高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率知識點(原稿)

1、高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率知識點（文）第一部分:統(tǒng)計一、什么是眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。眾數(shù)的特點。眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多；眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)越多，它就越能代表這組數(shù)據(jù)的整體狀況，并且它能比較直觀地了解到一組數(shù)據(jù)的大致情況。但是，當(dāng)一組數(shù)據(jù)大小不同，差異又很大時，就很難判斷眾數(shù)的準(zhǔn)確值了。此外，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的那個眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)不具明顯優(yōu)勢時，用它來反映一組數(shù)據(jù)的典型水平是不大可靠的。3.眾數(shù)與平均數(shù)的區(qū)別。眾數(shù)表示一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)；平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)中表示平均每份的數(shù)量。二、.中位數(shù)的概念。一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最

2、中間的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)有偶數(shù)個數(shù)據(jù)時，為最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。三.眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的求法。眾數(shù)由所給數(shù)據(jù)可直接求出;求中位數(shù)時，首先要先排序(從小到大或從大到小)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)的個數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)為奇數(shù)個時，最中間的一個數(shù)就是中位數(shù);當(dāng)數(shù)據(jù)為偶數(shù)個時，最中間兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。求平均數(shù)時，就用各數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，得數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。四、中位數(shù)與眾數(shù)的特點。中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中唯一的，可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)；求中位數(shù)時，先將數(shù)據(jù)有小到大順序排列，若這組數(shù)據(jù)是奇數(shù)個，則中間的數(shù)據(jù)是中位數(shù)；若這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)個時，則中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)

3、是中位數(shù)；中位數(shù)的單位與數(shù)據(jù)的單位相同；眾數(shù)考察的是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻數(shù)；眾數(shù)的大小只與這組數(shù)的個別數(shù)據(jù)有關(guān)，它一定是一組數(shù)據(jù)中的某個數(shù)據(jù)，其單位與數(shù)據(jù)的單位相同；（6）眾數(shù)可能是一個或多個甚至沒有；（7）平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量。數(shù)學(xué)五.平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的異同：平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量；平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都有單位；平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，與這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都有關(guān)系，所以最為重要，應(yīng)用最廣；中位數(shù)不受個別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響；眾數(shù)與各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，不受個別數(shù)據(jù)的影響，有時是我們最為關(guān)心的數(shù)據(jù)。六、對于樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn

4、，設(shè)想通過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個平均距離如何計算？|x-x|+|x-x|+l+|x-x|12nn思考4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為x，則標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式是：s=(x-x)2+(x-x)2+l+(x-x)212nn七、簡單隨即抽樣的含義,一般地,設(shè)一個總體有n個個體,從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（nn）如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等,則這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.八、根據(jù)你的理解，簡單隨機抽樣有哪些主要特點？（1）總體的個體數(shù)有限；（2）樣本的抽取是逐

5、個進行的，每次只抽取一個個體；（3）抽取的樣本不放回，樣本中無重復(fù)個體；（4）每個個體被抽到的機會都相等，抽樣具有公平性.九、抽簽法的操作步驟？第一步，將總體中的所有個體編號，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上.第二步，將號簽放在一個容器中，并攪拌均勻第三步，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本.數(shù)學(xué)十一、抽簽法有哪些優(yōu)點和缺點？優(yōu)點：簡單易行，當(dāng)總體個數(shù)不多的時候攪拌均勻很容易，個體有均等的機會被抽中，從而能保證樣本的代表性.缺點：當(dāng)總體個數(shù)較多時很難攪拌均勻，產(chǎn)生的樣本代表性差的可能性很大.十一、利用隨機數(shù)表法從含有n個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，其抽樣步驟

6、如何？第一步，將總體中的所有個體編號.第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為起始數(shù).第三步，從選定的數(shù)開始依次向右（向左、向上、向下）讀，將編號范圍內(nèi)的數(shù)取出，編號范圍外的數(shù)去掉，直到取滿n個號碼為止，就得到一個容量為n的樣本.簡單隨機抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機數(shù)表法。思考：如果從100個個體中抽取一個容量為10的樣本，你認(rèn)為對這100個個體進行怎樣編號為宜？解法1：（抽簽法）將100件軸編號為1，2，100，并做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這100個數(shù)，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個號簽，然后測量這個10個號簽對應(yīng)的軸的直徑。解法2：（隨機數(shù)表法）將100件軸編

7、號為00，01，99，在隨機數(shù)表中選定一個起始位置，如取第21行第1個數(shù)開始，選取10個為68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，這10件即為所要抽取的樣本。小結(jié)、簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法，簡單隨機抽樣有兩種選取個體的方法：放回和不放回，我們在抽樣調(diào)查中用的是不放回抽樣，常用的簡單隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數(shù)法.抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當(dāng)總體的容量非常大時，費時、費力，又不方便，如果標(biāo)號的簽攪拌得不均勻，會導(dǎo)致抽樣不公平，隨機數(shù)表法的優(yōu)點與抽簽法相同，缺點上當(dāng)總體容量較大時，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較少的抽樣類型

8、.簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為n/n，但是這里一定要將每個個體入樣的可能性、第n次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第n次被抽到的可能性這三種情況區(qū)分開來，避免在解題中出現(xiàn)錯誤.數(shù)學(xué)解題應(yīng)用如果從600件產(chǎn)品中抽取60件進行質(zhì)量檢查，按照上述思路抽樣應(yīng)如何操作？第一步，將這600件產(chǎn)品編號為1，2，3，600.第二步，將總體平均分成60部分，每一部分含10個個體.第三步，在第1部分中用簡單隨機抽樣抽取一個號碼（如8號）.第四步，從該號碼起，每隔10個號碼取一個號碼，就得到一個容量為60的樣本.（如8，18，28，598）十二、系統(tǒng)抽樣的定義：一般地，要從容量為n的總體中抽取容量

9、為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣.由系統(tǒng)抽樣的定義可知系統(tǒng)抽樣有以下特征：（1）當(dāng)總體容量n較大時，采用系統(tǒng)抽樣。（2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此系n統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為kn.（3）預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第1段內(nèi)采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號.思考.下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是（c）a、從標(biāo)有115號的15號的15個小球中任選3個作為樣本，按從小號到大號排序，隨機確定起點i,以后為i+5,i

10、+10(超過15則從1再數(shù)起)號入樣b工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳關(guān)帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品檢驗c、搞某一市場調(diào)查，規(guī)定在商場門口隨機抽一個人進行詢問，直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止d、電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知每排（每排人數(shù)相等）座位號為14的觀眾留下來座談十三、系統(tǒng)抽樣的一般步驟用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本時，首先要做的工作是什么？將總體中的所有個體編號.如果用系統(tǒng)抽樣從605件產(chǎn)品中抽取60件進行質(zhì)量檢查，由于605件產(chǎn)品不能均衡分成60部分，應(yīng)先從總體中隨機剔除5個個體，再均衡分成60部分.一般地，用系統(tǒng)抽樣從含有n個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本

11、，其操作步驟如何？第一步，將總體的n個個體編號.第二步，確定分段間隔k，對編號進行分段.數(shù)學(xué)第三步，在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體編號l.第四步，按照一定的規(guī)則抽取樣本.十四：分層抽樣的定義:若總體由差異明顯的幾部分組成，抽樣時，先將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，再將各層取出的個體合在一起作為樣本.分層抽樣又稱類型抽樣十五.應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求及具體步驟：(1)分層：將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則。（2）分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量

12、與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等。一般地，分層抽樣的操作步驟如何？第一步，計算樣本容量與總體的個體數(shù)之比.第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個體數(shù).第三步，用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個體.第四步，將各層抽取的個體合在一起，就得到所取樣本.十六、簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣的類比學(xué)習(xí)簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣既有其共性，又有其個性，根據(jù)下表，你能對三種抽樣方法作一個比較嗎？方法類別共同特點抽樣特征相互聯(lián)系適應(yīng)范圍簡單隨機抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個不放回抽取將總體分成均衡幾部分，按規(guī)

13、則關(guān)聯(lián)抽取將總體分成幾層，按比例分層抽取用簡單隨機抽樣抽取起始號碼用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣對各層抽總體中的個體數(shù)較少總體中的個體數(shù)較多總體由差異明顯的幾部分組樣成數(shù)學(xué)對樣本數(shù)據(jù)進行分組，組距的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，組數(shù)太多或太少，都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.十七列頻率直分布表的步驟列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表可以分哪幾個步驟進行？第一步，求極差.第二步，決定組距與組數(shù).頻率第三步，確定分點，將數(shù)據(jù)分組.組距第四步，列頻率分布表.十八、繪制頻率分布直方圖的步驟0.50.40.30.20.1o0.511.522.533.544.5月均

14、用水量/t頻率分布直方圖中小長方形的高頻率組距樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是根據(jù)頻率分布表畫出來的，一般地，頻率分布直方圖的作圖步驟如何？第一步，畫平面直角坐標(biāo)系.第二步，在橫軸上均勻標(biāo)出各組分點，在縱軸上標(biāo)出單位長度.第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫出各組對應(yīng)的小長方形.小結(jié)1.頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小，總體分布是指總體取值的頻率分布規(guī)律.我們通常用樣本的頻率分布表或頻率分布直方圖去估計總體的分布.2.頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提

15、取信息，又可以利用圖形傳遞信息.3.樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況.十九、如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？(1)眾數(shù)：最高矩形下端中點的橫坐標(biāo).數(shù)學(xué)(2)中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點的橫坐標(biāo).(3)平均數(shù)：每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)的乘積之和.二十：什么是莖葉圖莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉

16、），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數(shù)，每個數(shù)具體是多少。第二部分：概率一、隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）必然事件：在條件s下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件s的必然事件；（2）不可能事件：在條件s下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件s的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件s的確定事件；（4）隨機事件：在條件s下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件s的隨機事件；（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件s下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件a是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件a出現(xiàn)的次數(shù)na為事件a出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件a出現(xiàn)的比例nafn(a)=n為事件

17、a出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件a，如果隨著試驗次數(shù)p的增加，事件a發(fā)生的頻率fn(a)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作（a），稱為事件a的概率。（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)na與試驗總次數(shù)nan的比值n，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率數(shù)學(xué)二、概率的基本性質(zhì)1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若ab為不可能事件，即ab=，那么稱事件a與事件b

18、互斥；（3）若ab為不可能事件，ab為必然事件，那么稱事件a與事件b互為對立事件；（4）當(dāng)事件a與b互斥時，滿足加法公式：p(ab)=p(a)+p(b)；若事件a與b為對立事件，則ab為必然事件，所以p(ab)=p(a)+p(b)=1，于是有p(a)=1p(b)2、概率的基本性質(zhì)：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0p(a)1；2）當(dāng)事件a與b互斥時，滿足加法公式：p(ab)=p(a)+p(b)；3）若事件a與b為對立事件，則ab為必然事件，所以p(ab)=p(a)+p(b)=1，于是有p(a)=1p(b)；4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件a與事件b在一次試驗中

19、不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件a發(fā)生且事件b不發(fā)生；（2）事件a不發(fā)生且事件b發(fā)生；（3）事件a與事件b同時不發(fā)生，而對立事件是指事件a與事件b有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件a發(fā)生b不發(fā)生；（2）事件b發(fā)生事件a不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。三、古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生1、（1）古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；求出總的基本事件數(shù)；a包含的基本事件數(shù)求出事件a所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式p（a）=總的基本事件個數(shù)四、幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：數(shù)學(xué)線性回歸方程：y=bx+a（最小二乘法）（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾