平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1、優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示上海曹楊二中 桂思銘一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本課時(shí)內(nèi)容包含“平面向量基本定理”及平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示”此前的教學(xué)內(nèi)容由實(shí)際問(wèn)題引入向量概念，研究了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，集中反映了向量的幾 何特征，而本課時(shí)之后的內(nèi)容主要是研究向量的坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算，并運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，更多的是向量的代數(shù)形態(tài)，本節(jié)內(nèi)容從前面的知識(shí)中得出平面向量基本定理，并以此為基礎(chǔ)定義向量的坐標(biāo)，所以本節(jié)內(nèi)容是向量中承前啟后的內(nèi)容作為一種數(shù)學(xué)工具，在中學(xué)數(shù)學(xué)中向量的優(yōu)勢(shì)更多地體現(xiàn)在溝通幾何與代數(shù)，并將幾何及其它的一些問(wèn)題通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)研究，這樣一個(gè)思辨的過(guò)程變?yōu)?/p>

2、了一種程序化的操作過(guò)程向量基本定理實(shí)際上是建立向量坐標(biāo)的一個(gè)邏輯基礎(chǔ)，因?yàn)橹挥写_定了任意 一個(gè)向量在兩個(gè)不共線(xiàn)的基底上能進(jìn)行唯一分解建立坐標(biāo)系才有了依據(jù)，同時(shí)，只有正確地構(gòu)建向量的坐標(biāo)才能有向量的坐標(biāo)運(yùn)算.向量基本定理的研究綜合了前面的向量知識(shí)，同時(shí)又為后繼的內(nèi)容作了奠基，這就決定了本課內(nèi)容在向量知識(shí)體系中的核心地位就學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言， 這一內(nèi)容也是體會(huì)數(shù)學(xué)化的一個(gè)很好的過(guò)程，它充分地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，(實(shí)際上也有教材是不出現(xiàn)向量基本定理直接進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算的，教材安排它的作用可能更多地在于體現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的完備性)它有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的方式和方法，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思

3、考和數(shù)學(xué)的說(shuō)理.所以它在學(xué)生的學(xué)習(xí)上也具有十分重要的地位 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.理解平面向量的基本定理，具體要求為：(1) 運(yùn)用已有的向量知識(shí)研究平面向量的基本定理，經(jīng)歷給定的向量在一組基底上唯一分解的過(guò)程；(2) 體驗(yàn)在解決問(wèn)題過(guò)程中選擇適當(dāng)?shù)幕讕?lái)的便捷，幫助理解基底的作用；(3) 將向量的“唯一分解”與實(shí)數(shù)對(duì)的“一一對(duì)應(yīng)”建立聯(lián)系，指出這樣的對(duì)應(yīng)奠定了向量建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，體會(huì)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，及定理的深刻涵義2理解向量坐標(biāo)的定義，并能用坐標(biāo)表示坐標(biāo)平面上的向量，具體要求為：(1)結(jié)合學(xué)生在物理中已有的認(rèn)知，來(lái)進(jìn)一步從數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)正交分解及其意義；(2)結(jié)合向量及平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)基

4、礎(chǔ)正確把握坐標(biāo)向量的幾何意義3.反思向量坐標(biāo)的建立過(guò)程，體會(huì)平面向量坐標(biāo)建立的過(guò)程及平面向量基本定理的作用和意義.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析前面學(xué)生已經(jīng)掌握了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，本節(jié)課的目的是要幫助學(xué)生建立向量的坐標(biāo).這中間實(shí)際上有兩個(gè)問(wèn)題，先是運(yùn)用已有的知識(shí)去研究一個(gè)問(wèn)題(向量的基本定理)，然后以這個(gè)定理為基礎(chǔ)建立一個(gè)新的研究體系(建立平面向量的坐標(biāo))本節(jié)的內(nèi)容是圍繞向量在兩個(gè)基底上的唯一分解展開(kāi)的，對(duì)于基底的認(rèn)識(shí)和理解是學(xué)生在學(xué)習(xí)中已在運(yùn)用的，在物理中已有了將力、速度(向量)進(jìn)行分解合成的經(jīng)驗(yàn)，在 前面的向量學(xué)習(xí)中已有向量線(xiàn)性運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，只是沒(méi)有專(zhuān)門(mén)提出而已，所以引入基底這一概念應(yīng)該是比較自然的

5、，但相當(dāng)一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)中只是依樣畫(huà)葫蘆，并不清楚引入基 底這個(gè)概念的意義，當(dāng)然更不能很好地選擇、運(yùn)用基底進(jìn)行運(yùn)算求解，有了平面向量基本定理教師可以運(yùn)用定理說(shuō)理，讓學(xué)生理解基底的作用及意義.所以在這一點(diǎn)上教師應(yīng)注意 在教學(xué)中進(jìn)行設(shè)計(jì)引導(dǎo).對(duì)于平面向量的基本定理，有些學(xué)生只是從形式上加以記憶，缺乏對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，從卷面上看學(xué)生可能不會(huì)有什么大的問(wèn)題，但學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解肯定會(huì)產(chǎn)生影響，所以在這一內(nèi)容的教學(xué)中教師要不斷地幫助學(xué)生進(jìn)行反思，通過(guò)對(duì)教學(xué)過(guò)程的反思來(lái)幫助學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，這也是改善學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的一個(gè)途徑，這一過(guò)程是隱性的、長(zhǎng)期的，但這也是必須的.學(xué)生在向量的學(xué)習(xí)中

6、存在的一個(gè)困難是學(xué)生在理解始點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示時(shí)會(huì)出現(xiàn)障礙，其原因是在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，到了向量時(shí)，向量的坐標(biāo)只是和從原點(diǎn)出發(fā)的向量一一對(duì)應(yīng)，但只要結(jié)合向量相等的條件學(xué)生應(yīng)該容易克服這一難點(diǎn)，不過(guò)值得注意的是在后面學(xué)生用向量求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)還會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題，如已知了 .丨；向量及點(diǎn)的坐標(biāo)求點(diǎn)J的坐標(biāo)，有些學(xué)生還會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，這時(shí)還必須結(jié)合圖形及向量的坐標(biāo)幫助學(xué)生進(jìn)行理解，必須使學(xué)生在這種特定的場(chǎng)合中明白：要求點(diǎn)的坐標(biāo)就是要求向量的坐標(biāo)同樣一個(gè)問(wèn)題也需要學(xué)生從不同的側(cè)面來(lái)幫助理解四、教學(xué)支持條件分析這里對(duì)于平面向量基本定理的研究，并不是嚴(yán)格的證明，為了能便于說(shuō)明問(wèn)題建議通過(guò)

7、教育技術(shù)的運(yùn)用來(lái)幫助學(xué)生理解，這一過(guò)程最好能在教學(xué)中有充分地展現(xiàn)，這也是關(guān)注 教學(xué)過(guò)程，幫助學(xué)生養(yǎng)成動(dòng)手動(dòng)腦的習(xí)慣另外現(xiàn)在的許多軟件具有很強(qiáng)的交互性，所以在教學(xué)中可以充分地運(yùn)用技術(shù)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)富有樂(lè)趣，同時(shí)又可以通過(guò)不同的方式來(lái)刺激學(xué)生，幫助學(xué)生迅速地掌握教學(xué)內(nèi)容五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1平面向量基本定理問(wèn)題1我們看習(xí)題2.2（A組）12題：中一二，且與邊工 相交于點(diǎn)的中線(xiàn)上與DE 相交于點(diǎn)J，設(shè)-AB q，AC二b，用表示向量555555類(lèi)似的，用兩個(gè)不共線(xiàn)的向量來(lái)表示其它向量的問(wèn)題在例題和習(xí)題中還有多處從這些題目中我們不難發(fā)現(xiàn)，圖中所有的向量都可用向量L來(lái)表示，那么自然地會(huì)問(wèn)這樣一個(gè)問(wèn)題：平面內(nèi)

8、的任意一個(gè)向量是否都能用類(lèi)似12題的方法，用給定的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量來(lái)表示呢？說(shuō)明學(xué)生會(huì)通過(guò)作圖來(lái)說(shuō)明這一問(wèn)題，在解決問(wèn)題時(shí)可能要提醒學(xué)生，這里的向量是 自由向量，其始點(diǎn)是可以移動(dòng)的，所以在用紙筆作圖時(shí)，將三個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起可便于 研究問(wèn)題教師可循著學(xué)生的思路通過(guò)計(jì)算機(jī)作圖來(lái)幫助其他學(xué)生認(rèn)清這個(gè)問(wèn)題問(wèn)題2.從前面的研究中我們發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)平面向量都可以用兩個(gè)不共線(xiàn)的向量表-f* *-r -* h示,那么對(duì)于給定的向量及向量I，I，若要將用一，表示其形式是怎樣的？說(shuō)明通過(guò)電腦作圖讓學(xué)生體會(huì).可能與，1中的一個(gè)共線(xiàn)，也可能與，I都不共線(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論一1教師也可以通過(guò)在電腦作圖來(lái)展示不同的、所

9、作出的向量-t .事實(shí)上在物理上也常有將一個(gè)力分解成若干個(gè)力，將幾個(gè)力合成為一個(gè)力 V.可以看作是力的分解合的成向量表示形式.從前面的研究及力的分解合成的經(jīng)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)：向量- -1 L.，中的，二是唯一確定的.由此我們有定理：平面向量基本定理如果二，二是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量丄，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)；，二使-1 我們把不共線(xiàn)的向量 ，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(base).例1已知向量U求作向量 I j .說(shuō)明教師可用電腦作圖，演示結(jié)果.實(shí)際上前面已經(jīng)在不自覺(jué)地利用基底解題，如我們?cè)谟?jì)算力，與速度問(wèn)題時(shí)，常進(jìn)行分解合成，目的也是將問(wèn)題集中到兩個(gè)向量 （基

10、底）上來(lái)處理前面的習(xí)題中我們已經(jīng)做了許多有關(guān)向量的加法、減法、數(shù)乘，由向量基本定理，我們就可以將一個(gè)問(wèn)題中的若干向量集中到兩個(gè)向量上，這樣就方便了我們的計(jì)算問(wèn)題3已知平行四邊形_i一中亠、：是對(duì)角線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且曲=FC - AC4，試用向量方法證明四邊形 DSBF也是平行四邊形分析 由平面向量的基本疋理可知向量 FB 及豆 用一組基底來(lái)唯一表示，要證明四 邊形是平行四邊形，只要證明用相同的基底表示出來(lái)的向量及匚二是相同的即可.（分析很重要，突出向量基本定理及基底的作用 ，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)在原有的基礎(chǔ) 上更深入一步）H H .1 K +13 *DEAE-AD=-AC-a = -b-a444HI

11、3a 1 亠? *FBAB-AF = b-AC-b-a所以丄二，四邊形丄為平行四邊形 不共線(xiàn)的向量存在夾角，關(guān)于向量的夾角，我們規(guī)定：已知兩個(gè)非零向量作-二，匸-】，則一：（22二/）叫做向量J的夾角.當(dāng)二時(shí)，一:與 同向；當(dāng) 0二1虻 時(shí)，二與，反向.如果二與，的夾角是 :/我們說(shuō)二與 垂直，記作用光滑斜面上木塊的受力為例說(shuō)明正交分解.這個(gè)問(wèn)題學(xué)生相對(duì)是比較熟悉的可比較快地通過(guò)，也可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)在物理中正交分解的優(yōu)越性.2.平面向量的坐標(biāo)表示請(qǐng)學(xué)生結(jié)合向量基本定理及正交分解，思考平面內(nèi)的任一向量是否都可以用 :.軸和軸上的單位向量來(lái)表示.在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生做下面的練習(xí).問(wèn)題4設(shè)軸和.

12、軸上且方向與軸的正方向同向的單位向量分別用向量.和一來(lái)表示.試用：和來(lái)表示圖中的向量=0P-2jAB = 2i-3j, CZ5 = 3+2;,麗二0R-h2j.說(shuō)明這里想讓學(xué)生體會(huì)：，的系數(shù)得出的有序數(shù)對(duì)與向量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.千*問(wèn)題5結(jié)合上面的練習(xí)研究下面的問(wèn)題 ，如果將：、一的系數(shù)組成一個(gè)有序數(shù)對(duì)S） ，那么平面上的任意一個(gè)向量與數(shù)對(duì)（“）之間有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一個(gè)向量就有唯一確定的一個(gè)數(shù)對(duì)；反過(guò)來(lái)，一個(gè)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)著無(wú)窮多個(gè)向量，但這些向量都是相等的（這在后面向量的坐標(biāo)上要讓學(xué)生進(jìn)一步有所認(rèn)識(shí)，知道坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的向量的圖形只是從原點(diǎn)出發(fā)的向量，但其他與它相等的向量都是由這個(gè)坐標(biāo)表示.）

13、問(wèn)題6結(jié)合上面的研究請(qǐng)學(xué)生自己定義向量的坐標(biāo)（教師可結(jié)合教科書(shū)上的定義來(lái)點(diǎn)評(píng)學(xué)生自己的定義這是為了培養(yǎng)學(xué)生理解和歸納能力，經(jīng)常有類(lèi)似的訓(xùn)練有助于提高學(xué)生的能力如圖，在直角坐標(biāo)系中，分別與軸、：軸方向相同的兩個(gè)單位向量.、作為基底對(duì)于平面上的一個(gè)向量一：，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、：，使得a = xi+yj這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由：、：唯一確定,我們把有序數(shù)對(duì)1叫做向量一：的坐標(biāo)，記作其中：叫做“在：軸上的坐標(biāo)，；叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)例2寫(xiě)出例2中各個(gè)向量的坐標(biāo)練習(xí) P113.3.六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1已知 二(-4*)巫二； ，且點(diǎn)的坐標(biāo)為 (一 3 廠(chǎng)4)，求點(diǎn)

14、_的坐標(biāo).說(shuō)明通過(guò)這個(gè)練習(xí)希望學(xué)生能正確地認(rèn)識(shí)向量坐標(biāo)的意義，在解答中可結(jié)合向量作圖使學(xué)生明確我們要求點(diǎn) +丄的坐標(biāo)就是要求向量一-的坐標(biāo)，而一 1 一；.這里是要學(xué)生明確向量的坐標(biāo)與坐標(biāo)平面中的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系用平面向量基本定理來(lái)解決有關(guān)三角形中點(diǎn)問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題主要讓學(xué)生體會(huì)解題過(guò)程，認(rèn)識(shí)平面向量基本定理的作用 ，所以教師可自己分析，展示解題過(guò)程，學(xué)生可在回家作業(yè)中進(jìn)行練習(xí)鞏固AG_2已知三角形中，是重心，用向量方法求二的值請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f(shuō)明本題的解題思路麗二丄G+Z）解設(shè)-，而J，所以丄竺二“ BEb-c又設(shè)匚二 ，而二，(- )Q 砂.( -)由平面向量基本定理得口與a 的方程組為.（ L 口二幾）2 A=解方程組得人=.（3）AG 2所以，二 -.說(shuō)明希望學(xué)生能知道本題的解題思路是，對(duì)向量二C在基底廠(chǎng)上進(jìn)行分解，由于不同的參數(shù)可得出不同的分解形式由平面向量基本定理分解的唯一可得出兩個(gè)方程組，通過(guò)解方程便能得出結(jié)果本題的目的是幫助學(xué)生理解基底和平面向量基本定理.3請(qǐng)回顧本堂課的教學(xué)過(guò)程，你能