高中數(shù)學必修三之知識講解_用樣本估計總體_基礎(chǔ)

1、用樣本估計總體【學習目標】1.在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.2.通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準確地做出總體估計.3.正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差.4.能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理的解釋.5.會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征.【要點梳理】要點一、頻率分布的概念頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.其一般步驟為：1.計

2、算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差2.決定組距與組數(shù)3.將數(shù)據(jù)分組4.列頻率分布表5.畫頻率分布直方圖要點詮釋：頻率分布直方圖的特征：1.從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.2.從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.要點二、頻率分布折線圖、總體密度曲線1.頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.2.總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，樣本容量越大，所分組數(shù)越多，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.要點詮釋：總體密度曲線能夠精確

3、地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細的信息，能夠精確的反映一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.要點三、莖葉圖當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.要點詮釋：莖葉圖的特征：(1)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是在統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示.(2)莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然

4、能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰.要點四、眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)1.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).如果變量是分類的，用眾數(shù)是很有必要的.例如班委會要作出一項決定，考察全班同學對它贊成與否就可以用眾數(shù).2.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)(或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做中位數(shù).中位數(shù)把樣本數(shù)據(jù)分成了相同數(shù)目的兩部分.3.平均數(shù)n1樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x=1(x+x+2+x).n要點詮釋：由于眾數(shù)僅能刻畫某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)較多，中位數(shù)對極端值不敏感，而平均數(shù)又受極端值左右，因此這些因素制約了僅依賴這些數(shù)字特征來估計總體數(shù)字特征的準確性.要點五、標準差與方差1.標準

5、差樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的標準差的算法：(1)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x.2(2)算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：x-x(i=1，n)i2(3)算出(2)中x-x(i=1，n)的平方.i(4)算出(3)中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差.(5)算出(4)中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標準差.其計算公式為：n+(xs=1(x-x)2+(x-x)2+12n-x)2從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方s(即方差)來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度2.方差2的工具：n+(xs2=1(x-x)2+(x-x)2+12n-x)2要點詮釋：在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決

6、實際問題時，一般多采用標準差.數(shù)據(jù)的離散值程度可以用極差、方差或標準差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度；樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大??；樣本方差的算術(shù)根表示樣本的標準差，它也描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度.【典型例題】類型一：頻率分布表、頻率分布直方圖（例11）為了幫助班上的兩名貧困生解決經(jīng)濟困難，班上的20名同學捐出了自己的零花錢，他們的捐款數(shù)（單位：元）如下：19，20，25，30，24，23，25，29，27，27，28，28，26，27，21，30，20，19，22，20班主任老師準備將這組數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖，以表彰他們的愛心制圖時先計算最大值與最小值的差是_，若取組

7、距為2，則應(yīng)分成_組；若第一組的起點定為18.5，則在26.5，28.5）內(nèi)的頻數(shù)為_（2）將容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)拆分為10組，若前七組的頻率之和為0.79，而剩下的三組中頻率依次相差0.05，則剩下的三組中頻率最大的一組的頻率為_【答案】（1）1165（2）0.12【解析】（1）由題意知，極差為3019=11；由于組距為2，則115.5不是整數(shù)，所以取6組；捐款2數(shù)落在26.5，28.5）內(nèi)的有27，27，28，28，27共5個，因此頻數(shù)為5（2）設(shè)剩下的三組中頻率最大的一組的頻率為x，則另兩組的頻率分別為x0.05，x0.1因為頻率總和為1，所以有0.79+(x0.05)+(x0.1

8、)+x=1，解得x=0.12，所以應(yīng)填0.12【總結(jié)升華】此類題主要考查在應(yīng)用頻率分布來估計總體的過程中的相關(guān)計算問題，其中常用到的就是樣本頻率的計算：頻率=頻數(shù)樣本容量，還要注意此公式的一些變形應(yīng)用舉一反三：【變式1】如圖是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空（1）樣本數(shù)據(jù)落在6，10）內(nèi)的頻率為_；（2）樣本數(shù)據(jù)落在10，14）內(nèi)的頻數(shù)為_高清課堂：用樣本估計總體400450例1例2對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命h個數(shù)1002002020030030300400804005004050060030（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估

9、計該電子元件壽命在100400h以內(nèi)的占總體的比例；（4）估計該電子元件壽命在400h以上的在總體中占的比例【思路點撥】理解頻率分布直方圖的具體含義.【解析】（1）樣本頻率分布表如下：壽命h100200200300300400400500500600合計（2）頻率分布直方圖如下圖所示；頻數(shù)2030804030200頻率0.100.150.400.200.151（3）估計該電子元件壽命在100400h以內(nèi)占總體的比例為65；（4）估計該電子元件壽命在400h以上的在總體中占的比例為35【總結(jié)升華】本題主要考查對頻率分布直方圖的理解，只有熟悉它的特征，才能清楚數(shù)據(jù)分布的總體趨勢，根據(jù)直方圖反映的信

10、息正確解題學生在理解頻率分布直方圖時，縱向坐標易錯，往往理解成頻率，而應(yīng)該是頻率/組距.舉一反三：【變式1】某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如下圖所示）根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3000名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生數(shù)是_【變式2】在學校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間為5月1日至30日，評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如下圖所示）已知從左到右各長方形的高的比為234641，第三組的頻數(shù)為12，請解答下列問題：（1

11、）本次活動共有多少件作品參加評比？（2）哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？（3）經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，問這兩組哪組獲獎率較高？【答案】（1）60（2）四組18（3）六組【解析】（1）依題意知第三組的頻率為第三組的頻數(shù)為12，41=2+3+4+6+4+15本次活動的參評作品數(shù)為1215=60件）（3）第四組的獲獎率是10（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共有60（件）5=，18962+3+4+6+4+1=18第六組的獲獎率為2第六組上交的作品數(shù)量為606=3912+3+4+6+4+1=3（件），顯然第六組的獲獎率較高類型二：眾數(shù)、中位數(shù)、平均

12、數(shù)例3（2014年福建永春縣自主招生）從2013年5月29日開始的一周內(nèi)，某地每天的最高氣溫依次是（單位：）：30，30，34，33，33，31，33，求這7個數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)【答案】33，33【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排列為：30，30，31，33，33，33，34，眾數(shù)為33；中位數(shù)為33舉一反三：【變式1】某射擊手打靶10次，所中環(huán)數(shù)分別為7，8，7，9，9，9，10，6，9，5求下列各特征數(shù)并加以解釋：（1）眾數(shù)；（2）中位數(shù)；（3）平均數(shù)【解析】（1）眾數(shù)是9眾數(shù)是9，這說明該射擊手每次射擊射中9環(huán)的可能性較大（2）將10個數(shù)據(jù)按小到大的順序排列有5，6，7，7，8，9，9，9，9，l

13、0中位數(shù)是9+8=8.52中位數(shù)是8.5，這說明該射擊手每次射擊以8.5環(huán)為等分線，即射中08環(huán)和910環(huán)的可能性大體上相當（3）平均數(shù)是x=7+8+7+9+9+9+10+6+9+510=7.9x甲=（10.2+10.1+l10.1）=100=10，x乙=（10.3+10.4+l+10）=10=10.110110平均數(shù)是7.9，這說明該射擊手每次射出的水平近似于8環(huán)類型三：方差、標準差高清課堂：用樣本估計總體400450例2例4甲、乙兩臺機床在相同的技術(shù)條件下,同時生產(chǎn)一種零件,現(xiàn)在從中抽測10個,它們的尺寸分別如下（單位:mm)甲機床：10.210.110.09.89.910.39.710.

14、09.910.1乙機床：10.310.49.69.910.110.98.99.710.210.0分別計算上面兩個樣本的平均數(shù)和方差.如圖紙規(guī)定零件的尺寸為10mm，從計算的結(jié)果來看哪臺機床加工這種零件較合適？【思路點撥】先分析甲、乙機床的平均數(shù)，若平均數(shù)基本接近，再考慮兩機床的穩(wěn)定程度.【解析】1110101110102+22s2=（10.2-10）（10.1-10）+l（10.1-10）=0.03mm2甲2+22s2=（10.3-10）（10.4-10）+l（10-10）=0.06mm2.乙甲s乙s22用甲機床比乙機床穩(wěn)定，即用甲機床加工較合適.舉一反三：【變式1】（2015春吉林延邊州期末

15、）對甲、乙的學習成績進行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測值如下：甲乙60808060707090807075問：甲、乙誰的平均成績好？誰的各門功課發(fā)展較平衡？【答案】甲的平均成績較好，乙的各門功課發(fā)展較平衡【解析】x甲=15(60+80+70+90+70)=74，x乙=(80+60+70+80+75)=73，55151s2=(142+62+42+162+42)=104，甲1s2=(72+132+32+72+22)=56，乙22x甲x乙，s甲s乙，甲的平均成績較好，乙的各門功課發(fā)展較平衡類型四：莖葉圖例5某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分情況如下：甲的得分：12，15，24，25，31，

16、31，36，36，37，39，44，49，50；乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51（1）畫出甲、乙兩名運動員得分數(shù)據(jù)的莖葉圖；（2）根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩運動員的水平【思路點撥】莖葉圖便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)【解析】（1）作出莖葉圖如右圖所示（2）由莖葉圖可以看出，甲運動員的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是36；乙運動員的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是26因此甲運動員的發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙運動員好（【總結(jié)升華】當數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖分析問題的突出優(yōu)點是：1）保留原始信息2）隨時記錄用莖葉圖分析數(shù)據(jù)可以運用數(shù)據(jù)分布的對稱情況，集中分散情況來分析總體情況舉一反三：高清高清課堂：用樣本估計總體400450例3【變式1】隨機抽取某中學甲乙兩班各10名同學,測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;