橢圓典型題型歸納

1、橢圓典型題型歸納題型一.定義及其應(yīng)用例1.已知一個(gè)動(dòng)圓與圓 C : （x 4）2 y2 =100相內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)A（4,0），求這個(gè)動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程；練習(xí)：1.方程 （x3）2 y2（x 3）2 y2、6對(duì)應(yīng)的圖形是（）A.直線B.線段C.橢圓D.圓2.方程，.（x-3）2 y2, （x 3）2 y2 =10 對(duì)應(yīng)的圖形是（）A.直線B.線段C.橢圓D.圓4. 如果方程x2 （y m）2亠亠Jx2 （y - m）2 = m 1表示橢圓，則 m的取值范圍是 5. 過(guò)橢圓9x2 4y2 =1的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓相交于 A, B兩點(diǎn)，則A, B兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)f2構(gòu)成的 abf2的

2、周長(zhǎng)等于；6. 設(shè)圓（x 1）2 y25的圓心為C，A（1,0）是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任意一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與 CQ的連線交于點(diǎn) M，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ；題型二.橢圓的方程（一）由方程研究曲線2 2x y例1.方程1的曲線是到定點(diǎn) 和的距離之和等于 的點(diǎn)的軌跡；1625（二）分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)P（3,0），求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)r（J6,1）、r（-J3,-J2），求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, -3）且與橢圓9x2 4y36有共同焦點(diǎn)的橢圓方程；

3、x2 y2x2y22注: 一般地，與橢圓二 2 =1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為21（k -b ）；a2 b2a2+k b2+k（四）定義法求軌跡方程；例5.在心ABC中，A,B,C所對(duì)的三邊分別為 a,b,c，且B（切 C，求滿足bac且b, a, c成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn) A的軌跡；（五）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；2例6.已知x軸上一定點(diǎn)A（1,0），Q為橢圓y2 =1上任一點(diǎn)，求 AQ的中點(diǎn)M的軌跡4方程；（六）直接法求軌跡方程；例7.設(shè)動(dòng)直線l垂直于x軸，且與橢圓x2 2y2 =4交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上滿足 PALPB =1的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程；（七）列方程組求方程例8.中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)

4、為 F（0,50）的橢圓被直線y二3x -2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)1為丄，求此橢圓的方程；2題型三.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題225例1.已知橢圓 -L =1上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F2、Fl ,16 253求 PF1、PF2 及 cosZFfF?；題型四橢圓的幾何性質(zhì)x2 V25例1.已知P是橢圓 二 2 =1上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為 一，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，ab3橢圓的半焦距為c，則PF1LPF2的最大值與最小值之差為 2例2.橢圓篤a b好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ；2 2 1 例3.若橢圓 y 1的離心率為1，則k =k +1422 22V2=1(a b 0)的四個(gè)頂點(diǎn)

5、為 A,B,C,D，若四邊形 ABCD的內(nèi)切圓恰例4.若P為橢圓 篤當(dāng)=1(a - b 0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1F2 =15，a b-PF2F1 =75，則橢圓的離心率為 題型七.求離心率2 2例1.橢圓jX2=1 (a b )的左焦點(diǎn)為R(-c,0)，A(-a,0)， B(, b)是兩個(gè)頂點(diǎn),a b如果F1到直線AB的距離為一7則橢圓的離心率2 2例2.若P為橢圓 篤每=1(a b 0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且 PF1F2八， a bPF2F1 =2，則橢圓的離心率為 例3. F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，PF1 _ PQ，且PF1

6、 二 PQ， 則橢圓的離心率為；題型八.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用X2y2例1. 橢圓1上的點(diǎn)P到直線x-2y，7=0的距離最大時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)432 2例2.方程x sin ： - v cos=1( 0 ：二)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求的取值范圍； 題型九.直線與橢圓的關(guān)系(1 )直線與橢圓的位置關(guān)系例1.當(dāng)m為何值時(shí)，直線 丨：y =x m與橢圓9x2，16y2 =144相切、相交、相離？例2.曲線2x2 y2 = 2a ( a 0)與連結(jié)A(-1,1)，B(2,3)的線段沒(méi)有公共點(diǎn)，求 a的取 值范圍。例3.過(guò)點(diǎn)P(-.3, 0)作直線丨與橢圓3x2 4y2 =12相交于代B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

7、求 OAB面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。例4.求直線xcosysi n v - 2和橢圓x2 3y6有公共點(diǎn)時(shí)，二的取值范圍(0 _ 寸- ：)。(二) 弦長(zhǎng)問(wèn)題例1.已知橢圓x2 2y2 =12，A是x軸正方向上的一定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn) A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為4-13，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。3例2.橢圓ax2 by2 = 1與直線x y =1相交于A, B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，2若| AB |=2、. 2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為二，求a,b的值。22 2例3.橢圓 L I 1的焦點(diǎn)分別是F1和F2，過(guò)中心O作直線與橢圓交于 A, B兩點(diǎn)，若4520. ABF2的面積是20,求直線方

8、程。(三) 弦所在直線方程x2 y2例1.已知橢圓1，過(guò)點(diǎn)P(2,0)能否作直線I與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是P ；164例2.已知一直線與橢圓4x2 9y2二36相交于A, B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 M (1,1)，求 直線AB的方程；例3.橢圓E中心在原點(diǎn)O ,焦點(diǎn)在x軸上，其離心率e = P，過(guò)點(diǎn)C(-1,0)的直線I與橢圓 3E相交于A, B兩點(diǎn)，且C分有向線段 AB的比為2(1)用直線l的斜率k(k =0)表示 OAB的面積；(2)當(dāng) OAB的面積最大時(shí)，求橢圓 E的方程.2=1上的三點(diǎn),F為橢圓的左焦點(diǎn),2 x 4.已知 A(X1,yJ, B(1,y),C(X2, y?)是橢圓一

9、4且AF , BF , CF成等差數(shù)列，則 AC的垂直平分線是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。(四) 關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題2 2x y例1.已知橢圓1，試確定m的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線43y = 4x m對(duì)稱；22例2.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 6，離心率e，試問(wèn)是否存在直31線I，使I與橢圓交于不同兩點(diǎn) 代B，且線段AB恰被直線x =平分？若存在，求出直2線I傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。題型十.最值問(wèn)題例1 若P( 2,F2為橢圓2x252丄=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求MP16MF2的最大值和最小值。2 2結(jié)論1：設(shè)橢圓-豈=1的左右焦點(diǎn)分別為

10、F1,F2, P(xM1M(x,y)為F2a b 橢圓上任意一點(diǎn)，貝V MP + MF2的最大值為2a+|PFi，最小值為2a PF1 ；2 2例2. P(_2,6) , F2為橢圓 + =1的右焦點(diǎn)，點(diǎn) M在橢圓上移動(dòng)，求 MP + MF2的 2516最大值和最小值。2 2論2設(shè)橢圓 篤爲(wèi)=1的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2，P(Xo,yo)為橢圓外一點(diǎn)，M (x, y)為橢 a b圓上任意一點(diǎn)，貝V MP +|MF2的最大值為2a+|PF!，最小值為PF2;2二次函數(shù)法2 2例3.求定點(diǎn)A(a,0)到橢圓 篤-再=1上的點(diǎn)之間的最短距離。a b22結(jié)論3：橢圓 二 與 =1上的點(diǎn)M (x,y)到

11、定點(diǎn)A(m,O)或B(O,n)距離的最值問(wèn)題，可以用a b兩點(diǎn)間距離公式表示丨MA丨或丨MB | ,通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上消去R或R,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3. 三角函數(shù)法2例4求橢圓 y2 = 1上的點(diǎn)M (x, y)到直線丨：x 2y = 4的距離的最值；422 2結(jié)論4:若橢圓X- - y- = 1上的點(diǎn)到非坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離求最值時(shí)，可通過(guò)橢圓的參數(shù)a2 b2方程，統(tǒng)一變量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值。4. 判別式法例4的解決還可以用下面方法結(jié)論5:橢圓上的點(diǎn)到定直線 l距離的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為與I平行的直線 m與橢圓相切的問(wèn) 題,利用判別式求出直線 m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。2 2例5.已知定點(diǎn)A(_2, *3)，點(diǎn)F為橢圓1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在該橢圓上移動(dòng)時(shí)，16 12求AM|+2 MF的最小值，并求此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)；(第二定義的應(yīng)用)題型一 .軌跡問(wèn)題例1到兩定點(diǎn)(2,1) , ( -2, -2)的距離之和為定值 5的點(diǎn)的軌跡是()A . 橢圓E.雙曲線 C.直線 D.線段例2.已知點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)P在圓x2 y2 =1的