陰影部分的面積為：，此點(diǎn)取自陰影部分的概率是故選：9（5分）函數(shù)在區(qū)間，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A4B5C6D7【解答】解：令，可得或或，則，可取的值有0，1，2，3，4，方程共有6個(gè)解函數(shù)在區(qū)間，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)故選：10（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑，“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個(gè)近似公式人們還用過(guò)一些類似的近似公式根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是ABCD【解答】解：由，解得設(shè)選項(xiàng)中的常數(shù)為，則選項(xiàng)代入得

10、；選項(xiàng)代入得；選項(xiàng)代入得；選項(xiàng)代入得由于的值最接近的真實(shí)值故選：二、填空題：（一）必考題（11-14題）本大題共4小題，考試共需作答5小題，每小題5分，共25分請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可均不得分11（5分）設(shè)的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是，若，則角【解答】解：由已知條件可得即由余弦定理得：又因?yàn)?，所以故答案為?2（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果9【解答】解：循環(huán)前，第1次判斷后循環(huán)，第2次判斷并循環(huán)，第3次判斷退出循環(huán)，輸出故答案為：913（5分）回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22，11，3443，94249等顯然2位回文

11、數(shù)有9個(gè)：11，22，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，191，202，999則：（）4位回文數(shù)有90個(gè)；（）位回文數(shù)有 個(gè)【解答】解：位回文數(shù)的特點(diǎn)為中間兩位相同，千位和個(gè)位數(shù)字相同但不能為零，第一步，選千位和個(gè)位數(shù)字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數(shù)字，有10種選法；故4位回文數(shù)有個(gè)故答案為 90第一步，選左邊第一個(gè)數(shù)字，有9種選法；第二步，分別選左邊第2、3、4、個(gè)數(shù)字，共有種選法，故位回文數(shù)有個(gè)故答案為14（5分）如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為，則：（）雙曲線的離心率；（）菱形的面積與矩形的面積的比值 【解答】解：

12、由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，因此點(diǎn)到直線的距離為，又由于虛軸兩端點(diǎn)為，因此的長(zhǎng)為，那么在中，由三角形的面積公式知，又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立可得出，根據(jù)解出（）設(shè)，很顯然知道，因此在中求得，故；菱形的面積，再根據(jù)第一問(wèn)中求得的值可以解出故答案為：，二、填空題：（二）選考題（請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題目序號(hào)后的方框用2B鉛筆涂黑，如果全選，則按第15題作答結(jié)果計(jì)分）15（5分）如圖，點(diǎn)在的弦上移動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則的最大值為2【解答】解：由題意可得為直角三角形，故有，故當(dāng)半徑最大且弦心距最小時(shí)，取得最大值故當(dāng)為直徑、且為的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值

13、，為的一半，由于，故的最大值為2，故答案為216（選修坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知射線與曲線為參數(shù)）相交于，來(lái)兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為【解答】解：射線的直角坐標(biāo)方程為，曲線為參數(shù)）化為普通方程為，聯(lián)立方程并消元可得，方程的兩個(gè)根分別為1，4線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.5，縱坐標(biāo)為2.5線段的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為故答案為：三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17（12分）已知向量，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間，上的取值范圍【解答】解

14、：（1）圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又，時(shí)，函數(shù)的最小正周期為（2）由，故函數(shù)在區(qū)間，上的取值范圍為，18（12分）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為8（1）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，解得或由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，或當(dāng)時(shí)，分別為，2不成等比當(dāng)時(shí)，分別為，2，成等比數(shù)列，滿足條件故設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足此式綜上可得19（12分）如圖1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足在線段上且異于點(diǎn)，連接，沿將折起，使（如圖2所示），（1）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上

15、確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小【解答】解：（1）設(shè)，則，折起前，折起后，平面設(shè) ，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大；（2）以為原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系，由（1）知，三棱錐的體積最大時(shí)，0，0，2，0，1，1，且，1，設(shè)，則，即，1，當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由及，得，取，2，設(shè)與平面所成角為，則，與平面所成角的大小為20（12分）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量（單位：對(duì)工期的影響如下表：降水量工期延誤天數(shù)02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求：工期延誤天數(shù)的均值與方差；

16、（）在降水量至少是300的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率【解答】由題意，的分布列為 0 2 6 10 0.3 0.4 0.2 0.1工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為9.8；（），由條件概率可得21（13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；（）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn)，是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：如圖1，設(shè)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，代入即得所求曲線的方程為，時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，（）如圖2、3，設(shè)，則，兩點(diǎn)在橢圓上，可得，三點(diǎn)共線，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意，都有22（14分）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且求的最小值；試用的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù)，若，則；請(qǐng)將中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得：，令，解得；當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)所以在處取