2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.4.3第2課時正弦定理鞏固練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

1、6.4.3余弦定理、正弦定理第2課時正弦定理課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.在ABC中,一定成立的等式是()A.asin A=bsin BB.acos A=bcos BC.asin B=bsin AD.acos B=bcos A解析:由正弦定理可得asinA=bsinB,asinB=bsinA.答案:C2.在ABC中,已知AB=2AC,B=30,則C=()A.45B.15C.45或135D.15或105解析:AB=2AC,由正弦定理得sinCsinB=2,又B=30,sinC=22,ABAC,C=45或C=135.答案:C3.在ABC中,A=60,B=75,b=23+2,則ABC中最小的邊長為()

2、A.2B.4C.6+2D.6-2解析:C=180-A-B=45,由三角形的邊角關(guān)系可知最小的邊長為c,由正弦定理得csinC=bsinB,c=bsinCsinB=(23+2)22sin(45+30)=6+22232+2212=4.答案:B4.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=5,c=2,cos A=23,則b=()A.2B.3C.2D.3解析:由cosA=23得sinA=53,由正弦定理得sinC=csinAa=2535=23.由ac得AC,cosC=53.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=1,b=3.答案:D5.在ABC中,AB=6,A=75

3、,B=45,則AC=.解析:由正弦定理可知,ABsin180-(75+45)=ACsin456sin60=ACsin45AC=2.答案:26.已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是45,60,它們所夾的邊的長為1,那么這個三角形最小的邊長為.解析:不妨設(shè)A=45,B=60,則AB=1,C=180-45-60=75.ABC,BCACAB.由正弦定理ABsinC=BCsinA得BC=ABsinAsinC=1sin45sin(45+60)=222212+2232=3-1.這個三角形最小的邊長為3-1.答案:3-17.在ABC中,若B=2A,ab=13,則A=.解析:B=2A,sinB=sin2A,sinB=

4、2sinAcosA,sinAsinB=12cosA.由正弦定理,得ab=sinAsinB=13,12cosA=13,cosA=32.又0A0),則有4k+5k+6k=152,k=12.故三邊長分別為2,52,3.9.在ABC中,已知a=2,b=2,A=30,解此三角形.解:由asinA=bsinB,得sinB=bsinAa=2sin302=22.0B0,A為銳角,sinA=1-cos2A=1-19=223,則有tanA=sinAcosA=22313=22.答案:C5.在單位圓上有三點A,B,C,設(shè)ABC的三邊長分別為a,b,c,則asinA+b2sinB+2csinC=.解析:由正弦定理,得a

5、sinA=2R=2,b2sinB=R=1,2csinC=4R=4,故asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.答案:76.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=.解析:2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,2sinBcosB=sin(A+C)=sin(-B)=sinB.又sinB0,cosB=12.又0B,B=3.答案:37.在ABC中,B=60,2b=a+c,試判斷ABC的形狀.解:2b=a+c,B=60,由正弦定理得2sinB=sinA+sinC

6、.由A+C=120知C=120-A.3=sinA+sin(120-A)=sinA+32cosA+12sinA=32sinA+32cosA=3sin(A+30).sin(A+30)=1.A=60,C=60.ABC為等邊三角形.8.已知ABC為銳角三角形,角A,B,C分別對應(yīng)邊a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范圍.解:設(shè)R為ABC外接圓的半徑.a=2bsinA,2RsinA=4RsinBsinA.sinA0,sinB=12.B為銳角,B=6.令y=cosA+sinC=cosA+sin-(B+A)=cosA+sin6+A=cosA+sin6cosA+cos6sinA=32cosA+3