較復(fù)雜的因式分解習(xí)題

1、. 1雙十字相乘法 分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因22式2x-7xy-22y-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式22可變形為2x-(5+7y)x-(22y-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式 22對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為 即 -22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式2分解 所以 原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)

2、 上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖： 它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式： (x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y； 22 (x-3)(2x+1)=2x-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3 22 這就是所謂的雙十字相乘法 ;. . 用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax+bxy+cy+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是： 22 (1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)； 22 (2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列

3、構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx 例1 分解因式： (1)x-3xy-10y+x+9y-2； 22 (2)x-y+5x+3y+4； 22 (3)xy+y+x-y-2； 2 (4)6x-7xy-3y-xz+7yz-2z 222 解 (1) 原式=(x-5y+2)(x+2y-1) (2) 原式=(x+y+1)(x-y+4) (3)原式中缺x項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來分解 2;. . 原式=(y+1)(x+y-2) (4) 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z) 說明 (4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類似 2求根法 我們把形如ax+ax+ax+a(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元

4、n-1n01n-1n多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，等記號(hào)表示，如 f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6， 252 當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x) f(1)=1-31+2=0； 2 f(-2)=(-2)-3(-2)+2=12 2 若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根 定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a ;. . 根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)

5、時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根 定理2 的根，則必有p是a的約數(shù)，q是a的約數(shù)特別地，當(dāng)a=1時(shí)，整系數(shù)多00n項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為a的約數(shù) n 我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解 例2 分解因式：x-4x+6x-4 23 分析 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：1，2，4，只有 f(2)=2-42+62-4=0， 23 即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2 解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2) 原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4

6、) 232 =x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) 2 =(x-2)(x-2x+2) 2 解法2 用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2)， ;. . 所以 原式=(x-2)(x-2x+2) 2 說明 在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證 例3 分解因式：9x-3x+7x-3x-2 243 分析 因?yàn)?的約數(shù)有1，3，9；-2的約數(shù)有1， 為： 所以，原式有因式9x-3x-2 2 解 9x-3x+7x-3x-2 234 =9x-3x-2x+9x-3x-2 2342;. . =x(9x-

7、3x-2)+9x-3x-2 223 =(9x-3x-2)(x+1) 22 =(3x+1)(3x-2)(x+1) 2 說明 若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式 可以化為9x-3x-2，這樣可以簡(jiǎn)化分解過程 2 總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個(gè)一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(wàn)(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解了 3待定系數(shù)法 待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用 在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾

8、個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法 例4 分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3 22 分析 由于 (x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)， 22;. . 若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和xyn的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決 解 設(shè) x+3xy+2y+4x+5y+3 22 =(x+2y+m)(x

9、+y+n) =x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 22 比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有 解之得m=3，n=1所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1) 說明 本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下 例5 分解因式：x-2x-27x-44x+7 243 分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是1，7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x+ax+b)(x+cx+d)的形22式 解 設(shè) 原式=(x+ax+b)(x+cx+d) 22 =x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd， 243;. . 所以有 由bd=7，先考慮b=1，d=7有 所以 原式=(x-7x+1)(x+5x+7) 22 說明 由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1，d=-7等可以不加以考慮本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止 本題沒有一次因式，因而無法運(yùn)用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地 練習(xí)二 1用雙十字相乘法分解因式： (1)x-8xy+15y+2x-4y-3； 22 (2)x-xy+2x+y-3； 2;. .