2第二章導數(shù)和微分1

1、第二章導數(shù)與微分【考試要求】1理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)2會求曲線上一點處的切線方程與法線方程3熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)的求導方法4掌握隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)5理解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)6理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數(shù)的一階微分【考試內(nèi)容】一、導數(shù)（一）導數(shù)的相關概念1函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義設函數(shù) yf ( x) 在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處取得增量x（點x0x 仍在該鄰域內(nèi)）時，相應的

2、函數(shù)取得增量yf ( x0x)f ( x0 ) ；如果y 與x 之比當x 0時的極限存在，則稱函數(shù)yf ( x) 在點 x0處可導，并稱這個極限為函數(shù) yf ( x) 在點 x0 處的導數(shù)，記為 f( x0 ) ，即f(x0 )limylim f (x0x)f ( x0 ) ，x 0xx0x也可記作 ydydf ( x)x x，x x0或xx00dxdx說明： 導數(shù)的定義式可取不同的形式，常見的有f ( x0 )limf ( x0 h)f (x0 )h和h01/24f ( x0 )f ( x)f (x0 )x lim；式中的 h即自變量的增量x x0xx02導函數(shù)上述定義是函數(shù)在一點處可導如果

3、函數(shù)yf ( x) 在開區(qū)間 I 內(nèi)的每點處都可導，就稱函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 I 內(nèi)可導這時，對于任一x I ，都對應著f (x) 的一個確定的導數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)就叫做原來函數(shù)yf (x) 的導函數(shù)，記作 y ， f( x) ，dydf (x)f ( x0 ) 就是導函數(shù)或顯然， 函數(shù) f (x) 在點 x0 處的導數(shù)dxdxf ( x) 在點 xx0 處的函數(shù)值，即 f ( x0 )f ( x) x x03單側(cè)導數(shù)（即左右導數(shù)）根據(jù)函數(shù)f ( x) 在點 x0 處的導數(shù)的定義， 導數(shù) f( x0 )lim f ( x0h) f (x0 )h0h是一個極限， 而極限

4、存在的充分必要條件是左右極限都存在并且相等，因此 f(x0 ) 存在（即f (x) 在點 x0 處可導）的充分必要條件是左右極限limf ( x0h)f (x0 )及h0hlim f ( x0h)f (x0 )都存在且相等這兩個極限分別稱為函數(shù)f ( x) 在點 x0 處的h 0h左導數(shù)和右導數(shù)，記作f(x0 ) 和 f ( x0 ) ，即 f ( x0 )limf ( x0h) f ( x0 )，hh0f ( x0h)f (x0 )f ( x) 在點 x0f ( x0 ) limh現(xiàn)在可以說，函數(shù)處可導的充分h0必要條件是左導數(shù) f( x0 ) 和右導數(shù) f ( x0 ) 都存在并且相等說明

5、：如果函數(shù) f ( x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導， 且 f (a) 及 f (b) 都存在， 就說 f ( x) 在閉區(qū)間 a, b 上可導4導數(shù)的幾何意義2/24函 數(shù) yf ( x) 在 點 x0 處 的 導 數(shù) f ( x0 ) 在 幾 何 上 表 示 曲 線 yf (x) 在 點M ( x0 , f ( x0 ) 處的切線的斜率，即 f (x0 )tan，其中是切線的傾角如果yf ( x) 在點 x0 處的導數(shù)為無窮大，這時曲線yf ( x) 的割線以垂直于x 軸的直線xx0為極限位置，即曲線 yf ( x) 在點 M (x0 , f ( x0 ) 處具有垂直于x 軸的切線xx0

6、根據(jù)導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程，可得曲線y f ( x) 在點 M (x0 , y0 ) 處的切線方程和法線方程分別為：切線方程：法線方程：yy0f ( x0 )(xx0 ) ；yy01x0 ) ( xf (x0 )5函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系如果函數(shù) y f ( x) 在點 x0 處可導，則 f ( x) 在點 x0 處必連續(xù)，但反之不一定成立，即函數(shù) y f (x) 在點 x0 處連續(xù)，它在該點不一定可導（二）基本求導法則與導數(shù)公式1常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（1） (C)0 ；（ 2） ( x )x 1；（3） (sin x)cos x ；（4） (cos x)sin x ；（5）

7、 (tan x)sec2 x；（ 6） (cot x)cscx ；（7） (secx)secx tan x ；（ 8） (csc x)csc xcot x ；（9） (ax )ax ln a ；（ 10） (ex )ex；1（12） (ln x)1（11） (log a x)；x；xln a（13） (arcsin x)1（ 14） (arccosx)1x2；1；1x23/24（15） (arctan x)111x2；（ 16） (arccot x)x212函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設函數(shù) uu(x) ， vv( x) 都可導，則（1） (u v)uv；（2） (Cu)Cu （ C 是常數(shù)

8、）；（3） (uv)u vuv；（4） ( u )u v uv（ v0 ）vv23復合函數(shù)的求導法則設 yf (u) ，而 ug( x) 且 f (u) 及 g( x) 都可導，則復合函數(shù) yf g(x) 的dydyduf (u) g ( x) 導數(shù)為du或 y (x)dxdx（三）高階導數(shù)1定義一般的，函數(shù) yf ( x) 的導數(shù) yf ( x) 仍然是 x的函數(shù)我們把 yf ( x) 的導 數(shù) 叫 做 函 數(shù) yf ( x) 的 二 階 導 數(shù) ， 記 作 yd 2 yy( y ) 或或， 即dx2d 2 yddy相應地，把 yf ( x) 的導數(shù) f( x) 叫做函數(shù) yf ( x) 的

9、一階dx2dxdx導數(shù)類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)，一般的， (n1) 階導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù)，分別記作y， y(4)， y( n)或d 3 y， d 4 y ， d n ydx3dx4dxn函數(shù) yf (x) 具有 n階導數(shù)，也常說成函數(shù)f ( x) 為 n階可導如果函數(shù)f ( x) 在點 x 處具有 n階導數(shù)，那么f (x) 在點 x 的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導數(shù)二4/24階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)（四）隱函數(shù)的導數(shù)函數(shù)的對應法則由方程F (x, y)0 所確定，即如果方程F (x, y) 0 確定了一個函數(shù)關系 yf ( x) ，則稱

10、yf ( x) 是由方程 F (x, y)0 所確定的隱函數(shù)形式隱函數(shù)的求導方法主要有以下兩種：1方程兩邊對 x 求導，求導時要把y 看作中間變量例如：求由方程 eyxye0 所確定的隱函數(shù)的導數(shù)dy dx解：方程兩邊分別對x 求導， (eyxye)x(0) x，得 ey d yyx d y 0 ， 從而d yy d xd xd xxye2一元隱函數(shù)存在定理dyFxdxFy例如：求由方程 eyxye0 所確定的隱函數(shù)的導數(shù)dy dx解：設 F (x, y)eyxye，dyFx(eyxye)yx則Fyeydx(eyxye)xy（五）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)x(t )一般地，若參數(shù)方程確定 y

11、 是 x 的函數(shù)，則稱此函數(shù)關系所表達的函數(shù)y(t )5/24dy(t ) ，上式也可寫成dydy為由該參數(shù)方程所確定的函數(shù)，其導數(shù)為dt dx(t )dxdxdtd 2 y(t) (t)(t) (t)其二階導函數(shù)公式為3 (t)dx2（六）冪指函數(shù)的導數(shù)一般地，對于形如 u (x)v( x )0 ，u( x)1）的函數(shù)，通常稱為冪指函數(shù) 對（ u( x)于冪指函數(shù)的導數(shù)，通常有以下兩種方法：1復合函數(shù)求導法將冪指函數(shù) u( x)v ( x) 利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化為ev( x)ln u ( x)的形式，然后利用復合函數(shù)求導法進行求導，最后再把結(jié)果中的ev ( x)ln u (x)恢復

12、為 u( x)v( x ) 的形式例如：求冪指函數(shù)yx x 的導數(shù) dy dx解：因 xxex ln x，故 dydexln xexln x ( xln x)xx (1 ln x) dxdx2對數(shù)求導法對原函數(shù)兩邊取自然對數(shù)，然后看成隱函數(shù)來求y 對 x的導數(shù)例如：求冪指函數(shù)yx x 的導數(shù) dy dx解：對冪指函數(shù) yx x 兩邊取對數(shù)， 得 ln yx ln x ，該式兩邊對 x 求導，其中 y 是 x的函數(shù)，得1dy1 ln x ，故dyx(1ln x) ydxy(1 ln x)xdx二、函數(shù)的微分1定義：可導函數(shù)yf (x) 在點 x0 處的微分為dy x x0f ( x0 )dx ；

13、可導函數(shù)6/24yf ( x) 在任意一點 x 處的微分為 dyf ( x)dx 2可導與可微的關系函數(shù) yf ( x) 在點 x 處可微的充分必要條件是yf (x) 在點 x處可導，即可微必可導，可導必可微3基本初等函數(shù)的微分公式（1） d (C)0dx ；（3） d(sin x)cosxdx；（5） d (tan x)sec2 xdx；（7） d(secx)secx tan xdx ；（9） d ( a x )a x ln adx；（11） d (log a1dx ；x)x ln a1dx ；（13） d(arcsin x)1x21dx ；（15） d(arctan x)x214函數(shù)和、差

14、、積、商的微分法則（ 2） d ( x )x 1dx ；（ 4） d (cos x)sin xdx；（ 6） d (cot x)cscxdx；（ 8） d (csc x)cscxcot xdx ；（ 10） d (ex )ex dx ；（ 12） d (ln x)1 dx ；x1dx ；（ 14） d (arccosx)1x21（ 16） d (arccot x)x2 dx 1設函數(shù) uu(x) ， vv( x) 都可導，則（1） d(uv)dudv ；（2） d(Cu)Cdu （ C 是常數(shù)）；（ 3）（ 4）d(uv)vduudv ；uvduudv0 ）d( )v2（ vv5復合函數(shù)的微分

15、法則設y f (u)及ug (x)都可導，則復合函數(shù)y f g( x) 的微分為7/24dyyxdxf (u) g ( x)dx 由于 g ( x)dxdu ，所以復合函數(shù)yf g(x) 的微分公式也可寫成dyf (u)du 或 dyyu du由此可見，無論 u 是自變量還是中間變量，微分形式dyf (u) du 保持不變這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性該性質(zhì)表明，當變換自變量時，微分形式dyf (u)du 并不改變【典型例題】【例 2-1】以下各題中均假定f ( x0 ) 存在，指出 A 表示什么1 lim f ( x0x)f ( x0 )Ax 0x解：根據(jù)導數(shù)的定義式，因x0 時， x0 ，故

16、lim f ( x0x) f (x0 )lim f ( x0x) f ( x0 )f ( x0 ) ，x 0xx 0x即 A f ( x0 ) 2設 lim f ( x)A，其中 f (0)0，且 f (0)存在x0x解：因 f (0)0 ，且 f(0)存在，故limf ( x)limf ( x)f (0)f(0) ，即 Af (0) x 0xx 0x03 limf ( x0h)f ( x0h)A h0h8/24解：根據(jù)導數(shù)的定義式，因h0時，h0 ，故f ( x0h)f ( x0h)f ( x0h)f ( x0 ) f (x0 ) f (x0 h)limhlimhh 0h 0f ( x0h)

17、f ( x0 ) f (x0h)f ( x0 )limhh 0lim f ( x0h)f ( x0 )lim f (x0h)f ( x0 )h 0hh 0hf ( x0 )f ( x0 ) 2 f ( x0 ) ，即 A 2 f ( x0 ) 【例 2-2】分段函數(shù)在分界點處的導數(shù)問題1討論函數(shù) f ( x)2 x3 ,x1在 x1處的可導性3x2 ,x1解：根據(jù)導數(shù)的定義式，f ( x)f (1)2x322 lim( x2f(1)limlim3x 13x 1)2，x 1x 1x 13 x 1f ( x)f (1)x22f(1)limlimx3，x 1x1x 11故 f (x) 在 x1處的左

18、導數(shù) f(1)2，右導數(shù)不存在，所以f (x) 在 x1處不可導2討論函數(shù) f ( x)x2 sin 1 ,x0在 x0 處的可導性x0,x0f ( x)f (0)x2 sin 101解：因f (0)limlimxlim xsin0 ，x 0x0x 0xx 0x故函數(shù) f (x) 在 x0 處可導9/243已知函數(shù) f ( x)x2 ,x11處連續(xù)且可導，求常數(shù)a 和 b 的值x在 xax b,1解：由連續(xù)性，因 f (1)1， f (1 )limf ( x) lim x21，x 1x1f (1 ) lim f ( x)lim( axb)ab ，從而 ab1x 1x 1再由可導性，f(1)li

19、m f ( x)f (1)x 1x1f (1) limf ( x)f (1)limaxx1x1x1x得 f (1)limf ( x)f (1)limaxx1x1x1xlim x21lim( x1) 2，x1 x1x1b1b 1af，1，而由可得，代入(1)aa ，再由f(1)f (1)可得 a2 ，1代入式得 b1sin x,x0(x) 【例 2-3】已知 f ( x)x，求 fx,0解：當 x0時， f ( x) (sin x)cosx ，當 x0 時， f ( x) (x)1，當 x 0時的導數(shù)需要用導數(shù)的定義來求f(0)limf ( x)f (0)lim sin x1，x0x0x0xf(

20、0)limf (x)f (0)lim x 01 ，x0x0x0xf(0)f(0)1f(0)1fcos x,x0，故( x)，從而1,x0【例 2-4】求下列函數(shù)的導數(shù)1 yex (sin xcos x) 解：y(ex ) (sin xcos x)ex (sin xcos x)ex (sin xcos x)ex (cos xsin x)2ex cosx 10/242 y解：3 ysin2x1x2ysin2x2cos2x212x21x1xxcos2x2(1x2 ) (2x)21x2(1 x2 )22(1x2 )cos2x2 (1x2)2x1ln cos(ex ) 解：yln cos(ex )1co

21、s(ex )cos(ex )1x)x)c o s(exs i ne(e()1sin(ex )excos(ex )ex tan( ex ) 4 yln( x1 x2 ) 解： yln( x1x2 )x1( x 1 x2 )1x211(1x2 )x1x221x211xx1x21x21x1x2x1x21x211/2411x2【例 2-5】求下列冪指函數(shù)的導數(shù)1 yxsin x（ x0）解：y( xsin x )(esin xln x )esin x ln x(sin x ln x)esin xln x(cos x ln xsin x1)xxsin x (cos x ln xsin x) x說 明 ：

22、 本 題 也 可 采 用 對 數(shù) 求 導 法 ， 即 ： 對 冪 指 函 數(shù) yxsin x兩邊取對數(shù)，得ln ysin xln x ，該式兩邊對x 求導，其中y 是 x的函數(shù)，得故2 y解： y1ycosx ln xsin x1，yxyy(cos xln xsin x1 )xsin x (cos xln xsin x) xxxx（ x0 ）1xxxx lnxxlnxx1xe1xe1xx ln1 xe1 xlnxx1xxxlnx1xx1xxln1xx1x1x xxelnxx121xxxxx1ln1x1 x1x12/24x說明： 本題也可采用對數(shù)求導法，即：對冪指函數(shù)y1 xln y x lnx

23、，該式兩邊對x求導，其中 y 是 x 的函數(shù)，得1xx兩邊取對數(shù)，得1 y lnxx 1 x1xlnx11，y1xxx1xxx1xx1yylnx故1 x 1x1xlnx11x【例 2-6】用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)1 y xx y（ x0 ）解：等式兩邊取對數(shù)，得xln yy ln x ，兩邊對 x求導，注意y 是 x 的函數(shù)，得ln yxyy ln xy，整理得( xln x) yyln y ，yxyxyln yy2xy ln y則yxxx2xy ln xln xy2 yx215x22解：等式兩邊取對數(shù)，得 ln y lnx211 lnx21，5x2225 x22即也即2lnyln( x2

24、1)1ln( x22)，510lny5ln( x21)ln( x22)，兩邊對 x求導，注意y 是 x 的函數(shù)，得10 y10x2x，yx2 1x2213/24y1 0x2xxx2 x1故y1 x22x21 5x21 0 5 x21 0 x22【例 2-7】求下列抽象函數(shù)的導數(shù)1dy 1已知函數(shù) yf ( x) 可導，求函數(shù) yf (esin x ) 的導數(shù)dxd yd11111( 1 )解：f ( es i nx )f ( es ixn )(e sx i n) f (esin x )esin xd xd xsin x1111f (esin x )esin xcos xcos x esin x

25、f (esin x )sin2 xsin2 x2 設 函 數(shù) f ( x) 和 g( x) 可 導 ， 且f 2 ( x)g 2 ( x) 0，試求函數(shù)y f 2 ( x) g 2 ( x) 的導數(shù) dy dx解：dydf 2 ( x)g 2 ( x)f 2 ( x)g 2 ( x)2 f 2 ( x)g 2 (x)dxdx2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)f ( x) f ( x) g( x) g ( x)2 f 2 ( x) g 2 ( x)f 2 ( x) g 2 ( x)【例 2-8】求由下列方程所確定的隱函數(shù)yy( x) 的導數(shù)1 x2xyy 20解：方程兩邊分別

26、對x 求導，得2xyx dy2 ydy0，dxdx整理得( x2 y) dy2xy，故dy2xydxxdx2 y說明：此題也可用隱函數(shù)存在定理來求解，即：設F ( x, y)x2xy y 2，14/24dyFx2xy2xy則Fyx2yxdx2y2 y 1xey 解：方程兩邊分別對x 求導，得dy0eyxeydy ，dxdx整理的(1xey ) dyey ，故dy1ey ydxdxxe說明：此題也可用隱函數(shù)存在定理來求解，即：設F ( x, y) 1 xeyy ，dyFxeyey則Fyxey11xeydx【例 2-9】求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)yy( x) 的導數(shù)x2et1e tydydye

27、te t1解：dtdxdx2et2e2ttdt2ex11t2ty1tdyt1tt2解：dydt1 tdxdx11t11 dt1 t【例 2-10】求下列函數(shù)的微分1 f ( x)tan2 (12 x2 ) 21t15/24解：因f( x)tan2 (1 2x2 )2tan(12x2 ) sec2 (12x2 )4x ，故 dyf( x)dx8 x tan(12 x2 )sec 2 (12x 2 )dx 2 f ( x)e 1 x2解：因f( x)e 1 x2e 1x222xxe 1x2，1x21x2故 dyf ( x)dxxe 1x2dx 1x23 f ( x)x2 arctanx11解：因f

28、( x)x2 arctanx12x arctanx1x22x1 ，1x1故 dyf( x)dx2xarctanx1x2dx 2xx 14 f ( x)sin 2 x ln(1x2 ) 解：因 f( x)sin2 x ln(1x2 )2sin xcos xln(1x2 )sin2 x2x，1x2故 dyf( x)dxsin 2x ln(1x2 )2xsin2 xdx 1x2【例 2-11】求曲線 yxe x 在點 (0,1)處的切線方程和法線方程解： yxe xe xxe x ， yx 01，故曲線在點(0,1) 處的切線方程為y 11 (x 0) ， 即x y 1 0 ； 法 線 方 程 為y 11 (