(完整版)解三角形單元測試題及答案

1、第一章解三角形正弦定理：1正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且都等于外接圓的直徑,a即 sin Abc2Rsin Bsin Cab c2變形：1）sinsinsin C（其中R是三角形外接圓的半徑）a b csinsinsinC .102）化邊為角：a :b: csin A:sin B :sin C ；asin Absin Basin Absin B csin CJcsin C ）化邊為角：a2Rsin A, b2Rsin B,c 2Rsin Csin Aasin Bb si nA a4）化角為邊：sin BJbsin CJJc sin C cabcsin Asin B

2、,sin C -5）化角為邊：2R2R2R.三角形面積111S abcabsinC-bcsi nA 一acsin B222三余弦定理1余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦 的積的2倍，即a2 b2 c2 2bccosA2 2 2b a c 2ac cos B2 2 2cab 2abcosC,2 2 2cos A2變形：cosBb c a2bc2 2 . 2a c b2ac2 , 2 2cosCa b c2ab注意整體代入，如:a2 c2 b2accosB 12利用余弦定理判斷三角形形狀:設a、b、c是 C的角、C的對邊，則:A 4護 n 屮 O cos

3、j4 = “ Z 0 o j4 u 90若,2bc，所以/為銳角若c2 b2 a2 A為直角c1a2匚os-若90.，所以上為鈍角，貝卩一上是鈍角三角形三角形中常見的結論三角形三角關系：A+B+C=180 ; C=180 (A+B);三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊:兩邊之差小于第三邊:a c b二-：在同一個三角形中大邊對大角:sin Asin B4)三角形內的誘導公式:sin(A B) sinC, cos(AB)cosC, tan (AB)tan C,sm二 intan tan(-2 2cos= cos2c=sin 7)三角形的五心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點重心一一三角形三條中線

4、的相交于一點外心三角形三邊垂直平分線相交于一點內心三角形三內角的平分線相交于一點旁心三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點解三角形一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）nD.31 .在 ABC中，a = 2, b=3, c= 1,則最小角為（）nnnA.正B.6C.42. A ABC的三內角 A、B、C所對邊的長分別是 a、b、c,設向量p= （a+ c, b）, q = （b a, c-a）,若p/ q,則角C的大小為（）nnn2 na.6B3Dp3. 在 ABC中，已知 |AB| = 4,|AC|=1,Ssbc =3,則 AB AC等于（）A. 2B. 2C.

5、4D .戈4. A ABC 的內角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,若 c=J2, b = Q6, B = 120 貝U a 等于（）A. . 6B. 2C. .3D. 25. 在 ABC 中，A = 120 AB= 5, BC= 7,則的值為（）sin Cfl 8m 5B.8C.36. 已知銳角三角形的邊長分別為A. 1x , 57. 在 ABC 中，2邁A .d.32,4, x, B. 5x 13 C.a = 15, b= 10, A= 602 2B丁 C則x的取值范圍是1x2,5 則cos B等于（3（ ）D . 2 3x2 一 5 ）”叮6DEC. A ABC 中，D. ABC

6、中，9.在 ABC 中，B = 30.3A. 410 .在 ABC 中,A. . 3B. 1nBC = 2 , B= 3 ,若厶ABC的面積為則tan C為（C.D.&下列判斷中正確的是 （）A . ABC 中，a= 7, b= 14, A = 30 有兩解B. ABC 中，a = 30, b= 25, A= 150 有一解a = 6, b= 9, A= 45 有兩解b= 9, c= 10, B= 60 無解 AB = 3, AC = 1,則厶ABC的面積是（）B2C. .3或于D.-或11. 在 ABC 中，如果 sin As in B + sin Acos B + cos Asin B +

7、 cos Acos B = 2,則厶 ABC 是（ ）A .等邊三角形B .鈍角三角形 C .等腰直角三角形D .直角三角形12. A ABC 中，若 a4+ b4+ c4= 2c2（a2 + b2）,則角 C 的度數是（）A. 60 B . 45?；?135 C. 120 D. 30 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）, 亠 sin A cos B Urt 13. 在 ABC中，若=，則B=14. 在厶ABC中，A = 60 AB= 5, BC= 7,則厶ABC的面積為 .15. 一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔 P的南偏西75。距塔64海里的M處，下午2時到達這

8、座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 海里/小時.16 .在 ABC中，角A、B、C所對的邊分別為 a、b、c.若（3b c）cos A = acos C,則 cos A=.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17. 在厶 ABC 中，角 A、B、C 的對邊是 a、b、c,已知 3acosA = ccosB + bcosC求cosA的值;(2)若 a= 1,cosB + cosC =求邊c的值.c, a= 2bsin A.18. (12分)設銳角三角形 ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、(1)求B的大小.若 a = 3：3, c= 5,求 b.119. 已知 ABC的角 A,

9、B,C所對的邊分別為 a, b, c,且acosC + c = b.2(1) 求角A的大??；(2) 若a= 1,求厶ABC的周長I的取值范圍.20.在厶ABC中，角A,B,C的對邊分別是 a, b, c ,已知2aCOSA CCOSB bCOSC. (1 )求cosA的值；(2 )若 a 1,cosB cosCn21. (12分)在厶ABC中，內角 A、B、C對邊的邊長分別是 a、b、c.已知c= 2, C= 3.(1)若厶ABC的面積等于 3，求a，b.若sin B= 2sin A，求 ABC的面積.5322.如圖，在 ABC 中，點 D 在 BC 邊上，AD 33，sin BAD ，cos

10、 ADC -.135(1 )求 sin ABD 的值；(2 )求BD的長.解三角形答案1. B 2. B 3.D4. D 5. D 6. D 7. D 8. B 9. D 10. C 11. C13. 4514. 10 315. 8 6163332 2 217.【答案】(1)由余弦定理b = a + c 2accosB,2 2 2c = a + b 2abcosC1有ccosB + bcos C= a，代入已知條件得 3acosA= a,即卩cos A=-312. B由cosA=sin A= 22,貝y cosB= cos( A+ C) = ；cosC + 22sin C,333代入 cos

11、B+ cos C= 3-得 cosC+2sin C= J3,從而得 sin( C+ $ ) = 1 ,其中sin $ =,cos $ = (0 $ 為則C+ $ =專，于是sin 8身，由正弦定理得332232 as in Csin A1n18.解 (1) va = 2bsin A,.sin A= 2sin B sin A,：sin B = /0b2 ,.B = 30(2) va= 3 .3, c= 5, B = 30 由余弦定理 b2= a2 + c2 2accos B = (3 .3)2+ 52 2X 3.3X 5X cos 30 =7b = .7.19.【答案】（1）由acosC + c

12、 = b和正弦定理得,21sin AcosC +si nC = si nB21，又 sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC , sinC = cosAsinC ,21 sinC 半 0,cosA =2asinB2(2)由正弦定理得，b= . sinBsinAV32_則 I = a+ b+ c= 1 + (sinB + sinC) = 1 + sinB + sin(A + B)V3V3/ 0 V AVn,.A= .3asinC 2.,c = sinC ,sinAv32y/31=1 + 2(si nB + cosB) = 1 + 2si n(B22v A=

13、, B (0 , B+ (336+ )651,), sin(B +) ( , 1,6 6 6 2 ABC的周長I的取值范圍為(2,3 .20【答案】(1)由2acosA ccosB bcosC及正弦定理得2 sin Acos AsinCcosB sin BcosC,即 2sinAcosA sin B C .A,即 2sin AcosA sinA.又 B C A,所以有 2sin AcosA sin 1而sin A 0,所以cosA丄.21(2 )由 cosA及 0VAV ，得 A=.因此 B C23由 cosBcosC -,得 cosB cos2B,32即 cos B1,33即得sinBV3c

14、osBsin B 22 26 2由A -,知B 5.于是B,或B2366 66 363所以B ,或B -.6 2I12 / 3若B ,則C.在直角 ABC中，sin，解得c623 c31J3若B ,在直角 ABC中，tan,解得c .23 c321.解（1）由余弦定理及已知條件得 a2 + b2 ab = 4.又因為 ABC的面積等于.3,1所以 qabsin C= . 3，由此得 ab = 4.a2+ b2 ab = 4，b = 2.聯立方程組解得ab= 4，由正弦定理及已知條件得b= 2a.a2+ b2 ab = 4，聯立方程組解得b = 2a，3所以ABC 的面積 S= ?absin C=.322.【答案】(1)因為co