基于Burg算法的AR模型功率譜估計簡介

1、基于burg算法的ar模型功率譜估計簡介摘要：在對隨機信號的分析中，功率譜估計是一類重要的參數(shù)研究，功率譜估計的方法分為經(jīng)典譜法和參數(shù)模型方法。參數(shù)模型方法是利用型號的先驗知識，確定信號的模型，然后估計出模型的參數(shù)，以實現(xiàn)對信號的功率譜估計。根據(jù)wold 定理,ar模型是比較常用的模型，根據(jù)burg算法等多種方法可以確定其參數(shù)。關(guān)鍵詞：功率譜估計；ar模型；burg算法隨機信號的功率譜反映它的頻率成分以及各成分的相對強弱, 能從頻域上揭示信號的節(jié)律, 是隨機信號的重要特征。因此, 用數(shù)字信號處理手段來估計隨機信號的功率譜也是統(tǒng)計信號處理的基本手段之一。在信號處理的許多應(yīng)用中, 常常需要進行譜估

2、計的測量。例如, 在雷達系統(tǒng)中, 為了得到目標(biāo)速度的信息需要進行譜測量; 在聲納系統(tǒng)中, 為了尋找水面艦艇或潛艇也要對混有噪聲的信號進行分析?？傊? 在許多應(yīng)用領(lǐng)域中, 例如, 雷達、聲納、通訊聲學(xué)、語言等領(lǐng)域, 都需要對信號的基本參數(shù)進行分析和估計, 以得到有用的信息, 其中, 譜分析就是一類最重要的參數(shù)研究。1 功率譜估計簡介一個寬平穩(wěn)隨機過程的功率譜是其自相關(guān)序列的傅里葉變換，因此功率譜估計就等效于自相關(guān)估計。對于自相關(guān)各態(tài)遍歷的過程，應(yīng)有：如果所有的都是已知的，理論上功率譜估計就很簡單了，只需要對其自相關(guān)序列取傅里葉變換就可以了。但是，這種方法有兩個個很大的問題：一是不是所有的信號都是

3、平穩(wěn)信號，而且有用的數(shù)據(jù)量可能只有很少的一部分；二是數(shù)據(jù)中通常都會有噪聲或群其它干擾信號。因此，譜估計就是用有限個含有噪聲的觀測值來估計。譜估計的方法一般分為兩類。第一類稱為經(jīng)典方法或參數(shù)方法，它首先由給定的數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列，然后對估計出的進行傅里葉變換獲得功率譜估計。第二類稱為非經(jīng)典法，或參數(shù)模型法，是基于信號的一個隨機模型來估計功率譜。非參數(shù)譜估計的缺陷是其頻率分辨率低，估計的方差特性不好, 而且估計值沿頻率軸的起伏甚烈，數(shù)據(jù)越長, 這一現(xiàn)象越嚴(yán)重。為了改善譜分辨率，研究學(xué)者對基于模型的參數(shù)方法進行了大量研究。參數(shù)方法的第一步是對信號選擇一個合適的模型，這種選擇可能是基于有關(guān)信號如何產(chǎn)生

4、的先驗知識，也可能是多次試驗后獲得的結(jié)果。通常采用的模型包括ar、ma、arma模型和諧波模型（噪聲中含有復(fù)指數(shù)）。一旦模型選擇好后，下一步就是計算模型的參數(shù)。最后將計算得到的參數(shù)帶入模型中就可以獲得估計功率譜。2 ar譜估計2.1 簡介ar 模型叫做自回歸模型, 信號由本身的若干次過去值和激勵時的現(xiàn)實值線性組合產(chǎn)生, 由于傳遞函數(shù)中只有極點, 沒有零點, 所以又叫作全極點模型。ma 模型叫做移動平均模型, 信號由現(xiàn)時的激勵和若干次過去值線性組合產(chǎn)生, 由于傳遞函數(shù)中只有零點, 沒有極點, 所以又叫作全零點模型。arma 模型叫做自回歸移動平均模型, 它是前兩種模型的結(jié)合, 因為它既有極點又有

5、零點, 所以也叫做極零點模型。 根據(jù)wold 定理, 即任何arma 過程, 或者任何 ma 過程都能用無限的 ar 過程表示。如果在三種模型中選擇了一個錯誤的模型, 我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^一個很高的階數(shù)獲得一個合理的逼近。因此, ma 、arma 模型可以用一個足夠高階的ar模型來近似。ar 譜估計是最常用的時間序列建模方法, 這是因為 ar 參數(shù)的精確估計值可以用一組線性方程的方法求得, 而對于 arma 或ma 過程參數(shù)的精確計算, 則需要解一組高階非線性方程,。正是由于這個緣故, 有關(guān)有理式傳遞函數(shù)的許多研究工作都喜歡采用 ar 模型作近似研究。一個ar過程可以表示為單位方差白噪聲的驅(qū)動的全

6、極點濾波器的輸出，p階ar過程的功率譜是：因此，若和可以由數(shù)據(jù)進行估計，則功率譜估計可以寫成如下形式;顯然，的精確程度決定于模型參數(shù)能多準(zhǔn)確地被估計，且更重要的是取決于選擇的ar模型是否與數(shù)據(jù)產(chǎn)生的方式相一致。確定ar模型系數(shù)的方法有很多，每種方法會得出不同的的參數(shù)，但是最終實現(xiàn)的方式是完全相同，利用的是同一個估計形式。常用的估計方法有：lenvinson-durbin方法、burg方法、無約束最小二乘法等等。2.2 burg算法ar模型參數(shù)估計這里主要對burg算法進行介紹。這種方法通常稱為最大熵法（mem）。burg通過最大化觀測序列的熵，得到這種方法，定義為：式中觀測數(shù)據(jù)序列假定為帶寬的

7、靜態(tài)高斯過程，是一個實的正函數(shù)，最大化式，并受限于自相關(guān)采樣的約束過程，即：這個優(yōu)化結(jié)果可以用來計算最小二乘估計，它涉及觀測數(shù)據(jù)前向和后向預(yù)測的mse之和。計算中，預(yù)測系數(shù)必須滿足lenvinson-durbin遞推關(guān)系，并且可直接計算而無需首先計算自相關(guān)系數(shù)。這種方法的優(yōu)點就是對未知數(shù)據(jù)不需要做任何假設(shè)，估計精度較高。其缺點是在分析噪聲中的正弦信號時，會引起譜線分裂，且譜峰的位置和正弦信號的相位有很大的關(guān)系。burg算法是使前向預(yù)測誤差和后向預(yù)測誤差均方誤差之和最小來求取km的，它不對已知數(shù)據(jù)段之外的數(shù)據(jù)做認(rèn)為假設(shè)。計算m階預(yù)測誤差的遞推表示公式如下：求取反射系數(shù)的公式如下：對于平穩(wěn)隨機過程

8、，可以用時間平均代替集合平均，因此上式可寫成：這樣便可求得ar模型的反射系數(shù)。將m階ar模型的反射系數(shù)和m-1階ar模型的系數(shù)代入到levinson關(guān)系式中，可以求得ar模型其他的p-1個參數(shù)。levinson關(guān)系式如下：m階ar模型的第m+1個參數(shù)g，其中是預(yù)測誤差功率，可由遞推公式求得。易知為進行該式的遞推，必須知道0階ar模型誤差功率，可知該式由給定序列易于求得。完成上述過程，即最終求得了表征該隨機信號的ar模型的p+1個參數(shù) 。然后根據(jù) 即可求得該隨機信號的功率譜密度。3 實驗仿真分析假定信號序列為兩個正弦信號與白噪聲的疊加，其功率譜估計的matlab仿真結(jié)果如圖1和圖2。圖1 基于m

9、atlab的burg算法功率譜估計仿真（p=130）圖2 基于matlab的burg算法功率譜估計仿真（p=300）從圖中我們可以清晰的看到burg算法求解ar模型的過程是非常穩(wěn)定的，而且具有很高的分辨率。當(dāng)然對于burg算法來說，p即階數(shù)的選擇是至關(guān)重要的。在多次實驗中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)p介于50和80之間時，得到的頻譜圖是較優(yōu)越的，p在130左右時頻譜圖是最優(yōu)越的，這也符合了經(jīng)驗定理，對于512點的頻譜圖分析，p應(yīng)介于130和250之間。而當(dāng)p的階數(shù)過小的時候，會無法分辨出離的較近的兩個頻譜，p過大頻譜圖會出現(xiàn)過多偽峰，導(dǎo)致分辨率嚴(yán)重下降。參考文獻：1張賢達，現(xiàn)代信號處理m，北京：清華大學(xué)出版社，20022楊綠溪，現(xiàn)代數(shù)字信號處理m，北京：科學(xué)出版社，20073關(guān)欣、楊愛萍、白煜、李鏘等譯，信號檢測與估計-理論與應(yīng)用m，北京：電子工業(yè)出版社，20124張威、張路綱，burg算法最大熵譜估計的vc+仿真分析j，北