淺談新定義試題的編制方式與解題要點(diǎn)(精)_第1頁(yè)
淺談新定義試題的編制方式與解題要點(diǎn)(精)_第2頁(yè)
淺談新定義試題的編制方式與解題要點(diǎn)(精)_第3頁(yè)
淺談新定義試題的編制方式與解題要點(diǎn)(精)_第4頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、淺談新定義試題的編制方式與解題要點(diǎn)江西省彭澤縣楊梓中學(xué)程峰在近幾年中考試題中頻頻出現(xiàn)這樣一類題一一新定義問(wèn)題。新定義問(wèn)題主要考查學(xué) 生的閱讀理解能力、自學(xué)能力以及接受新事物適應(yīng)情況的能力,大部分學(xué)生感覺(jué)這類試 題有一定的難度。本文擬談?wù)劥祟愒囶}的編制方式和解題要點(diǎn)。一、新定義數(shù)試題編制方式:以一些具有特殊性質(zhì)或具有特殊關(guān)系的數(shù)為背景。解題要點(diǎn):抓住新定義本質(zhì)特征或隱含的規(guī)律。我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫做理想分?jǐn)?shù),如,任何一個(gè)理想分?jǐn)?shù)都可611111 1111以寫成兩個(gè)不同理想分?jǐn)?shù)的和,如丄二丄 1 ,丄=丄丄,丄二丄,根據(jù)對(duì)上述236 3412 4520式子的觀察,請(qǐng)你思考:如果理想分?jǐn)?shù)11 1用

2、含n的式子表示)1 (n是不小于2的正整數(shù))=1,那么a b二 (na b解析觀察式子136,3 一 412,4丄的分母發(fā)現(xiàn)5202/c 八 23+6=9=3=(2+1),a+b=(n+1)2 2 2 24+12=16=4 =(3+1) ,5+20=25=5=(4+1),由此得例2如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”。如4=22-0 2,12=42-22,20=62-4 2,因此,4,12,20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)。(1) 28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎?為什么?(2) 設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和2k (其中k取非負(fù)整數(shù))。由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神 秘?cái)?shù)是

3、4的倍數(shù)嗎?為什么?(3) 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))是神秘?cái)?shù)嗎?為什么?解析 (1)v 28=82-6 2,2012=5042-5022,二 28 和 2012 這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)。(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和2k構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是 M則依據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定 義可得 M=(2k+2) -(2k)=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=4(2k+1). 故 M是 4 的倍數(shù)。(3)設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為2k+1和2k-1,則其平方差為(2k+1) 2-(2k-1) 2=8k,而8k無(wú)法表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差,故兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差 (取正 數(shù))不是神秘?cái)?shù)。、新定義運(yùn)算試題編制方式:人為的給

4、出新的運(yùn)算符號(hào)并賦予它相應(yīng)的運(yùn)算法則或順序或程序。解題要點(diǎn):抓住新定義運(yùn)算的法則或順序。例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”,其規(guī)則為a b=a2-b2,則方程(4A 3) x=13的解為x= .解析 由 a b=a2-b2,得 4A 3= 42-3 2=7.由(4 3) x=13,得= x=13,2 2 7 -x =13,. x= 6.例4定義一種對(duì)正整數(shù) n的“ F運(yùn)算”:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),結(jié)果為3n+5;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),結(jié)果為n2k(其中k是使羋為奇數(shù)的正整數(shù))2k,并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行。解析例如:取n=26,則26第3次若n=449,則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是根據(jù)F運(yùn)算的程序,考慮尋找規(guī)律。由449

5、F第2次FFF第4次第5次第6次,可看出,以后的運(yùn)算結(jié)果是1和8的交替出現(xiàn),由于從第 4次起,運(yùn)算次數(shù)是偶數(shù),結(jié)果為1,運(yùn)算次數(shù)是奇數(shù),結(jié)果為8,因449是奇數(shù),故運(yùn)算結(jié)果為8。三、新定義點(diǎn)或線試題編制方式:以滿足特定關(guān)系或性質(zhì)的點(diǎn)或線為背景。解題要點(diǎn):抓住新定義的點(diǎn)或線的內(nèi)涵與外延。例5 如圖1( 1),在平面上,給定了半徑為 r的圓0,對(duì)于任意點(diǎn),在射線 0P上取 一點(diǎn)P/,使得OP- OP,=r2,這種把點(diǎn)P變?yōu)镻,的變換叫做反演變換,點(diǎn) P 與點(diǎn)P,叫做互為反演點(diǎn)。如圖 1 (2), O 0內(nèi)外各一點(diǎn)A和B,它們的反演點(diǎn) 分別為A,和B,求證:/ A,=Z B.(1)證明: A和A,,

6、 B和B,互為反演點(diǎn),2 2 0A- 0Ax =r , OB- OB =r ,/ 0A- 0AX =0B- OB0A 0BOB 0A又/ BOA=/ AOB OABA OBA / A,=Z B.三、新定義圖形新定義圖形主要是指新定義三角形、四邊形(如矩形、梯形、平等四邊形等)、圓、多邊形等。其中新定義四邊形在試題中出現(xiàn)最多。試題編制方式:以圖形中邊或角或?qū)蔷€滿足特定的條件(如數(shù)量關(guān)系,位置關(guān)系)或 圖形經(jīng)過(guò)某些變換(如平移、旋轉(zhuǎn)、折疊)為背景,從而賦予這些圖形新的定義,例如: 對(duì)角線相等的四邊形叫做等對(duì)角線四邊形,至少一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊 形,等等。解題要點(diǎn):抓住新定義圖形的性

7、質(zhì),變換方式等,必要時(shí)結(jié)合三角形全等,相似,特殊 四邊形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)。例6 如圖2所示,給出如下定義:第一個(gè)四邊形的兩組相鄰兩邊分別相等,則稱這 個(gè)四邊形為箏形四邊形。圖2(1 )寫出一個(gè)你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是箏形四邊形的圖形名稱;(2)如圖 2,在箏形 ABCD中,AD=CD AB=BC 若/ ADC=60,/ ABC=30,求證:2AB=bD.解 (1)正方形或菱形。(2)證明:如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BECO交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD在厶 ABD和 BCD中,AB=CB AD=CD BD=BD ABDA BCD.1/ BCD / ADC=30 ,21/ PCBa / ABC=15 ,2/

8、 BCE=45 .設(shè) BE=x,在 Rt BCE中,CE=x,BC= 2 BE= .、2 x=AB,在 Rt DBE中,/ BCD=30 , BD=2BE=2x, AB2=2x2,BD2=4x2, 2AB2=BE2.說(shuō)明 本題通過(guò)構(gòu)造 Rt,結(jié)合邊的關(guān)系以及特殊角,把BD AB聯(lián)系起來(lái)。例6給出如下定義:若一個(gè)四邊形中存在一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平和,則稱這個(gè)四邊形為等平方和四邊形。(i)n(2)(1) 如圖 3( 1),在梯形 ABCD中, AB/ BC, AC丄 BD,垂足為 O,求證:aD+bCuA+dC. 即四邊形ABCD是等平方四邊形。(2) 如圖3(2)是將圖3( 1)中的

9、 AOD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) a(0 av90 ) 后得到,那么四邊形ABCD能否成為等平方和四邊形?若能,請(qǐng)你證明,若不能, 請(qǐng)說(shuō)明理由。解(1)v AC丄 BD于 O,/ AODM BOC=/ AOB=/ DOC=90 . oA+oD=Ati,oB+oC=bC, oa2+oB=aB oD+oC=dC. aD+bc=aB+dC,即四邊形ABCD是等平方和四邊形。(2) 分析:要說(shuō)明旋轉(zhuǎn)后四邊形是否為等平方和四邊形,只要說(shuō)明AC丄BO而/AOD=90,所以只要證/ AO D=Z AOD即可,為此,畫出原梯形 A BCD。如圖3 (2),連結(jié)AC BD交于點(diǎn)O./A D/ BC A OD CO

10、B.OA ODOA _ ODOC - OBOC OBOA =OA OD =OD/ AOA =Z DOD =a,/ AOC=/ DOB=180 -a,亍 OA OD又, AOSA DOB.OC OB/ 仁/2 又3=Z4/ AOD2 AOD=90,由(1)結(jié)論得AD+BC=AB+DC,即四邊形 ABCD是等平方和四邊形。四、類比定義試題編制方式:以學(xué)生熟知的定義進(jìn)行引申或類比,從而引出新的定義。例如:由黃金 分割點(diǎn)類比引出黃金分割線,或引申為黃金三角形等,又如把位似與旋轉(zhuǎn)相結(jié)合引出旋轉(zhuǎn)相似變換等。解題要點(diǎn):抓住原始定義和新定義及有關(guān)性質(zhì)。i-(3) 如圖4( 1), C是線段AB上一點(diǎn),且滿足_

11、BC = AC二,則點(diǎn)c叫做線段AC AB 2AB的黃金分割點(diǎn)。比值5 1叫做黃金比。2iCB(1)B ( 3)(1) 類似地我們可以定義:頂角為36的等腰三角形叫做黃金三角形,其底與腰之比為黃金比。如圖 4(2),在厶ABC中,/ A=36, AB=AC / ACB的角平分線 CD交腰AB于D,請(qǐng)你說(shuō)明D為腰AB的黃金分割點(diǎn)的理由。(2) 若腰和上底相等,對(duì)角線和下底相等的等腰梯形叫做黃金梯形。如圖4 ( 3), AD/ BC, AB=AD=DC AC=BD=BC試說(shuō)明 0為AC的黃金分割點(diǎn)。(3) 如圖 4(4),在 Rt ABC中,/ ABC=90 , CD為斜邊 AB上的高,A、B、A

12、CB的 對(duì)邊分別為a、b、c,若D是AB的黃金分割點(diǎn),那么 a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系 是什么?并證明你的結(jié)論。證明(1 )在厶ABC中,/ A=36, AB=ACACB=72/ CD平分/ ACB1/ DCB / ACB=36 ,./ A=Z DCB2/ ABC=z CBD AB3A CBDADBD, AB _ CB CB BD .AB又易證得BC=CD=AD AD D為腰AB的黃金分割點(diǎn)。(3) 在厶 ABC DCB中,/ AB=DC AD/ BQ / ABC玄 DCB/ BC=CBABCA DCB/ ACB=/ DBC=a/ AD/ BC,DBC=/ BDA=a/ AB=ADABD=/ B

13、DA=a./ ABC=2a/ AC=BC / ABC=z CBA=2a在厶ABC中,/ ABC+Z ACB+Z BAC=180 , 5a=180 , a=36 .在等腰 ABC中, BD為/ ABC的角平分線,Z ACB=36由(1)的結(jié)論知O為腰AC的黃金分割點(diǎn),即CO AOAC 一 CO(3)a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系是 b2 =ac.vZ ACB=90 ,CO丄 AB, Z ACBZ ADC=90 ,vZ A=Z A , ACBA ADC些二塑,即AC 2 = AD *AB-AD AC b2 = AD *c ,同理可證,a2 = BD *c , ADb2cBD又v D為AB的黃金分割點(diǎn), AD 2 = BD *c.把,代入得ba2c2,v a,c均為正數(shù), b2 = ac .說(shuō)明本題各問(wèn)運(yùn)用黃金分割點(diǎn)的定義及性質(zhì),結(jié)合三角形相似等知識(shí),使問(wèn)題得證。小結(jié):由以上幾例可知,新定義問(wèn)題并不神秘,表面上是

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