運(yùn)用微分學(xué)方法證明不等式畢業(yè)論文

1、運(yùn)用微分學(xué)方法證明不等式proofs of inequalities by using of differential calculus專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作 者: 指導(dǎo)老師: 二一二年五月 摘 要本文將運(yùn)用微分學(xué)知識(shí)證明不等式的方法歸納為：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式、利用微分中值定理證明不等式、利用泰勒公式證明不等式、利用曲線凹凸性證明不等式和利用函數(shù)的最值證明不等式, 并通過(guò)實(shí)例分析, 探討了運(yùn)用微分學(xué)知識(shí)證明不等式應(yīng)該注意的問(wèn)題關(guān)鍵詞: 不等式；微分學(xué)；證明方法abstractwe summarize the proofs of the inequalities by using th

2、e differential calculus, that is, using the function monotonicity, using the differential mean value theorem, using the taylor formula, using the concavity and convexity of curve, using the extreme value of the function and so on furthermore, we investigate points for attention when we prove inequal

3、ity by using of differential calculus by some exampleskeywords: inequality; differential calculus; proofs目 錄摘 要iabstractii0 引言11 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式12 利用微分中值定理證明不等式33 利用泰勒公式證明不等式74 利用曲線凹凸性證明不等式115 利用函數(shù)最值證明不等式12參考文獻(xiàn)150 引言一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題中, 往往同時(shí)存在著若干個(gè)量, 研究他們彼此間的關(guān)系, 常常歸結(jié)于不等式問(wèn)題作為一種工具, 不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)都起著十分重要的作用, 在應(yīng)用上也有十分重要的

4、價(jià)值, 本文將散見(jiàn)于文獻(xiàn)中運(yùn)用微分學(xué)知識(shí)證明不等式的方法歸納為：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式、利用微分中值定理證明不等式、利用泰勒公式證明不等式、利用曲線凹凸性證明不等式和利用函數(shù)的最值證明不等式為本文行文方便, 文中未特別申明的符號(hào)與文獻(xiàn)4相同1利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性證明在區(qū)間i上不等式 （或）成立的步驟一般為(1) 構(gòu)造函數(shù), 借助進(jìn)行證明的過(guò)程中如果出現(xiàn)不簡(jiǎn)便或比較困難的情形, 則可以將原不等式作適當(dāng)?shù)淖冃? 改證其等價(jià)的不等式, 再構(gòu)造輔助函數(shù)(2) 考察在由i及其端點(diǎn)(若在該點(diǎn)有定義)構(gòu)成的區(qū)間上的連續(xù)性(3) 求, 討論在區(qū)間i內(nèi)的符號(hào), 由此確定在上述區(qū)間上的單調(diào)性

5、(有時(shí)需求出、等, 才能確定的單調(diào)性) (4) 求出在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值(或極限值) , 根據(jù)單調(diào)性即得證例1 證明：(1)當(dāng)時(shí), (2)當(dāng)時(shí), 證明 (1)令,因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且當(dāng)時(shí), 所以當(dāng)時(shí), 函數(shù)是單調(diào)遞增的故當(dāng)時(shí),有,從而 (2)因?yàn)? 所以, 令函數(shù), 則有因?yàn)闀r(shí), , 所以即在時(shí)嚴(yán)格遞增的,又因?yàn)? 所以, 即例 2 證明：當(dāng)時(shí), 證明 設(shè) ,則在上可導(dǎo), 且, , 故為上單調(diào)增函數(shù), ,于是, 為上的單調(diào)增函數(shù), 所以即 2利用微分中值定理證明不等式為以下行文方便, 將幾個(gè)主要的微分中值定理摘錄如下：定理1 （羅爾中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)

6、可導(dǎo), 且滿足, 那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使得定理2（拉格朗日中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使得當(dāng)函數(shù)在內(nèi)的變化范圍已知時(shí), 有, 于是可以利用拉格朗日定理來(lái)證明一類(lèi)的不等式定理3 （柯西中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 且在內(nèi)每一點(diǎn)均不為零, 那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使得根據(jù)要求不等式的兩邊的代數(shù)式選取合適的函數(shù), 應(yīng)用微分中值定理得出一個(gè)等式之后, 對(duì)這個(gè)等式根據(jù)取值范圍的不同進(jìn)行討論, 得到不等式例3 (1) 如果, 證明： ;(2) 證明: 證明 (1)令, 在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 則有

7、, 由于在閉區(qū)間上, 有, 所以(2)當(dāng)時(shí), 顯然等號(hào)成立當(dāng)時(shí), 不妨設(shè)設(shè),由拉格朗日中值定理, 得 , 則有 所以 例4 已知, , 證明： 證明 設(shè), 根據(jù)拉格朗日中值定理, 存在使得又因?yàn)?, 所以,于是 例5 當(dāng)時(shí), 函數(shù)在其定義域上可導(dǎo), 且為不增函數(shù), 又, 證明：證明 用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí), 顯然不等式成立當(dāng)時(shí), 若均為, 或者一個(gè)為時(shí), 當(dāng)一個(gè)為時(shí), 顯然有設(shè)均大于, 不妨設(shè), 在應(yīng)用拉格朗日中值定理可得在上再次利用拉格朗日中值定理可得顯然, 由題設(shè)知, 所以 ,即 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立, 即 取, 顯然的情況不證而明, 所以只考慮的情況取, 由前面已證的結(jié)論有 再用歸納假設(shè)可得 ,

8、即當(dāng)時(shí)結(jié)論成立 所以例 6 證明：當(dāng)時(shí), 證明 可設(shè), 則在上由柯西中值定理的條件, 故存在使得例7 (1)設(shè), 對(duì)的情況, 證明: (2)設(shè), 證明: 證明 (1)設(shè),當(dāng)時(shí), 結(jié)論顯然成立當(dāng)時(shí), 取或, 在閉區(qū)間或上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間或可導(dǎo), 且在內(nèi)或每一點(diǎn)均不為零, 由柯西中值定理可得, 或即 所以(2)設(shè), , 在閉區(qū)間上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 且在內(nèi)每一點(diǎn)均不為零, 那么由柯西中值定理可得, 即 , 因?yàn)? 所以即 3利用泰勒公式證明不等式定理4（泰勒公式）如果函數(shù)在含有點(diǎn)的區(qū)間上有階的導(dǎo)數(shù), 則函數(shù)在內(nèi)可表示成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)式的和, 其中, 在與之間利用此定理可以證明不等式得一

9、般步驟為根據(jù)已知條件, 圍繞證明目標(biāo), 尋取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)將函數(shù)在該點(diǎn)展成泰勒展式根據(jù)已知條件, 向著有利于證明不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚? 直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止例8 當(dāng)時(shí), 證明: 分析 由于朗格朗日中值定理很容易證明,而利用泰勒中值定理時(shí), 當(dāng)時(shí), 不等式為顯然第二個(gè)比前一個(gè)的不等式的精確度高得多, 隨著的增大, 不等式的精確度會(huì)大幅度地提高, 所以我們?cè)谧鲱}過(guò)程中, 按題目的要求選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明證明 令,函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)前項(xiàng)的泰勒公式為因?yàn)? 所以, 從而,所以有 同理, 因?yàn)?所以 例9 設(shè)在上有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù), 且證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使得證明 由泰勒公式 , ,

10、 其中, 以上兩式相減, 得, 因在上連續(xù), 設(shè)在處取得最大值, 即為最大值, 則也即 例 10 設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù), 且, 其中m是一個(gè)正常數(shù)是該領(lǐng)域內(nèi)關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn), 且, 證明：證明 由泰勒公式, 有, , 其中在與之間, 在與之間將以上兩式相加即得, 所以 例11設(shè)在上二階可導(dǎo), 且滿足, 其中為非負(fù)常數(shù), 證明：對(duì)于任意, 有證明 由所給條件及欲證不等式可知, 對(duì)給定, 宜首先找出與和的某種關(guān)系式, 然后再估值, 故將函數(shù)在處展開(kāi), , , 其中 將以上兩式相減, 即得, 從而 , 又當(dāng)時(shí), , 所以例12 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo), , 且在內(nèi)取最大值, 證明：證明 設(shè)在出取得最

11、大值, 因在上可導(dǎo), 則必有又對(duì)在及上使用拉格朗日中值定理, 有, 所以4 利用曲線凹凸性證明不等式利用這種方法證不等式首先要構(gòu)造輔助函數(shù)并說(shuō)明其在某區(qū)間i上的凹凸性若的圖形在i上是凹的, 則對(duì)i上任意兩點(diǎn)和, 有反之, 若的圖形在i上為凸的, 則有例13 證明：當(dāng)時(shí), 分析 不等式等價(jià)于：不等式兩邊含有相同“形式”：, 可設(shè)輔助函數(shù) 因此原不等式化為要證只要證明在上為凹函數(shù), 即證在內(nèi)即可證明 設(shè),那么 ,所以在內(nèi)的圖形是凹的, 有凹弧定義, 對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn), 恒有也即 例14 已知, 且證明：證明 令,則, 所以,即 ,所以 ,例15 證明：證明 設(shè), , 即5利用函數(shù)的最值證明不等式當(dāng)給

12、定的不等式是具體的函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)大于或小于某個(gè)常數(shù), 即形如或時(shí), 可考慮是否為這個(gè)區(qū)間上的最值, 此時(shí)利用最值證明往往較簡(jiǎn)單例16 設(shè), 常數(shù), 證明：證明 設(shè),并由解得駐點(diǎn)為, 則在閉區(qū)間上連續(xù)因?yàn)樗栽诘淖钚≈禐? 最大值為1, 即例 17 設(shè), 證明：, 為正整數(shù)證明 設(shè),則令, 得內(nèi)的唯一駐點(diǎn)為, 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), 所以當(dāng)時(shí), 在處取得最大值, 即由于數(shù)列是單調(diào)遞減的, 并且, 因此對(duì)于任意的正整數(shù)n, 有, 即由此可見(jiàn), 當(dāng), n為正整數(shù)時(shí), , 即例 18 設(shè), 證明：證明 構(gòu)造輔助函數(shù), ,則, 令, 得駐點(diǎn)為, 當(dāng)時(shí), , 所以在上單調(diào)遞增, 對(duì), 有；當(dāng)時(shí), , 所以在

13、上單調(diào)遞減, 對(duì), 有, 故在上有最小值, ,即也就是說(shuō), 當(dāng)時(shí), 有致謝 本文是在涂建斌老師的指導(dǎo)下完成的, 在此作者對(duì)涂老師表示衷心的感謝參考文獻(xiàn)1 d. s. 密斯特利諾維奇. 解析不等式m. 北京: 科學(xué)出版社. 1987.2 . . 菲赫金哥爾茨. 微積分學(xué)教程（第八版）. 北京:高等教育出版社. 20063 r. 科朗等.微積分和數(shù)學(xué)分析引論m. 北京: 科學(xué)出版社. 2002. 4 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析m. 北京: 高等教育出版社, 1991.5 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法m. 北京: 高等教育出版社,1 994.6 劉玉蓮. 數(shù)學(xué)分析講義m. 北京: 高等教育出版社, 1999.7 劉早清. 高等數(shù)學(xué). 武漢: 高等教育出版社, 2008. 8 南文勝. 大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué). 上海: 同濟(jì)大學(xué)出版社, 2008. 9 王茂南，薛國(guó)民高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程m蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2004：49-7610 王景克高等數(shù)學(xué)解題方法與技巧m3版北京：中國(guó)林業(yè)出版社200l：12卜lz911 the sixtythird william lowell putnam mathematical competitionjthe amermathmonthly，2003110(9)：720-72612 print , the best critical su