等積法求體積點到面的距離【教師版】

1、2014/10/14等積法求三棱錐的體積【教師版】由于三棱錐是由4個三角形圍成的四面體，任何一個三角形都可以看成其底面。 但在求 體積時需要選擇合適的底和高，這就需要靈活換底面，但是三棱錐的體積保持不變。這種方 法我們稱為“等積法”，它是三棱錐求體積的巧妙方法，也是其“專屬產(chǎn)品”。其他的，如四棱 錐求體積就不能隨意換底，不能用等積法求體積。另外，等積法的優(yōu)越性還體現(xiàn)在求“點到平 面的距離”中。【注意】等積法求體積時，要謹記“先證后求”的原則，先作出或證明底面的高，再計算 三棱錐的體積。例118.本小題滿分14分如鼬邊長為2的正方體ABCD-AC.D,中* 與我G相交于點0求證；BC II f

2、面心tQD；(2) 求證；BC. 1平聞場DC,(3) 求四面體的體積18.(本小題確分1毎分)(1)證明：連結(jié)DM jEABCD-AC 中 Mg且肋胡q a ABC是乎行四邊形二 BC / ADt *2分TEG在平面外 才D在平血AADVD內(nèi):* BCJ!平面例2 .解：（I）由已知得,MD是 ABP的中位線MD / AP 2 分MD 面APC, AP 面APCMD / 面APC 4 分PMB為正三角形,D為PB的中點,MD PB,AP PB7分又 AP PC,PB PC PAP 面 PBC（2）證興 正方體ABCD-AC.D,中，BC；丄鳳（?.DC LBC DC LC.CQC丄平面BCC

3、4 議DC丄HC】”7分v B.CDCS交于點（7/. BC.丄平面 B.DC .9 分行）解；正方體ABCD-A.BAD中Sam局BXC2 .L0 分點D到平面BB,Ct的距離等于點D對平面BB.C.C的距離*為丄 12分1斗:匕“g “心=-x2x2 = -分例2 . （2011佛山一中三校聯(lián)考）如圖，已知三棱錐 A BPC中，API PC, AC丄BC,M為AB中點，D為PB中點，且 PMB為正三角形。（I）求證：DM /平面APC;（H）求證：平面 ABC丄平面 APC;（川）若 BC= 4, AB= 20,求三棱錐 DBCM的體積.BC 面 PBCAP BC又 BCAC, AC AP

4、 A BC 面APCBC 面ABC 平面ABC丄平面APC9分10分（川） MD 面PBC , MD是三棱錐M DBC的高，且MD = 5；311分又在直角三角形 PCB中，由PB= 10, BC= 4,可得PC= 2 21于是S BCD?S bcp = 2 21 ,12分13分VD BCMVM DBC14分例3 .解：(1)Q四棱錐S ABCD底面是菱形,BD AC 且 AD=AB ,又 SA=AB=2 , SB SD 2,2.SA2AB2SB2, SA2AD2SD2SAAB,SA AD ,又ABADA,2分SA平面ABCD,BD平面ABCD，從而又SAACA,BD平面SAC。4分SA例3.

5、(茂名2010二模)如圖，在底 面是菱形的四棱錐S ABCD中，SA=AB=2 , SB SD 2.2.(1) 證明：BD 平面SAC;(2) 問：側(cè)棱SD上是否存在點E,使得SB/平面ACE？請證明你的結(jié)論;(3) 若 BAD 1200，求幾何體 A SBD的體積。(2) 在側(cè)棱SD上存在點E,使得SB/平面ACE，其中E為SD的中點 6分證明如下：設(shè)BD AC O，則O為BD的中點， 又E為SD的中點，連接OE,則OE為 SBD的中位線。7分OE /SB，又 OE 平面 AEC, SB 平面 AEC 8 分SB/平面ACE 10分(3)當BAD 1200 時，S abd1 -ABADsin

6、 12001 22亠3 12分222幾何體ASBD的體積為Va SBD1Vs abd S abd SA1 .322 314分333 .點到面的距離一、知識點(求點到面的距離主要方法：)(1) 直接法：由定義作出垂線段并計算，用線面和面面垂直的判定及性質(zhì)來作；(2) 轉(zhuǎn)移法：若直線 AB/平面 ，則直線AB上任意一點到平面的距離相等;(3) 等體積法：用同一個三棱錐選不同底計算體積，再求高，即點到面的距離。、基礎(chǔ)熱身1、在棱長為a的正方體AC!中找出表示下列距離的垂線段直接法:(1) 點A到面BCCi Bi的距離；(2) Bi Di到面ABCD的距離；(3) 點A到面BDDiBi的距離.求C到平

7、面BDC1的距離。 A1C轉(zhuǎn)移法:提示：因為AB/EFAB/平面DEF，所以點B到平面DEF的距離即為點 A到平面DEF的距離。作A HED，證明 AH平面 DEF 。 AH/55棱長為1的正方體ABCD ABCD中，E,F分別是棱AA,BB中點，求點B到平面DEF的距離【活學活用】3、在棱長為1的正方體ABCD ABCD中,E,F分別為棱BB和CD的中點,求點F到平面ADE的距離E提示：法一直接法：將三角形擴大到平行四邊形, 高FH 平面ADGE。取CC的中點G,連接D G、EG,過F作垂線FH丄DG?？梢宰C得EG/ A D ，所以平面 ADGE，即平面A DE?？梢宰C得eg丄平面DCC D

8、 ，所以eg丄FH由 FH 丄 D G、EG 丄 FH, EG A DG = G 可知 FH 丄平面 A DGE所以FH即F到平面AD E距離。2i 25根據(jù)勾股定理可以求得：D G 1 (), D G 4又知： FD G 的面積=s 四邊形 DCCD - s DD F - s DCG - safgc111448FHDG 10法二：轉(zhuǎn)移法:FP/平面 ADE，作 PQA E。等積法求點到面的距離：4. 已知在棱長為1的正方體 ABCD-ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，求點B到平面AEC F 的距離。等積法 Vb aefVf aeb3三、知識運用例1 :如圖四棱錐S ABCD，ABAD

9、, AB/CD,CD3AB，面SAD 面ABCD , M是線段AD上一點，AB AM 1, DM DC,SM AD .(1)證明：BM 面SMC求點C到面SMB的距離。EX1 如圖，在邊長為 a 的菱形 ABCDABC 60 , PC 面ABCD，E,F是 PA 和 AB 的中點。(1) 求證： EF/平面PBC ;PAF(2) 求E到平面PBC的距離。提示：由（1 ）知EF/平面PBC,所以E到平面PBC的距離等于點 F到平面PBC的距離aFH BC , FH即為所求。2例2 :（ 2010江蘇卷）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD , / BCD=90 。求點A到平面PB

10、C的距離。解析（方法一）分別取AB、PC的中點E、F,連DE、DF,則：易證DE/ CB, DE/平面PBC,點D、E到平面PBC的距離相等。 又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC丄平面PCD，所以平面 PBC丄平面PCD于PC,因為PD=DC , PF=FC，所以DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。易知DF=-，故點A到平面PBC的距離等于2。2（方法二）等體積法：連結(jié)AC。設(shè)點A到平面PBC的距離為h。因為 AB / DC, / BCD=90,所以/ ABC=90。從而 AB=2 , BC=1，得 ABC 的面積 S abc 1。由PD丄平面ABCD及

11、PD=1，得三棱錐P-ABC的體積V - S ABC PD -。33因為PD丄平面 ABCD, DC 平面 ABCD，所以PD丄DC。又 PD=DC=1 ,所以 PC PD2 DC2 Z2。由PC丄BC, BC=1，得 PBC的面積S PBC由 VA PBCVP ABC ,3SVPBC故點A到平面PBC的距離等于- 2。EX2: （201廣東文數(shù)）如圖4,弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC 平面BED,FB=、5a（1）證明：EB FD(2)求點B到平面FED的距離.【解析】(1)證明：點B和點C為線段AD的三等

12、分點，點B為圓的圓心又 E是弧AC的中點，AC為直徑， BC EB即BD EB FC 平面 BDE , EB 平面 BDE ,- FC EB又BD 平面FBD , FC 平面FBD且BD FC C EB 平面FBD 又 FD 平面 FBD ,- EB FD(2)解：設(shè)點B到平面FED的距離(即三棱錐 B FED的高)為h. FC 平面 BDE , FC是三棱錐F-BDE的高，且三角形FBC為直角三角形由已知可得BC a,又FB和5a FC(5a)2a2 2a在 Rt BDE 中，BD2a, BEa ,故 S BDE1 2a a22a ,1“ 12C23- vf BDE S BDEFC -a2a

13、a ,333又 EB 平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE為直角三角形4. 21a ,21- EF6a, DE 5a，在 Rt FCD 中，F(xiàn)D 5a , S FEDVF BDEVB fed 即 1 竺 a2 h 2a3，故 h3231、備用題:即點B到平面FED的距離為h4.21a.213、如圖幾何體是由正方體點，且 EC=CCi，AB=2，M為EB的中點，求點M到平面ACDi的距離.底面 ABCD, PD=DC=BC=1 , AB=2 , AB |CD, ABC=90。，求點 D 至U平面 PAB 的距離.2、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA 底面ABCD,AB= ,6 ,分別求點C與點D到平面PAB的距離.ABCD-AiBiCiDi與四棱錐E-A1B1C1D1組成，E為CG的延長線上平面BCD，AB平面BCD，4、如圖 BCD與 MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCDC 圖5(3)求點0到平面PAC的距離.c是Ab的中點，d為ac的5、圓錐PO如圖5所示，圖6是它的正 住)視圖.已知圓0的直徑為AB， 中占I 八、(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)證明：AC 平面POD ;6、如圖，ABCD是邊長為4的正方