1極限存在準(zhǔn)則-兩個重要極限(可編輯修改word版)

1、第一章第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限【教學(xué)目的】1、了解函數(shù)和數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則；2、掌握兩個常用的不等式：3、會用兩個重要極限求極限?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1、夾逼準(zhǔn)則：2、單調(diào)有界準(zhǔn)則：3、兩個重要極限?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)是應(yīng)用兩個重要極限求極限。難點(diǎn)是應(yīng)用函數(shù)和數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則證明極限存在，并求極限?！窘虒W(xué)設(shè)計】從有限到無窮，從已知到未知，引入新知識（3分鐘）。首先給出極限存在準(zhǔn) 則（10分鐘），并舉例說明如何應(yīng)用準(zhǔn)則求極限（5分鐘然后重點(diǎn)講解兩個重要的極限類 型，并要求學(xué)生能利用這兩個重要極限求極限（10分鐘）：課堂練習(xí)（5分鐘）。【授課內(nèi)容】引入：考慮下而幾個數(shù)列的極限1（X）01K lim

2、=1000個0相加，極限等于0?！笔? yjll2 + /” 12、lim工=一無窮多個“0”相加，極限不能確定。宀才jQ + i3. limp英中x= j3+x,“ , Aj= JL極限不能確定。對于2、3就需要用新知識來解決，下而我們來介紹極限存在的兩個準(zhǔn)則：一、極限存在準(zhǔn)則1. 夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則I如果數(shù)列兀,兒及滿足下列條件：（1）ynxn0, 30, M0,上上上”N止 |兒一上zn-a,上取 N= maxN,NJ,上兩式同時成立，上 “一 ya+9 a- zn N時，恒有 a- 兒 xn z;I a+，上 仏一么| J , :Aimx = a.11nx上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)

3、的極限O準(zhǔn)則I 如果當(dāng)x e t/(xo,)(或寸* M )時，有 g S /(A-) xoXTXO( .v-oo 那么lim f(x)存在,且等于A .(V-X準(zhǔn)則I和準(zhǔn)則I稱為夾逼準(zhǔn)則?！咀⒁狻坷脢A逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵是構(gòu)造岀兒與Z”，并且兒與Z”的極限是容易求的。例1求lim(”V/r + 1 y/n2 + 29lim = lim _= 1,i yin2 +1 i h+J_上 lim = lim ,】=匕F 1+n1由夾逼宦理得：lim( 亠 亠亠 =1- yin2 +1、/2 +2ylll2 + II【說明】夾逼準(zhǔn)則應(yīng)恰當(dāng)結(jié)合“放縮法”使用2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)則H單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

4、如果數(shù)列&”滿足條件山x2 x3 A xn+1 X, X3X X+1 ，就稱數(shù)列兀是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。幾何解釋：O O 000000 II兀2兀3冷占+1A MV例2證明數(shù)列兀=(3 +J+ -J+3(重根式)的極限存在【分析】已知xM+1 =, x產(chǎn)JL 求limx首先證明是有界的，然后證明是單VTOO調(diào)的，從而得岀結(jié)論證：1 .證明極限存在a)證明有上界Xj = 設(shè)心=(3 +兀一 3 ,則 xn+1 = J3 + 耳 J3 + 3 3所以對任意的n,有xn Jxj X” -爲(wèi)嚴(yán)0所以limy存在noc2、求極限設(shè)limx =/,貝M = 妬7,解得/=

5、1+（/= 1 一厲舍去） 0C1122二、兩個重要極限sin x1. lim= 1D A如右圖所示，上thO、J ZAOB=x, （0x_）,上上2上上上上上44CO.上上043上上上上上x,上上OAB Jit BD、 Ht; sin x = BD, x =上 AB. tan x = AC.sinxx tanx.sin x卜 COS XVvl, J一 _vxvO上上上2上Ovf ,0v|cosX-l| = l-COSH = s*n 0(1)求下列極限 lim1 cosxA 0%252兀22 sirr解：原極限=limi 0 x21 sin_lim2- 12xsin_lim()2 =2(V22

6、.Xlim(l + _)“ =e lim(l + x)x =A-XoX_ 222_1 lim(l+_) = e ； T型”T+3CJJ【說明】上述三種形式也可統(tǒng)一為模型lim (1 + (x)(77三 (jOtU第二個重要極限解決的對象是I30型未左式。XT-1f = eJ2例如，lim(2 + x)c+i = lim例4求下列極限1、Y(1) lim( 1 )解：原極限=lim(l+丄=HmIa -x(1 + S e-x(2) limXTOO解：原極限=Iim(l+ )A+22(1+ )4= / f x+2x+2nl【課堂練習(xí)】求。T比 G 廣 +n+i/,2c12n解：叫+1)2 = j + n - + 77 + n n + n + n n - + n + n n - + n + n v 1+2nn2 + n +1 n2 + n + 2 /r + n + n!+2_+. +m_=呦 +1) ,2772 而 lim 呦+1)2 =所以原極限=_2+ n + ir + n+1 ir + n +1n2 + n +1iimG+l)2=_2 f zr + / +12【內(nèi)容小結(jié)】當(dāng) x e U(xo,)時，有 f(x)