2012年考研數(shù)學(xué)二試題及答案18頁

1、2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 曲線漸近線的條數(shù) ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C【考點】函數(shù)圖形的漸近線【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：（i）當(dāng)曲線上一點M沿曲線無限遠離原點時，如果M到一條直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。（ii）漸近線分為水平漸近線（，為常數(shù)）、垂直漸近線（）和斜漸近線（，為常數(shù)）。（iii）注意：如果（1）不存在；（2），但不存在，可斷定不存在斜漸近

2、線。在本題中，函數(shù)的間斷點只有.由于，故是垂直漸近線.（而，故不是漸近線）.又，故是水平漸近線.（無斜漸近線）綜上可知，漸近線的條數(shù)是2.故選C. (2) 設(shè)函數(shù),其中為正整數(shù),則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】A【考點】導(dǎo)數(shù)的概念【難易度】【詳解一】本題涉及到的主要知識點：.在本題中，按定義.故選A.【詳解二】本題涉及到的主要知識點：.在本題中，用乘積求導(dǎo)公式.含因子項在為0，故只留下一項.于是故選（A）. (3) 設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的( )（A）充分必要條件 （B）充分非必要條件（C）必要非充分條件 （D）既非充分也非必要條件【答案】B【考點】數(shù)列極限【難易度】【詳解

3、】因，所以單調(diào)上升.若數(shù)列有界，則存在，于是反之，若數(shù)列收斂，則數(shù)列不一定有界.例如，取，則是無界的.因此，數(shù)列有界是數(shù)列收斂的充分非必要條件.故選（B）.(4)設(shè)則有 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【考點】定積分的基本性質(zhì)【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：設(shè)，則.在本題中，因此.故選D.（5）設(shè)函數(shù)可微，且對任意的都有，則使不等式成立的一個充分條件是( )（A）， （B）， （C）， （D）， 【答案】D【考點】多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；如果

4、在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少.在本題中，因，當(dāng)固定時對單調(diào)上升，故當(dāng)時又因，當(dāng)固定時對單調(diào)下降，故當(dāng)時因此，當(dāng)，時故選D.（6）設(shè)區(qū)域由曲線，圍成，則( )（A）（B）2（C）-2（D）【答案】D【考點】二重積分的計算【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：在本題中，其中，均為奇函數(shù)，所以，故選（D） (7)設(shè), , , ,其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為( )(A) (B) (C) (D)【答案】C【考點】向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：個維向量相關(guān)在本題中，顯然，所以必線性相關(guān).故選C.(8) 設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且.若P=（），則

5、 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】B【考點】矩陣的初等變換；初等矩陣【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：設(shè)是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.在本題中，由于經(jīng)列變換為，有，那么故選B.二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 .【答案】1【考點】隱函數(shù)的微分【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：隱函數(shù)求導(dǎo)的常用方法有：1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，將每個方程兩邊對指定的自變量求偏導(dǎo)數(shù)（或?qū)?shù)），此時一定要注意誰是自

6、變量，誰是因變量，對中間變量的求導(dǎo)不要漏項。然后求解相應(yīng)的線性方程式或方程組，求得所要的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)。2. 利用一階全微分形式的不變性，對每個方程兩邊求全微分，此時各變量的地位是平等的，然后求解相應(yīng)的線性方程組或者方程式，球的相應(yīng)的隱函數(shù)的全微分。對于多元隱函數(shù)來說，若題目中求的是全部偏導(dǎo)數(shù)或全微分，往往是用方法2比較簡單些，若只求某個偏導(dǎo)數(shù)，則方法1和方法2的繁簡程度差不多。在本題中，令，得.等式兩邊同時對求導(dǎo)，得 （*）令，得 ，于是.再將（*）是對求導(dǎo)得令，得 于是（10） .【答案】【考點】定積分的概念【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：利用定積分定義求某些和式的極限（先

7、將和式表成某函數(shù)在某區(qū)間上的一個積分和，它的極限就是一個定積分）.特別是對于項和數(shù)列的極限，應(yīng)該注意到：在本題中，由積分定義，（11）設(shè)，其中函數(shù)可微，則 【答案】0【考點】多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：二元函數(shù)（是一元函數(shù)與二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)），在變量替換下，得到對，的偏導(dǎo)數(shù)為，.在本題中，根據(jù)題中條件可知，所以（12）微分方程滿足條件的解為 【答案】（或）【考點】一階線性微分方程【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：方程叫做一階線性微分方程，其通解為.在本題中，方程可整理為，將看作因變量，一階線性非齊次微分方程的通解為.又，得，故（或）為所求解.（13）

8、曲線上曲率為的點的坐標(biāo)為 .【答案】（-1，0）【考點】曲率【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點： 曲率公式.在本題中，代入曲率公式，得，解得或.又，故.故坐標(biāo)為.（14）設(shè)為3階矩陣，為的伴隨矩陣，若交換的第一行與第二行得到矩陣，則_【答案】-27.【考點】矩陣的初等變換；伴隨矩陣【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：設(shè)是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.在本題中，設(shè)則，從而.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）已

9、知函數(shù) 記（）求的值；（）當(dāng)時，與是同階無窮小，求常數(shù)的值.【考點】無窮小量的比較【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：當(dāng)時，.（）（）方法一：利用泰勒公式解得. 方法二：利用等價無窮小量代換當(dāng)時，所以. （16）求函數(shù)的極值.【考點】函數(shù)的極值【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：二元函數(shù)取得極值的充分條件：設(shè)在點的某鄰域有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，又，令，則（1）當(dāng)時，在取極值，且當(dāng)時取極小值，時取極大值；（2）當(dāng)時，不是的極值點；（3）當(dāng)時，僅此不足以判斷是否是的極值點，還需另作討論.在本題中，先求函數(shù)的駐點. 令解得駐點為，又根據(jù)判斷極值的第二充分條件，代入（1，0），得，從而，所以在

10、（1，0）取得極大值，極大值為； 代入（-1，0），得，從而，所以在（-1，0）取得極小值，極小值為.（17）過點（0，1）作曲線的切線，切點為，又與軸交于點，區(qū)域由與直線及軸圍成，求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義、定積分的應(yīng)用【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：（i）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在點處的切線的斜率.函數(shù)；（ii）函數(shù)，在連續(xù)，則由曲線，及直線，所圍區(qū)域的面積；（iii）曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.在本題中，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為，代入（0，1）點，解得，從而切點坐標(biāo)為，切線方程為，點坐標(biāo)為，所以區(qū)域的面積.繞軸旋轉(zhuǎn)一周所

11、得旋轉(zhuǎn)體的體積（18）計算二重積分，其中區(qū)域由曲線與極軸圍成.【考點】二重積分的計算；定積分的換元積分法【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：在本題中，作極坐標(biāo)變換，則的極坐標(biāo)表示是，于是（19）已知函數(shù)滿足方程及（）求的表達式；（）求曲線的拐點.【考點】二階常系數(shù)齊次線性微分方程；函數(shù)圖形的拐點【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：（i）二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程有兩個不同的實根，微分方程的通解形式為.（ii）拐點的充分判別定理：設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，則，若在兩側(cè)附近異號，則點為曲線的拐點.（）因滿足 由得，代入得 ，兩邊乘得 積分得 ，即代入式得，于是代入式自然成立.因此求得（

12、）曲線方程為為求拐點，先求出.，由于因此是曲線的唯一拐點.（20）證明：【考點】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少.證明：令，則轉(zhuǎn)化為證明（）因，即為偶函數(shù)，故只需考察的情形.用單調(diào)性方法.，其中，因時，又在連續(xù)在，（），同理在，在，.又因為偶函數(shù)，.即原不等式成立.（21）（）證明：方程（為大于1的整數(shù)）在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根；（）記（）中的實根為，證明存在，并求此極限.【考點】閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【難易度】【證明】本題涉及到的主要知識點：零點定理：設(shè)函數(shù)在

13、閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號（即），那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點，使.（）轉(zhuǎn)化為證明在有唯一零點.由于在連續(xù)，又，由連續(xù)函數(shù)的零點存在性定理可知在至少存在一個零點.又，所以在，在的零點唯一，即在內(nèi)只有一個根.（）記，它的唯一零點記為.現(xiàn)證.由于，顯然，在有唯一零點，此零點必然是，且因此單調(diào)下降且有界，故必存在極限因，即，令即.（22）設(shè)（I）計算行列式； （II）當(dāng)實數(shù)取何值時，方程組有無窮多解，并求其通解.【考點】行列式按行（列）展開定理；非齊次線性方程組有解的充分必要條件【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點：（i）行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即，或.（ii）設(shè)是矩陣，方程組，則方程組有無窮多解（I）按第一列展開，即得（）因為時，方程組有可能有無窮多解.由（I）知或當(dāng)時，由于，故方程組無解.因此，當(dāng)時不合題意，應(yīng)舍去.當(dāng)時，由于，故方程組有無窮多解.選為自由變量，得方程組通解為：（為任意常數(shù)）.（23）已知，二次型的秩為2（I）求實數(shù)的值；（II）求正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形.【考點】二次型的秩；實對稱矩陣的特征值和特