第12章習(xí)題解答

1、平幾習(xí)題集解答第一章習(xí)題練習(xí)1（面積法）1 已知：點(diǎn)e、f分別在平行四邊形abcd的邊dc和bc上，且ae=af，dgaf，bhae，g、h是垂足。求證：dg=bh。證明：連df、be，那么所以 。但af=ae，于是bh=dg。2. 設(shè)ad為abc的中線，f為ad的中點(diǎn)，連結(jié)bf并延長交ac于e。求證：ec=2ae。證明：因?yàn)閎d=dc，af=fd，故。3已知平行四邊形abcd中，e、f分別在cd、ad上，ae和cf相交于g，且ae=cf。求證：gb平分agc。證明：連be、bf，則。另一方面，所以 sinbgc=sinagb，即bgc=agb。所以bg平分agc。4p是abc中a的平分線上任

2、意一點(diǎn)。過c引ce/pb，交ab的延長線于e，過b引bf/pc，交ac的延長線于f。求證：be=cf。 證明：如圖，故 所以be=cf。5e、f是任意四邊形abcd的對邊ad、bc的中點(diǎn)，m為對角線bd延長線上任一點(diǎn)。若直線me、mf分別與ab、cd相交于p、q兩點(diǎn)。求證：ef平分pq。證明：由p、e、m共線，得，故。由f、q、m共線，得，故。所以 。因?yàn)閍e=ed，bf=fc，所以pn=nq。6ad是abc的中線，過b點(diǎn)的直線交ad于e，交ac于f。求證：。證明：因?yàn)閏d=db，所以。7p是平行四邊形abcd對角線bd上任一點(diǎn)，peab于e，pfbc于f。求證：pe ：pf = bc ：ab

3、。證明：因?yàn)閍bcd是平行四邊形，故。另一方面，由peab，pfbc，知，所以 。8abc中，acb=900，ac=bc，d為bc中點(diǎn)。作cead，分別交ab、ad于e、f。求證：ae=2be。證明：因 為cd=bd，故。另一方面，accd，cfad，故afccfd。所以。故ae=2eb。9已知：在abc中，ab=ac，p為bc上任意一點(diǎn)，pdab于d，peac于e，bf是ac邊上的高。求證：pd+pe=bf。證明：連ap，那么由，得 acbf=abpd+acpe。又因?yàn)閍b=ac，所以pd+pe=bf。10設(shè)o是abc內(nèi)任一點(diǎn)，ao、bo、co的延長線分別交對邊于d、e、f。求證：。 證明：

4、如圖，11設(shè)線段oa的中點(diǎn)為m，過a的任意直線與過o的任意（位于oa的兩側(cè)）的兩直線分別相交于p、q，q在線段ap上，pm與oq交于r，qm與op交于s。求證：。證明：因?yàn)閙是oa的中點(diǎn)，故根據(jù)平行四邊形pnrq的調(diào)和性知nq/oa。同理，pt/oa。于是所以 。 12在abc的邊ab、ac上分別取點(diǎn)d、e，使de/bc，在ab上取點(diǎn)f，使。求證：ad2=abbf。 證明：因?yàn)?sade=sbfc，2sade=addesinade，2sbfc=bfbcsinb，所以 addesinade=bfbcsinb。由因?yàn)?de/bc，所以ade=b，所以，即 ad2=abbf。13ad是rtabc的斜

5、邊bc上的高，e是cb的延長線上一點(diǎn)，且eab=bad。求證：。證明：abac，ab平分dae，所以 。另一方面，aebcea。所以。所以 。14過平行四邊形abcd的頂點(diǎn)a引直線交bd于p，交dc于q，交bc的延長線于r。求證：。證明：因?yàn)閍d/bc, ab/cd，所以pqdpab。從而。15已知：at與abc的外接圓相切于a，與cb的延長線交于t。求證：。 證明：因?yàn)閠a是切線，所以tabtca，所以。練習(xí)2（代數(shù)法）1. 在銳角abc中，ad、ce是兩條高，交點(diǎn)為h，且ad=bc，m是bc邊的中點(diǎn)。求證：mh+dh是bc的一半。證明：設(shè)ad=bc=2x，md=y。易知cdhadb，從而有

6、 ，即有 （1） 。又由勾股定理得 ，即 （2）。（1）+（2）得 。所以 。2. abc為等邊三角形，點(diǎn)d、e、f分別在bc、ac、ab上。求證：def的周長abc的周長之半。證明：如圖，設(shè)abc的邊長為a，af=x,，bd=y,，ce=z，ef在bc邊上的投影為mn，那么同理，。所以 。所以def的周長abc的周長之半。3. 已知a、b、c和a, b, c分別為abc和abc的三邊，且對于任意實(shí)數(shù)x都為定值。求證：abcabc。證明：設(shè)定值為m（0），那么，即 。因?yàn)榇耸綄θ我鈱?shí)數(shù)都成立，所以。所以 ，從而 abcabc。4ab是o的直徑，過a、b引圓的切線ad、bc，又過弧ab上任一點(diǎn)e

7、的切線與ad、bc相交于d、c。求證：2oecd。證明：過o作om/bc交cd于m，則m是cd的中點(diǎn)。因?yàn)閛ecd，所以oeom。由梯形的性質(zhì)得，所以 2oecd。5abcd是圓內(nèi)接四邊形，對角線acbd。求證：2sabcd = bcad+adbc。證明：根據(jù)托勒密定理知adbc+abdc=acbd。因?yàn)?acbd，所以 2sabcd= acbd。所以 adbc+abdc=2sabcd。6一個給定的凸五邊形abcde有下列性質(zhì)：abc、bcd、cde、dea、eab的面積都等于1。證明：每一個具有上述性質(zhì)的不全同的五邊形都有相等的面積。證明：因?yàn)閟abe = sade，所以bd/ae，從而sa

8、bf = sdef。同理，ac/de，ad/bc。設(shè)ad與be交于點(diǎn)f，則四邊形bcdf是平行四邊形，故sbdf =1。設(shè)sabf = x，那么由知 。由此解得 。所以 。7已知：pa、pb分別切o于a、b兩點(diǎn)，e、f分別為pa、pb的中點(diǎn)，連結(jié)ef交po于q點(diǎn)，qh切o于h點(diǎn)。求證：pq=qh。證明：因?yàn)閑、f分別為pa、pb的中點(diǎn)，故 2pq=pr。所以 qh2=oq2 r2=oq2 orop =(qr+or)2 orop=qr2+2qr or+or2 orop = qr2+or(2qr+or op)=qr2所以 qh=qr=pq。8ab是o的直徑，p是o上任意一點(diǎn)，且pcab于c。以p為

9、圓心，pc為半徑的圓與o相交于d、e，de與pc交于m。求證：m是pc的中點(diǎn)。證明：因?yàn)?dmme=dm(2pc pm)=cm(2pc cm),所以 2pcpm pm2=2pccm cm2，即2pc(pm cm)=( pm cm)(pm+cm)。 因?yàn)?pm+cm=pc，所以pm cm=0，即 pm=cm，故m為pc的中點(diǎn)。9設(shè)abc的內(nèi)切圓與邊ac相切于f，且abbc=2cffa。求證：abc是直角三角形。證明：因?yàn)閍bbc=2cffa，所以。于是有 rp=(p-c)(p-a)sinb，rp2=p(p b )(p a )(p c )sinb=r2p2sinb，故 p b = rsinb。因?yàn)?/p>

10、 ，所以 ，解得b=900。故abc是直角三角形。10abc中，a=900，以bc為一邊向外作正方形bcde，連結(jié)ad、ae與bc交于f、g。求證：bf2+cg2+fg2=bc2。證明：因?yàn)閍=900，四邊形bcde是正方形，故即 。 ，即 。 ， 即 。 由、解得從而因?yàn)?，所以 bf2+cg2+fg2=bc2。11圓中三弦兩兩相交于p、q、r。若pa=qe=rd，pc=qb=rf。求證：pqr為等邊三角形。證明：由pq+ap+qb=pr+pc+rd=qr+qe+rf， pa=qe=rd，pc=qb=rf，解得 pq=rp=qr。所以pqr為等邊三角形。12在abc中，d、e分別是bc、ab

11、上的點(diǎn)，連結(jié)de，且b=cad=ade。abc、ebd、adc的周長依次為m、m1、m2。求：的范圍。證明：因?yàn)閎=cad=ade，所以de/ac。設(shè)bd=bc，則m1=m。由acdbca，知，故。所以 。13 p 為o外一點(diǎn)，pn是o的切線，切點(diǎn)為n，m為pn的中點(diǎn)。過p、m作o1，與o相交于a、b兩點(diǎn)，ba的延長線交pn于q。求證：mq：qn：pm：pq=1：2：3：4。 證明：如圖，qmqp=qaqb=qn2，所以。由此得 ，即 ，qp=2qn。于是 。設(shè)pn=6t, 則 qm=t, qn=2t, pm=3t, pq=4t，所以mq：qn：pm：pq=1：2：3：4。14兩等圓o、o 相

12、交于p、q兩點(diǎn)，并且一圓經(jīng)過另一圓的圓心，pq交oo于a點(diǎn)，o與o內(nèi)切，與o外切，并在oo的p點(diǎn)的一側(cè)與oo相切于c點(diǎn)，bc是o的直徑。求證：bcap是正方形。證明：如圖，設(shè)等圓的半徑為r，另一圓的半徑為r，co=x，那么(r + r )2 = r 2 + (x + r)2，(r r )2 = r 2 + x2,即 2rr = x2 +2xr，r2 2rr = x2。解得 。所以 于是由apac，bcac知四邊形acbp是正方形。 練習(xí)3（三角函數(shù)法）1 在abc中，ab=ac，p為bc上任一點(diǎn)，pdab，垂足為d，peac，垂足為e，cgab，垂足為g。求證：pd+pe=cg。證明：因?yàn)閍b

13、=ac，故b=c，由知pd+pe=sinb(bp+pc)=bcsinb=cg。2 在abc中，acb=900，cdab于d。求證：。證明：因?yàn)閍cb=900，cdab，所以 。所以 。 3. 在abc中，acb=900，p為bc中點(diǎn)，pdab，垂足為d。求證：ad2 bd2 = ac2。證明：因?yàn)閍cb=900，p為bc中點(diǎn)，pdab，所以所以 4已知在abc中，ab=ac，a=900，d在ab上，e在ac上，。求證：ade=ebc。證明：如圖，故 。由此解得 。所以ade=ebc。5abc的兩條高ad、be相交于h，延長ad交外接圓于k。求證：hd=dk。證明：如圖，所以 hd=dk。6以o

14、上一點(diǎn)為圓心作o，記o與o的一個交點(diǎn)為a，o的直徑ab交o于c。求證：abac=2oc2。證明：如圖，作od垂直ac于d，則由oa=oc可知ad=dc。于是由射影定理得，即 abac=2oa2=2oc2。 另證：由知 abac=2oa2=2oc2。7過正方形abcd的頂點(diǎn)a，任作一直線交bc于e，交dc的延長線于f。求證：。 證明：如圖，aecosbae=ab, afsinbae=ad=ab，所以 ，即 。8在rtabc中，a=900，adbc，垂足為d，bc上有一點(diǎn)e，且be=cd，過a、d、e三點(diǎn)作圓，并過b作圓的切線，切點(diǎn)為f。求證：。證明：如圖，因?yàn)閍=900，adbc，故bdcd=a

15、d2，dab=c。那么 所以 。9在矩形abcd中，過a作對角線bd的垂線ap，垂足為p，過作bc、cd的垂線pe、pf與bc、cd分別交于e、f。求證：ap3=bdpepf。證明：如圖，記adb=，那么bap=pbe=dpf，故所以 ap3=bdpepf。10設(shè)abcd是已知o的內(nèi)接矩形，過a作該圓的切線，與cd、cb的延長線交于e、f。求證：。證明：如圖，記adb=，那么fab=aed，故。所以 。11已知：半圓的直徑ab，半圓外的直線l與ba的延長線垂直，垂足為t（atbc，b=450，o和i分別是三角形abc的外心和內(nèi)心，且，求sina 。 （198年，中國數(shù)學(xué)奧林匹克）證明：如圖，設(shè)

16、o、i分別為abc的外心和內(nèi)心，d、e分別為o、i在bc上的投影，那么。（1）當(dāng)oiab時，由i在ab的中垂線上可知abi是等腰三角形，于是 abi=bai。所以a=2bai=2bai=b=450，即。（2）當(dāng)oi/ab時，有 所以 ?；?，得 因?yàn)閎=450，故a+c=1350。所以。所以 。于是 。綜上所述，或 。14. 如圖，在abc中，acb450，d為ac上一點(diǎn)且adb600，ab切bcd的外接圓于b，求證：ad ：dc2 ：1。 證明：因?yàn)閍cb450，adb600，ab切bcd的外接圓于b，所以cbd150，abd450，a750。 根據(jù)正弦定理知。于是有 。所以ad ：dc2

17、：1。第二章證題術(shù)練習(xí)1（線段相等）1. 證明：等腰三角形兩底角的平分線相等；兩腰上的中線也相等。證明：如圖，設(shè)ab=ac，be、cf分別是abc與acb的平分線，那么由abc=acb，ebc=fcb，bc=bc知bcecbf，所以be=cf，即等腰三角形兩底角的平分線相等。再設(shè)be、cf分別是ac、ab邊上的中線，那么由abc=acb，bf=ce，bc=bc知bcecbf。所以be=cf，即等腰三角形兩腰上的中線相等。2. 正方形abcd中，e、f分別是邊cd、da的中點(diǎn)。連be與cf交于點(diǎn)p，求證：apab。證明：因?yàn)閑、f分別是邊cd、da的中點(diǎn)，故bcecdf，從而becf。過a作be

18、的垂線分別交be、bc于h、g，那么abgbce，故bg=cg。根據(jù)gh/cp知bh=hp。所以abp是等腰三角形，且ap=ab。3. 正方形a1b1c1d1在正方形abcd內(nèi)，又a2b2c2d2分別是aa1、bb1、cc1、dd1的中點(diǎn)，求證：a2b2c2d2也是正方形。證明：設(shè)o是正方形a1b1c1d1和正方形abcd的相似中心，那么oa1aob1b，故。因?yàn)閍2、b2分別是aa1與bb1的中點(diǎn)，從而，所以 oa1a2ob1b2。于是由oa1與ob1垂直且相等知oa2與ob2垂直且相等。 同理，oc2與ob2垂直且相等，oc2與od2垂直且相等。所以a2b2c2d2是正方形。4. 在等邊a

19、bc中，延長bc至d，延長ba至e，且使aebd，求證：cede。證明：過e作efbd于f，那么由知cf=fd，即f是cd的中點(diǎn)。所以cde是等腰三角形，且ce=de。5. 銳角abc的高交于點(diǎn)o，在線段ob和oc上各取點(diǎn)b1和c1，使得ab1c=ac1b=900。求證：ab1=ac1。證明：因?yàn)閎eac，cfab，所以b、c、e、f共圓，故aeac=afab。又因?yàn)閍b1cb1，ac1bc1，所以，故ab1=ac1。6. 已知一個三角形三個角的比為1：2：4,求證：角平分線與對邊的交點(diǎn)是一個等腰三角形的頂點(diǎn)。證明：如圖，設(shè)ad、be、cf分別是a、b、c的平分線，則。 （1）因?yàn)閐ac=dc

20、a，fcb=fbc，afi=fai，aie=aei，所以 ad=dc，bf=cf，fi=ai=ae。 （2）由adbcab知 ，故 。 （3）由（1）、（3）可得 （4）由aiccab知 ，故 ，即 ab+bc=ac。 （5）由afcacb知 ，故 ，即 b(a+b)=c2。 （6）又由等腰三角形的性質(zhì)知， （7）（8）由（7）和（8），即得 de=df，即def是等腰三角形。7. 已知等腰abc底邊上的高為ah，從一條邊上的點(diǎn)p向另兩條邊作垂線pd、pe，若ahpd+pe，求證：abc為正三角形。證明：如圖，因?yàn)閍b=ac，故pd+pe=bf=ah，所以 ac=bc，從而ab=bc=ca，即

21、abc為正三角形。8. 以任意三角形的邊為底向形外作底角為300的等腰三角形abc、bca、cab。求證：abc是正三角形。證明：設(shè)ab=x, ca= y, bc=z，因?yàn)閍bc、bca、cab都是底角為300的等腰三角形，所以。同理，所以ab= bc= ac，即abc是正三角形。9. 已知abc的高ad、be交于h，abc、abh的外接圓分別為o和o1，求證：o和o1的半徑相等。證明：因?yàn)閍d、be分別是abc的高，故bhc+a=1800。所以o和o1的半徑分別為。所以o和o1的半徑相等。10. 若一個圓外切四邊形有一對對邊相等，求證：圓心到另一對對邊中點(diǎn)的距離相等。 證明：如圖，設(shè)ab=c

22、d，h、f分別為ad與bc的中點(diǎn)，e、g為切點(diǎn)，那么。因?yàn)閍bcd是o的外切四邊形，故ad+bc=ab+cd=2ab，ae+dg=ad，be+cg=bc，所以所以oh=of，即圓心到另一對對邊中點(diǎn)的距離相等。練習(xí)2（角相等）1. 在abc中，acbc，acb900, d是ac上一點(diǎn)，且ae垂直bd的延長線于e，又2aebd，求證：bd是abc的平分線。證明：因?yàn)閍cbc，acb900，2aebd，所以。于是 。由積化和差公式可得。所以sin(abd abd)=0，即abd =abd。所以bd是abc的平分線。2. 從abc的頂點(diǎn)b、c分別作a的平分線的垂線，垂足為d、e，直線be與cd相交于p

23、。求證：ap平分a的外角。證明：如圖，連ap，因?yàn)閍d是a的平分線，cead，bdad，所以ce/bd，且aecadb。于是。所以ap/ce，故apad。所以ap平分a的外角。3. 在abc中，c900, d是ab上一點(diǎn)，作debc于e，使beac，且2bd1，又de + bc1,求證：abc300。證明：因?yàn)閐e/ac，故bdebac。所以。因?yàn)閎e=ac，故 。由 de+bc=1知，由此即得 ac2+bc2=bc。 （1）又由 bd2 = be2 + de2 = ac2 + (1 bc)2 = ac2 +bc2 +1 2bc = ab2 +1 2bc得。 （2）由（1）、（2）解得 。所以

24、 ，故b=300 。4. 在凸四邊形abcd的邊bc上取兩點(diǎn)e、f（e比f離b較近），若baecdf，且eaffde，求證：facedb。證明：因?yàn)?a(bf, ce)=(bf, ce)=d(bf, ce)，故。因?yàn)閎aecdf，eaffde，所以，即。解得 facedb。5. 在四邊形abcd中，對角線ac平分bda，在cd上任取一點(diǎn)e，連be交ac與f，延長df交bc與g。求證：gaceac。證明1 如圖，過a作ac的垂線ah，連bd分別交ac、ah于i、h。根據(jù)角平分線的性質(zhì)知（bd，ih）=1。連ge交ah于h，交ac于j。根據(jù)完全四角形cefg的調(diào)和性知（bd，ih）=1，由 （bd

25、，ih）=（bd，ih）知h與h 重合。由ac與ah垂直，且（ge，jh）=（bd，ih）=1知ac與ah是gae的內(nèi)外平分線。所以 gac=eac。證明2：如圖，過c作ab的平行線交ag的延長線于k，過c作ad的平行線交ae的延長線于l，那么 (i)又aj平分bad，故 (ii)因?yàn)閏j、be、dg共點(diǎn)，故根據(jù)塞瓦定理知 (iii)由(i), (ii), (iii)得，即ck=cl。另一方面，因?yàn)閍c平分bad，故，同理 ，即有ack=acl。由ck=cl，ac=ac，ack=acl，知 ackacl，所以gac=eac。6. 在平行四邊形abcd中，e為ad上一點(diǎn)，f為ab上一點(diǎn)，且bed

26、f，be與df交于g，求證：bgcdgc。證明：如圖，連ce、cf，作cldf于l，cmbe于m，作fjcd于j，ekbc于k，那么sbec=sabcd/2= sdfc。因?yàn)? sbec=becm，2 sdfc=dfcl，be=df，故cl=cm。從而rtclgrtcmg。所以bgcdgc。7. 設(shè)o是平行四邊形abcd內(nèi)一點(diǎn)，且aob+cod1800。求證：obcodc。證明：過c作co/bo，過d作do/ao，兩線交于o，那么abodco。故aobdoc，且aood、booc都是平行四邊形。因?yàn)閍ob+cod1800，所以doc +cod1800，所以o、c、o、d共圓。所以odcooc=

27、obc。8. 梯形abcd中，ab/cd，abcd，k、m分別是腰ad、bc上的點(diǎn)，若damcbk，求證：dmackb。證明：因?yàn)閐amcbk，所以、m共圓。故dkmcba，akbamb。因?yàn)閍b/cd，所以dcm+cba1800，于是dcm+dkm1800，從而d、c、m、k共圓。所以dkcdmc。于是ckb=1800 akb dkb=1800 amb dmc=dma。9. 在四邊形abcd中，adbc，e、f分別為ab、cd的中點(diǎn)，延長ad、bc分別交ef的延長線于h、g，求證：ahebge。證明：如圖，連bd，取bd的中點(diǎn)m，連em、fm。因?yàn)閑、f分別為ab、cd的中點(diǎn)，故em/ad,

28、 fm/bc，且2em=ad，2fm=bc。因?yàn)閍d=bc，所以em=fm。于是mefmfe。所以 ahemefmfe=bge。10. 正方形abcd中，e為ad中點(diǎn)，f為ed中點(diǎn)。求證：fbc2abe。證明：不妨設(shè)ab=4，那么ae=2，ef=fd=1。所以。由 ，即得fbc2abe。練習(xí)3（平行于垂直）1. 在abc中，bac900, abac，m為ac中點(diǎn)，n在bc上，且bn2nc。求證：anbm。證明：過n作nd/ab交ac于d，則cd=dn。又2cn=bn，故2cd=ad。由abac，addn，知bamadn，所以anbm。2. 已知abc和ade都是等腰直角三角形，b、d都在aec

29、內(nèi)部，m是ec的中點(diǎn)。求證：bmdm。證明：過c作cfbd于f，過e作egbd于g，過a作anbd于n，那么由ab=bc，anb=900=bfc，ban=cfb，知anbbfc。同理，anddge。于是m到bd的距離就是梯形cfge的中位線，它等于cf與eg的半和即bd的一般，所以bmd是等腰直角三角形。所以bmdm。3. 設(shè)d是等腰直角abc底邊bc的中點(diǎn)，p是直線bc上的任意一點(diǎn)。引peab于e，pfac于f。求證：de與df垂直且相等。證明：因?yàn)閏f=fp=ae，ad=dc，dae=1350=dcf，所以adecdf。那么由addc，即知dedf。所以de與df垂直且相等。4. 設(shè)o與o

30、外切于p，一條外公切線分別切o與o于m、n。過p任作直線分別交o與o于a、b。求證：ambn。證明：如圖，延長mo交o于c，連oa、ac、oc、on、nb、ob，易知on/oc，ob/oa，故bon=aoc。所以 aocbon。所以ac/bn，所以acam。5. 作圓內(nèi)接四邊形對邊所在的直線所成之角的平分線，求證：所得四線交成一個矩形。證明：如圖，易知prps，qrqs。又所以四邊形psqr是矩形。6. 已知bd、ce分別為abc的b、c的外角平分線，且adbd于d，aecd于e，求證：de/bc。證明：如圖，延長ec、db交于ia，過ia作iafbc于f，那么。故 。同理，。所以 。所以de

31、/bc。7. 在abc的中線ad上任取一點(diǎn)p，直線cp和ab交于e點(diǎn)，直線bp和ac交于f點(diǎn)。求證：ef/bc。證明：如圖，由塞瓦定理知。因?yàn)閎d=dc，所以。所以ef/bc。8. 在abc中，設(shè)bc的中垂線交直線ab于d，自a、c作abc的外接圓的切線交于e。求證：de/bc。證明：如圖，連cd，則dae =acb =bcd acd =bacd =aceacd=dce所以 a、c、e、d共圓。所以cde =cae =dbc=dcb，故de/bc。9. 在abc中，a角的平分線交bc于d。過a作一圓切bc于d而交ab、ac于e、f。求證：ef/bc。證明：如圖，連de，則cda=dea。故b

32、+bad=aef+fed=aef+dac。因?yàn)閐a平分bac，所以bad=dac。于是 b=aef。 所以ef/bc。10. 以平行四邊形abcd的對角線ac為一邊在其兩側(cè)各作一個正三角形acp和acq。求證：bpdq為平行四邊形。證明：如圖，因?yàn)閍b與cd平行且相等，ap與cq平行且相等，所以bapdcq，故bp=dq。又因?yàn)閍b與cd平行且相等，cp與aq平行且相等，所以cdpabq，故bq=dp。所以四邊形bpdq為平行四邊形。練習(xí)4（和差倍分、線段之積）1如圖，p是正方形abcd內(nèi)一點(diǎn)，滿足ap=1，bp=2，cp=3，求正方形abcd的面積。解：由 解出a2即可。2已知：以af為直徑

33、的o與以oa為直徑的o1內(nèi)切于a，adf內(nèi)接于o，dbfa于b交o1于c，連結(jié)ac并延長交o于e。求證：（1）ac=ce；（2）ac2=db2 bc2 。證明：（1）兩圓內(nèi)切于a，故a是兩圓的外位似中心，所以ac與ae之比為兩圓的半徑之比，即1：2，故ac=ce。（2）因?yàn)閍df、aco都是直角三角形，且bdaf，那么根據(jù)射影定理可得 ac2=abao，bc2=abbo。所以 ac2+ bc2=abao+abbo=ab(ao+bo)=ab(bo+of)= abbf=bd2。即ac2 = bd2 bc2。3已知：o1與o2內(nèi)切于點(diǎn)p，o2的弦ab切o1于點(diǎn)c，連結(jié)pa、pb，其延長線交o1于點(diǎn)d

34、、e。求證：pc2 = papb acbc 。證明：因?yàn)閛1與o2內(nèi)切于點(diǎn)p，故p是兩圓的外位似中心，故，所以de/ab。 連de，則dpc=dec=ecb=cpe，即pc平分apb，那么根據(jù)第4題的結(jié)論可得 pc2 = papb acbc 。 4在abc中，abac，a的平分線ad交bc于d。求證：ad2=abac bdcd 。 證明：因?yàn)閍的平分線ad交bc于d，根據(jù)斯特槐公式得5已知abc中，c=900。求證：bc2+ac2=ab2。證明：如圖，作cn/be交de于n，交ab于m，連cd、bk，那么sadnm=2sadc，sachk=2sabk，adcabk，所以 sadnm = sac

35、hk。同理 smneb = scbfg。所以 sadnm + smneb = sachk + scbfg，即 a2 + b2 = c2。（此證法稱為畢達(dá)哥拉斯證法，記載于歐幾里德的幾何原本）6abc內(nèi)接于o，ab的延長線與過點(diǎn)c的切線cd相交于點(diǎn)d，e是o上的點(diǎn)，滿足cb=ce ，be與ac相交于點(diǎn)f。求證：（1）be/cd； （2） bc2cf2=bffe 。證明：（1）因?yàn)閏b=ce，cd是切線，所以ecd=ebc=bec故be/cd。（2）7已知：o1與o2外切于點(diǎn)p，過o2上一點(diǎn)b作o2的切線，交o1于點(diǎn)c、d，直線pb交o1于點(diǎn)a。求證：ad2+bcbd=ab2 。證明：因?yàn)閐b是o

36、2的切線，o1與o2外切于點(diǎn)p，所以abd=adp，所以adpabd，故ad2=apab。又bcbd=bpab=ab(ab ap)=ab2 abap,所以ad2+bcbd=ab2 。8已知p為等腰abc的底邊bc的延長線上的點(diǎn)。求證：ap2 = ab2 + bppc。證明：如圖，因?yàn)閍bc是等腰三角形，故2abcosb=bc。在abp中應(yīng)用余弦定理，得ap2 =ab2 +bp2 2abbpcosb= ab2 +bp(bp 2abcosb)= ab2 +bp(bp bc)= ab2 + bppc。9已知：abc中，acb=2abc。求證：ab2=ac2+ bcac。證明：在bc上取一點(diǎn)d，使ad

37、=ac，那么2abc=acb=adc=abc+dab,故abc=bad，從而bd=ad。在abc中應(yīng)用余弦定理，得ab2 = ac2 + bc2 2acbccosc= ac2 + bc(bc 2accosc)= ac2 + bcbd= ac2 + bcac。10在四邊形abcd中，abc=dcb，da、cb的延長線相交于p。求證：papd=pbpc+abcd。證明：作abd的外接圓交bc于e，那么由abp=dce，pab=dec，知abpecd。所以 ，即 cebp = abcd。另一方面，papd = pepb = pbpc + pepb pbpc= pbpc + pb(pe pc)= pb

38、pc + pbec，所以papd = pbpc+abcd。11過平行四邊形abcd的一頂點(diǎn)a的圓交ab、ad、ac于f、h、g。求證：abaf + adah = acag 。證明：如圖，連fg、fh、hg，那么由托勒密定理知hgaf + fgah = fhag。 (i)另一方面，由 hfg =hag =acb，fhg =cab，知fhgcab。所以 (ii)由(i)、(ii)，即得 abaf + bcah = acag。由平行四邊形知bc=ad，所以 abaf + adah = acag 。 12已知pab、pcd是o的割線，pq與o相切于q，且cap=dab。求證：pq2 = pa2 + acad。證明：如圖，連bd，那么由 pac =dab，pca =abd，知pacdab。所以， 即 paab = acad。 另一方面，pq是切線，故 pq2=papb=pa(pa+ab)=pa