矩陣的各種運(yùn)算詳解

1、二一和丄:.,矩陣與月的和記作上+ B，規(guī)定為 才能進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算.兩個(gè)同型矩陣的和，即為兩定義1 ?設(shè)有兩個(gè).矩陣 注：只有兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí), 個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的矩陣設(shè)矩陣1, 記稱(chēng)一為矩陣上的負(fù)矩陣,顯然有/+M=o.由此規(guī)定矩陣的減法為定義2 ?數(shù)!,與矩陣 數(shù)與矩陣的乘積運(yùn)算稱(chēng)為矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算 都是同型矩陣，是常數(shù)，則j4+B=B+4小m - .v刃+（-小0;心伽， （如!）加肋+皿; lc（A+B）=）cA+kSA的乘積記作 數(shù)乘運(yùn)算.J或上!I ,規(guī)定為.它滿足下列運(yùn)算規(guī)律:（5）?（7）（8）注：在數(shù)學(xué)中，把滿足上述八條規(guī)律

2、的運(yùn)算稱(chēng)為線性運(yùn)算.二、矩陣的相乘定義3 ?設(shè)矩陣丄與矩陣丄的乘積記作匚,規(guī)定為記號(hào)L常讀作上左乘二或丄右乘.注：只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行乘法運(yùn)算.若一 丄，則矩陣的元素；即為矩陣的第.行元素與矩陣 丄的第-列對(duì)應(yīng)元素乘積 的和.即二偽少+閔必打+偽上#(7=450), (蟲(chóng)+聊 jC+BG C(A+B) = CA+CBt k(AB)(kA)B=AkB).矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律（假定運(yùn)算都是可行的）:（1）（2）（3）（4）例如,設(shè) 11-2丿3 - 6J ?則BA =* 24曠5而?1-31 -VI于是 J丄:一？且從上例還可看岀：兩個(gè)非零矩陣相乘，可能

3、是零矩陣，故不能從:,|必然推岀或5=0.此外，矩陣乘法一般也不滿足消去律，即不能從二必然推岀二例如，設(shè)q %衛(wèi)3;衛(wèi)0;0 J,oAC貝 U ?但一匸定義4?如果兩矩陣相乘，有則稱(chēng)矩陣A與矩陣B可交換.簡(jiǎn)稱(chēng)A與B可換.注：對(duì)于單位矩陣_5,容易證明 或簡(jiǎn)寫(xiě)成可見(jiàn)單位矩陣 二在矩陣的乘法中的作用類(lèi)似于數(shù)1.更進(jìn)一步我們有命題1 ?設(shè)扁是一個(gè)n階矩陣，則丄是一個(gè)數(shù)量矩陣的充分必要條件是口與任何n階矩陣上可換。命題2?設(shè)丄2均為n階矩陣，則下列命題等價(jià)：(1) i-(2) 丄I(3) 丁(4) IA -三、線性方程組的矩陣表示設(shè)有線性方程組若記則利用矩陣的乘法，線性方程組 可表示為矩陣形式：AX=

4、b ?其中矩陣稱(chēng)為線性方程組(1)的系數(shù)矩陣.方程(2)又稱(chēng)為矩陣方程.如果二-匸 是方程組(1)的解，記列矩陣則丿,；D ,這時(shí)也稱(chēng)是矩陣方程的解；反之，如果列矩陣是矩陣方程的解，即有矩陣等式二: 成立，則上-I即 (戶(hù)1,2嚴(yán))也是線性方程組(1)的解.這樣，對(duì)線性方程組(1)的討論 便等價(jià)于對(duì)矩陣方程(2)的討論.特別地，齊次線性方程組可以表示為將線性方程組寫(xiě)成矩陣方程的形式，不僅書(shū)寫(xiě)方便，而且可以把線性方程組的理論與矩陣 理論聯(lián)系起來(lái)，這給線性方程組的討論帶來(lái)很大的便利四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義6?把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，稱(chēng)為的轉(zhuǎn)置矩陣，記作二(或匸).即若則11也1護(hù)=旳 2

5、a22 % V V 11 V V%務(wù)血.矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）:八廠？二一五、方陣的幕定義5?設(shè)方陣；,.,規(guī)定J稱(chēng)為的 次幕.方陣的幕滿足以下運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：則有 :為自然數(shù)，反之不成注：一般地為自然數(shù) 命題3設(shè)i均為n階矩陣，1 -立。六、方陣的行列式定義7?由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式 （各元素的位置不變），稱(chēng)為方陣上的行列式，記 作1或:lL_注：方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，:階方陣是r個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而口階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù)值（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）方陣的行列式滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)為口階方陣，卜為常數(shù)）:jn、；

6、-I進(jìn)一步二口匚七、對(duì)稱(chēng)矩陣定義8設(shè)為階方陣，如果丄即則稱(chēng)上為對(duì)稱(chēng)矩陣.顯然，對(duì)稱(chēng)矩陣 的元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng) .例如656g0?卜1 ,05丿均為對(duì)稱(chēng)矩陣如果 -二則稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣.八、共軛矩陣定義9 ?設(shè)1L-為復(fù)（數(shù)）矩陣，記其中表示二的共軛復(fù)數(shù)，稱(chēng)二為A的共軛矩陣.共軛矩陣滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)二-三為復(fù)矩陣，卜為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）:理二巫;AB-AS.例題選講：注:？ n階數(shù)量矩陣?yán)? （講義例3）若q1t30 3、-2 , B =1求苑?矩陣的線性運(yùn)算C123q31-PA=031,B5-301例1 （講義例1)已知4D3J2-525-2157PfB=5197例2 （講義例2)已

7、知3462-19且，求J5B= 1Qxi1x0BA =1(l 0, 4)=1X11x01x4衛(wèi)Xl0x00x4;&川二砌V例5設(shè)，B=I例4設(shè)占二（1, 0, 4）, I。丿。A是一個(gè)義，BA也有意義；但1矩陣,1 0=1 0o 0B是 3x1 矩陣，因此44八AB有意乞丿（這種記法表示主對(duì)角線以外沒(méi)有注明的元素均為零），則缶11+為=勺十為叭+如（3）、弧八例6 （講義例4）某地區(qū)有四個(gè)工廠I、n、皿、wh2，生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品 ，矩陣A表示 一年中各工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量 ，矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價(jià)格 （元）及單位利潤(rùn)（元）,矩陣C 表示各工廠的總收入及總利潤(rùn) .其中,?1丄十-一二

8、是第.個(gè)工廠生產(chǎn)第 匸種產(chǎn)品的數(shù)量,訂及丨：分別是第 種產(chǎn)品的單位價(jià)格及單位利潤(rùn)，及 （心,4） 分別是第.個(gè)工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總收入及總利潤(rùn).則矩陣 AtB,C 的元素之間有下列關(guān)系：其中例7 （講義例例8 （講義例5)6)求與矩陣勺0001000?可交換的一切矩陣.例9 （講義例7)證明：如果,J： = /!i./ f.L，= 貝U有1-1解矩陣方程V ?x為二階矩陣-1-1丿（2）設(shè)J=(l( 2,，則例11 （講義例8)已知a00-P2丿0例12（講義例9)設(shè)，則?求 J-、1例10 （1）設(shè)r-21-2、-21-2AB =-451-4519-690又=241 0-1-2 1 01*2 10=-2 0| =03 13 2-1