平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1、優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示上海曹楊二中 桂思銘一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本課時內(nèi)容包含“平面向量基本定理”及平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示”此前的教學(xué)內(nèi)容由實(shí)際問題引入向量概念，研究了向量的線性運(yùn)算，集中反映了向量的幾 何特征，而本課時之后的內(nèi)容主要是研究向量的坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算，并運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決問題，更多的是向量的代數(shù)形態(tài)，本節(jié)內(nèi)容從前面的知識中得出平面向量基本定理，并以此為基礎(chǔ)定義向量的坐標(biāo)，所以本節(jié)內(nèi)容是向量中承前啟后的內(nèi)容作為一種數(shù)學(xué)工具，在中學(xué)數(shù)學(xué)中向量的優(yōu)勢更多地體現(xiàn)在溝通幾何與代數(shù)，并將幾何及其它的一些問題通過代數(shù)運(yùn)算來研究，這樣一個思辨的過程變?yōu)?/p>

2、了一種程序化的操作過程向量基本定理實(shí)際上是建立向量坐標(biāo)的一個邏輯基礎(chǔ)，因?yàn)橹挥写_定了任意 一個向量在兩個不共線的基底上能進(jìn)行唯一分解建立坐標(biāo)系才有了依據(jù)，同時，只有正確地構(gòu)建向量的坐標(biāo)才能有向量的坐標(biāo)運(yùn)算.向量基本定理的研究綜合了前面的向量知識，同時又為后繼的內(nèi)容作了奠基，這就決定了本課內(nèi)容在向量知識體系中的核心地位就學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言， 這一內(nèi)容也是體會數(shù)學(xué)化的一個很好的過程，它充分地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，(實(shí)際上也有教材是不出現(xiàn)向量基本定理直接進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算的，教材安排它的作用可能更多地在于體現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的完備性)它有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的方式和方法，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思

3、考和數(shù)學(xué)的說理.所以它在學(xué)生的學(xué)習(xí)上也具有十分重要的地位 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.理解平面向量的基本定理，具體要求為：(1) 運(yùn)用已有的向量知識研究平面向量的基本定理，經(jīng)歷給定的向量在一組基底上唯一分解的過程；(2) 體驗(yàn)在解決問題過程中選擇適當(dāng)?shù)幕讕淼谋憬?，幫助理解基底的作用?3) 將向量的“唯一分解”與實(shí)數(shù)對的“一一對應(yīng)”建立聯(lián)系，指出這樣的對應(yīng)奠定了向量建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，體會數(shù)學(xué)中的問題轉(zhuǎn)化，及定理的深刻涵義2理解向量坐標(biāo)的定義，并能用坐標(biāo)表示坐標(biāo)平面上的向量，具體要求為：(1)結(jié)合學(xué)生在物理中已有的認(rèn)知，來進(jìn)一步從數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)正交分解及其意義；(2)結(jié)合向量及平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)基

4、礎(chǔ)正確把握坐標(biāo)向量的幾何意義3.反思向量坐標(biāo)的建立過程，體會平面向量坐標(biāo)建立的過程及平面向量基本定理的作用和意義.三、教學(xué)問題診斷分析前面學(xué)生已經(jīng)掌握了平面向量的線性運(yùn)算，本節(jié)課的目的是要幫助學(xué)生建立向量的坐標(biāo).這中間實(shí)際上有兩個問題，先是運(yùn)用已有的知識去研究一個問題(向量的基本定理)，然后以這個定理為基礎(chǔ)建立一個新的研究體系(建立平面向量的坐標(biāo))本節(jié)的內(nèi)容是圍繞向量在兩個基底上的唯一分解展開的，對于基底的認(rèn)識和理解是學(xué)生在學(xué)習(xí)中已在運(yùn)用的，在物理中已有了將力、速度(向量)進(jìn)行分解合成的經(jīng)驗(yàn)，在 前面的向量學(xué)習(xí)中已有向量線性運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，只是沒有專門提出而已，所以引入基底這一概念應(yīng)該是比較自然的

5、，但相當(dāng)一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)中只是依樣畫葫蘆，并不清楚引入基 底這個概念的意義，當(dāng)然更不能很好地選擇、運(yùn)用基底進(jìn)行運(yùn)算求解，有了平面向量基本定理教師可以運(yùn)用定理說理，讓學(xué)生理解基底的作用及意義.所以在這一點(diǎn)上教師應(yīng)注意 在教學(xué)中進(jìn)行設(shè)計引導(dǎo).對于平面向量的基本定理，有些學(xué)生只是從形式上加以記憶，缺乏對問題本質(zhì)的理解，從卷面上看學(xué)生可能不會有什么大的問題，但學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解肯定會產(chǎn)生影響，所以在這一內(nèi)容的教學(xué)中教師要不斷地幫助學(xué)生進(jìn)行反思，通過對教學(xué)過程的反思來幫助學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，這也是改善學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的一個途徑，這一過程是隱性的、長期的，但這也是必須的.學(xué)生在向量的學(xué)習(xí)中

6、存在的一個困難是學(xué)生在理解始點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示時會出現(xiàn)障礙，其原因是在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，到了向量時，向量的坐標(biāo)只是和從原點(diǎn)出發(fā)的向量一一對應(yīng)，但只要結(jié)合向量相等的條件學(xué)生應(yīng)該容易克服這一難點(diǎn)，不過值得注意的是在后面學(xué)生用向量求點(diǎn)的坐標(biāo)時還會產(chǎn)生問題，如已知了 .丨；向量及點(diǎn)的坐標(biāo)求點(diǎn)J的坐標(biāo)，有些學(xué)生還會發(fā)生錯誤，這時還必須結(jié)合圖形及向量的坐標(biāo)幫助學(xué)生進(jìn)行理解，必須使學(xué)生在這種特定的場合中明白：要求點(diǎn)的坐標(biāo)就是要求向量的坐標(biāo)同樣一個問題也需要學(xué)生從不同的側(cè)面來幫助理解四、教學(xué)支持條件分析這里對于平面向量基本定理的研究，并不是嚴(yán)格的證明，為了能便于說明問題建議通過

7、教育技術(shù)的運(yùn)用來幫助學(xué)生理解，這一過程最好能在教學(xué)中有充分地展現(xiàn)，這也是關(guān)注 教學(xué)過程，幫助學(xué)生養(yǎng)成動手動腦的習(xí)慣另外現(xiàn)在的許多軟件具有很強(qiáng)的交互性，所以在教學(xué)中可以充分地運(yùn)用技術(shù)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)富有樂趣，同時又可以通過不同的方式來刺激學(xué)生，幫助學(xué)生迅速地掌握教學(xué)內(nèi)容五、教學(xué)過程設(shè)計1平面向量基本定理問題1我們看習(xí)題2.2（A組）12題：中一二，且與邊工 相交于點(diǎn)的中線上與DE 相交于點(diǎn)J，設(shè)-AB q，AC二b，用表示向量555555類似的，用兩個不共線的向量來表示其它向量的問題在例題和習(xí)題中還有多處從這些題目中我們不難發(fā)現(xiàn)，圖中所有的向量都可用向量L來表示，那么自然地會問這樣一個問題：平面內(nèi)

8、的任意一個向量是否都能用類似12題的方法，用給定的兩個不共線的向量來表示呢？說明學(xué)生會通過作圖來說明這一問題，在解決問題時可能要提醒學(xué)生，這里的向量是 自由向量，其始點(diǎn)是可以移動的，所以在用紙筆作圖時，將三個向量的起點(diǎn)放在一起可便于 研究問題教師可循著學(xué)生的思路通過計算機(jī)作圖來幫助其他學(xué)生認(rèn)清這個問題問題2.從前面的研究中我們發(fā)現(xiàn)任意一個平面向量都可以用兩個不共線的向量表-f* *-r -* h示,那么對于給定的向量及向量I，I，若要將用一，表示其形式是怎樣的？說明通過電腦作圖讓學(xué)生體會.可能與，1中的一個共線，也可能與，I都不共線，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論一1教師也可以通過在電腦作圖來展示不同的、所

9、作出的向量-t .事實(shí)上在物理上也常有將一個力分解成若干個力，將幾個力合成為一個力 V.可以看作是力的分解合的成向量表示形式.從前面的研究及力的分解合成的經(jīng)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)：向量- -1 L.，中的，二是唯一確定的.由此我們有定理：平面向量基本定理如果二，二是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量丄，有且只有一對實(shí)數(shù)；，二使-1 我們把不共線的向量 ，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(base).例1已知向量U求作向量 I j .說明教師可用電腦作圖，演示結(jié)果.實(shí)際上前面已經(jīng)在不自覺地利用基底解題，如我們在計算力，與速度問題時，常進(jìn)行分解合成，目的也是將問題集中到兩個向量 （基

10、底）上來處理前面的習(xí)題中我們已經(jīng)做了許多有關(guān)向量的加法、減法、數(shù)乘，由向量基本定理，我們就可以將一個問題中的若干向量集中到兩個向量上，這樣就方便了我們的計算問題3已知平行四邊形_i一中亠、：是對角線上的兩點(diǎn)，且曲=FC - AC4，試用向量方法證明四邊形 DSBF也是平行四邊形分析 由平面向量的基本疋理可知向量 FB 及豆 用一組基底來唯一表示，要證明四 邊形是平行四邊形，只要證明用相同的基底表示出來的向量及匚二是相同的即可.（分析很重要，突出向量基本定理及基底的作用 ，使學(xué)生對問題的認(rèn)識在原有的基礎(chǔ) 上更深入一步）H H .1 K +13 *DEAE-AD=-AC-a = -b-a444HI

11、3a 1 亠? *FBAB-AF = b-AC-b-a所以丄二，四邊形丄為平行四邊形 不共線的向量存在夾角，關(guān)于向量的夾角，我們規(guī)定：已知兩個非零向量作-二，匸-】，則一：（22二/）叫做向量J的夾角.當(dāng)二時，一:與 同向；當(dāng) 0二1虻 時，二與，反向.如果二與，的夾角是 :/我們說二與 垂直，記作用光滑斜面上木塊的受力為例說明正交分解.這個問題學(xué)生相對是比較熟悉的可比較快地通過，也可以讓學(xué)生說說在物理中正交分解的優(yōu)越性.2.平面向量的坐標(biāo)表示請學(xué)生結(jié)合向量基本定理及正交分解，思考平面內(nèi)的任一向量是否都可以用 :.軸和軸上的單位向量來表示.在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，請學(xué)生做下面的練習(xí).問題4設(shè)軸和.

12、軸上且方向與軸的正方向同向的單位向量分別用向量.和一來表示.試用：和來表示圖中的向量=0P-2jAB = 2i-3j, CZ5 = 3+2;,麗二0R-h2j.說明這里想讓學(xué)生體會：，的系數(shù)得出的有序數(shù)對與向量間的對應(yīng)關(guān)系.千*問題5結(jié)合上面的練習(xí)研究下面的問題 ，如果將：、一的系數(shù)組成一個有序數(shù)對S） ，那么平面上的任意一個向量與數(shù)對（“）之間有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一個向量就有唯一確定的一個數(shù)對；反過來，一個數(shù)對對應(yīng)著無窮多個向量，但這些向量都是相等的（這在后面向量的坐標(biāo)上要讓學(xué)生進(jìn)一步有所認(rèn)識，知道坐標(biāo)對應(yīng)的向量的圖形只是從原點(diǎn)出發(fā)的向量，但其他與它相等的向量都是由這個坐標(biāo)表示.）

13、問題6結(jié)合上面的研究請學(xué)生自己定義向量的坐標(biāo)（教師可結(jié)合教科書上的定義來點(diǎn)評學(xué)生自己的定義這是為了培養(yǎng)學(xué)生理解和歸納能力，經(jīng)常有類似的訓(xùn)練有助于提高學(xué)生的能力如圖，在直角坐標(biāo)系中，分別與軸、：軸方向相同的兩個單位向量.、作為基底對于平面上的一個向量一：，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)、：，使得a = xi+yj這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由：、：唯一確定,我們把有序數(shù)對1叫做向量一：的坐標(biāo)，記作其中：叫做“在：軸上的坐標(biāo)，；叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)例2寫出例2中各個向量的坐標(biāo)練習(xí) P113.3.六、目標(biāo)檢測設(shè)計1已知 二(-4*)巫二； ，且點(diǎn)的坐標(biāo)為 (一 3 廠4)，求點(diǎn)

14、_的坐標(biāo).說明通過這個練習(xí)希望學(xué)生能正確地認(rèn)識向量坐標(biāo)的意義，在解答中可結(jié)合向量作圖使學(xué)生明確我們要求點(diǎn) +丄的坐標(biāo)就是要求向量一-的坐標(biāo)，而一 1 一；.這里是要學(xué)生明確向量的坐標(biāo)與坐標(biāo)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系用平面向量基本定理來解決有關(guān)三角形中點(diǎn)問題.這個問題主要讓學(xué)生體會解題過程，認(rèn)識平面向量基本定理的作用 ，所以教師可自己分析，展示解題過程，學(xué)生可在回家作業(yè)中進(jìn)行練習(xí)鞏固AG_2已知三角形中，是重心，用向量方法求二的值請?zhí)羁詹⒄f明本題的解題思路麗二丄G+Z）解設(shè)-，而J，所以丄竺二“ BEb-c又設(shè)匚二 ，而二，(- )Q 砂.( -)由平面向量基本定理得口與a 的方程組為.（ L 口二幾）2 A=解方程組得人=.（3）AG 2所以，二 -.說明希望學(xué)生能知道本題的解題思路是，對向量二C在基底廠上進(jìn)行分解，由于不同的參數(shù)可得出不同的分解形式由平面向量基本定理分解的唯一可得出兩個方程組，通過解方程便能得出結(jié)果本題的目的是幫助學(xué)生理解基底和平面向量基本定理.3請回顧本堂課的教學(xué)過程，你能