數(shù)列復(fù)習(xí)知識點總結(jié)

1、高二數(shù)學(xué)第二章數(shù)列復(fù)習(xí)（文）丁紅 2013. 09. 26一、知識梳理數(shù)列概念1數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每個數(shù)稱為該數(shù)列的項.2通項公式：如果數(shù)列匕的第”項與空之間可以用一個式子表示，那么這個公式叫做這個數(shù) 列的通項公式，即=f（n）.3. 遞推公式：如果已知數(shù)列仏的第一項（或前幾項），且任何一項”與它的前一項（或前 幾項）間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即）或5=/（勺“，勺_2），那么這個式子叫做數(shù)列 ?！钡倪f推公式.如數(shù)列”中，=l,a“ = 2a“ + 1 ,其中an = 2an 4-1是數(shù)列“”的遞推公式.4. 數(shù)列的前項和與通項的公式 S = +“2 +

2、- + “； G” =2Y5. 數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.6. 數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列,擺動數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；有界數(shù)列, 無界數(shù)列.遞增數(shù)列：對于任何neN+t均有an+l an. 遞減數(shù)列：對于任何neN+,均有an+l an. 擺動數(shù)列：例如：1,1,1,1,1,. 常數(shù)數(shù)列：例如：6,6,6,6,. 有界數(shù)列：存在正數(shù)M使pn| M .等差數(shù)列1. 等差數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)d,這個數(shù)列叫做等差數(shù)列, 常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.2. 通項公式與前項和公式通項公式5=q+（n 1），為首項，d為公差

3、.前n項和公式S” =川D或S“ = na +-n（n 一 l）d .2 23. 等差中項如果a,A,h成等差數(shù)列，那么A叫做“與。的等差中項. 即：A是。與b的等差中項O2A = d + Z?U, A, b成等差數(shù)列.4. 等差數(shù)列的判定方法定義法：an -an=d （ n e N+ , d是常數(shù)）oa”是等差數(shù)列;（2）中項法:2% = an +%2 （已N+）0仏是等差數(shù)列.通項法：an = pn + q、（p,q為常數(shù)）”是等差數(shù)列.（4）前n相和法：S“ =/屛+g,（pHO,HO） U“是等差數(shù)列.5. 等差數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列仏是等差數(shù)列，則數(shù)列S + M、缺( p是常數(shù))都是等差

4、數(shù)列;在等差數(shù)列中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即“”心為等差數(shù) 列，公差為竺.(3) a = am +(n-m)d ; a =an+b (a , b 是常數(shù))；Sn = an中項法:an+12d”+2( w N+)且a”工0 ”是等比數(shù)列.通項法： = cq, (c,g H 0) O a是等比數(shù)列.前 n 相和法：S”=Aq”+B,(AH0,BH0,q + B = 0,qHl)Ud”是等比數(shù)列.5. 等比數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列仏是等比數(shù)列，則數(shù)列仙、仙(彳工0是常數(shù))都是等比數(shù)列;在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即勺+2&4z，為等比數(shù) 列，公比為 a” =am (/(

5、njn e N+) 若也+ 料=p +,貝am 心=ap 伽；若等比數(shù)列仏的前項和S”，則S女、SuSr、Skfk、sAk - s.k是等比數(shù)列. +bn(a , b是常數(shù),a =#0)(4) 若 m + n = p + q(m, n、p,qNJ ,則 ain + an =ap+aq-若等差數(shù)列仏的前n項和S“，則計是等差數(shù)列；當(dāng)項數(shù)為2n(n已NJ,則 - S沂=nd, = -;當(dāng)項數(shù)為2n+l時，則，則.S礦S偶二a”+|=a中，-= S偶n當(dāng)項數(shù)為 2/7 -1(“ e/V+),則 S, - S偶=,=.等比數(shù)列1. 等比數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常

6、數(shù)這個數(shù)列叫做等比數(shù) 列，常數(shù)G稱為等比數(shù)列的公比.2. 通項公式與前項和公式通項公式：a” =如/“，為首項，g為公比.前項和公式：當(dāng)g = l時，Sn = iui當(dāng)xi時， =空UXgd.l- 2）,求數(shù)列仏的通項公式；b、已知關(guān)系式a/l+l=a,f（N）t可利用迭乘法訃丄也也乞血5 例、已知數(shù)列滿足：上=匚(心2)“=2,求求數(shù)列“”的通項公式；/?-川一2n-3% H + 1C、構(gòu)造新數(shù)列1遞推關(guān)系形如“產(chǎn)叫+4”,利用待定系數(shù)法求解例、巳知數(shù)列中,at=l9an+l=2a+3t求數(shù)列仏的通項公式.2。遞推關(guān)系形如，兩邊同除或待定系數(shù)法求解 例 =I,%】=2d” + 3,求數(shù)列“”

7、的通項公式. 3遞推已知數(shù)列”中，關(guān)系形如“ ”+2=卩*曲+“勺”，利用待定系數(shù)法求解 例、巳知數(shù)列中,絢=1,2 = 2,%2 = 3如-2“”，求數(shù)列%的通項公式. 4遞推關(guān)系形如a -pa_x = qanan_p, q工0),兩邊同除以aan_ 例1、已知數(shù)列“”中，an -an_x = 2anan_n2), at = 2 ,求數(shù)列a“的通項公式.例2、數(shù)列“中，ax = 2,an+I =n e A+),求數(shù)列“的通項公式. 4 + and、給出關(guān)于Sn和心的關(guān)系例 1、設(shè)數(shù)列“”的前項和為 S”，已知a = a,a+l =Sn + 3n(/z e N+),設(shè)bn =Sn -3n ,

8、求數(shù)列0”的通項公式.例2、設(shè)S”是數(shù)列“”的前”項和，6=1,求。”的通項；設(shè)戈求數(shù)列宓的前“項和7；.2/i +1C、證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列1) 證明數(shù)列等差例1、已知S”為等差數(shù)列仏的前項和，仇上(N+).求證:數(shù)列仇是等差數(shù)列.n例2、已知數(shù)列的前/?項和為S,且滿足+2SS產(chǎn)0(心2),第丄.求證：丄是等差數(shù)列; 2Sn2) 證明數(shù)列等比 例1、設(shè)列是等差數(shù)列，=(，求證：數(shù)列加是等比數(shù)列；例2、設(shè)S”為數(shù)列仏的前項和，已知処廠2”=(b l)S”證明：當(dāng)b = 2時，an-n-T是等比數(shù)列；求的通項公式D、求數(shù)列的前n項和基本方法：1) 公式法，2) 拆解求和法.例1、求數(shù)列2n

9、+2n-3的前項和S 例2、求數(shù)列1丄,2丄,3丄,，5 +丄),的前“項和S”.2482例 3、求和：2X5+3X6+4X7+-+ n (n+3)2)裂項相消法，數(shù)列的常見拆項有：一1=丄(丄-一); n(n + k) k n n + k例1、求和：11 11+ +1 + 21 + 2 + 31 + 2 + 3 + + 例2、求和：1 1 1 111f |41 + 1 V3 + V2 VJ + V5!n + +yii3)倒序相加法，例、設(shè)/)=亠，求：1 + 2(1)/(1)+ /(|) + /(!)+ / + / + /； /(缶)+ /(爲(wèi))+ + /G)+ /(*) + /(2) +

10、+ /(2009) + /(2010).4) 錯位相減法，例、若數(shù)列”的通項a =(2w-l)*3,求此數(shù)列的前”項和S”.5) 對于數(shù)列等差和等比混合數(shù)列分組求和例、巳知數(shù)列&的前n項和Sn=12n n,求數(shù)列|aj 的前刀項和T“.E、數(shù)列單調(diào)性最值問題例1、數(shù)列仏中，=2n-49 ,當(dāng)數(shù)列仏的前項和S”取得最小值時，”=.例2、已知S”為等差數(shù)列的前“項和，q=25,5=16.當(dāng)“為何值時，S”取得最大值； 例3、數(shù)列,中，=3n2-28n + l,求冷取最小值時的值.例4、數(shù)列”中，an =n-yln2 +2 ,求數(shù)列”的最大項和最小項.例5、設(shè)數(shù)列的前項和為S” 已知q=d, a”+i=S”+3, “wN*.(I)設(shè)bn=Sn-3nf求數(shù)列$的通項公式;(II)若+0%,兀2,求a的取值圍. 例6、已知S”為數(shù)列仏的前項和，% =3, SnSn_ =2a(n 2).求數(shù)列仏的通項