初中幾何最值問題

1、初中幾何最值問題 例題精講 一、三點共線 1構造三角形 【例1】在銳角VABC中，AB=4, BC=5, / ACB=45將ABC繞點B按逆時針方向旋轉， 得到AiBCi .點 E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在 AABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的 對應點是點Pi，求線段EPi長度的最大值與最小值. 【鞏固】以平面上一點0為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作AAOB 和 ACOD，其中/ ABO= / DCO =30 如圖，若 BO=3J3，點N在線段0D上，且N0=2 .點P是線段AB上的一個動點， 在將AOB繞點0旋轉的過程中，線段 PN長度的最小值為 ，最大值為.

2、 A P 0 N B D 0 N 備用圖 【例2】如圖，MON 90 矩形ABCD的頂點A. B分別在邊OM , ON上，當B在邊ON上運動時，A 隨之在邊OM上運動，矩形 ABCD的形狀保持不變，其中 AB=2 , BC=1，運動過程中，點 D到點 O的最大距離為 【鞏固】已知： AOB 中，AB OB 2 , COD 中，CD OC 3,Z ABO / DCO .連接 AD、BC , 點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點 若A、O、C三點在同一直線 上，且/ABO 2, 固定 AOB，將 COD繞點O旋轉，則PM的最大值為 【鞏固】在平面直角坐標系 xOy中，點A、B分別在x軸、y軸的

3、正半軸上，點 M為線段AB的中點.點 D、E分別在x軸、y軸的負半軸上，且 DE AB 10 .以DE為邊在第三象限內作正方形 DGFE，請求出線段MG長度的最大值，并直接寫出此時直線MG所對應的函數(shù)的解析式. 11 【例3】如圖，已知A( ,%), B(22)為反比例函數(shù)y 圖像上的兩點，動點 P(x,O)在x正半軸上運 2x 動，當線段 AP與線段BP之差達到最大時，點 P的坐標是 2、軸對稱 【例1】求.x 3 24. x21的最小值 【例2】AB CD是半徑為5的e O的兩條弦， AB 8，CD 6，MN為直徑， AB MN于點 E,CD MN于點F , P為EF上任意一點，貝U PA

4、+PC的最小值為 【鞏固】設半徑為1的半圓的圓心為O,直徑為AB,C、D是半圓上兩點，若弧 AC的度數(shù)為96 弧BD 的度數(shù)為36動點P在直徑AB上，貝U CP+PD的最小值是 【鞏固】設正三角形 ABC的邊長是2, M是AB邊上的中點，P是邊BC上任意一點，則 PA+PM的最 大值為，最小值為 【例3】如圖，已知等邊ABC的邊長為1 ,D、E、F分別是AB、BC AC邊上的點(均不與點A、B、C重 合)，記 DEF的周長為p若D、E、F分別是AB BC AC邊上任意點，則p的取值范圍是 【例4】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y= x2 + 2x+ 3與x軸交于A. B兩點，與y軸交于點C

5、, 點D是拋物線的頂點. (1) 求直線AC的解析式及B. D兩點的坐標; M的坐標. (2) 請在直線 AC上找一點M，使 BDM的周長最小，求出點 / 卜y 3 卜 0 1 圖1 【例5】如圖，直線y 3 *x 2分別交x軸、y軸于C、A兩點，將射線 3 線AN, D為AM上的動點，B為AN上的動點，點 C在/ MAN AM繞點A順時針旋轉 45。得到射 的內部. (1) (2) 求厶BCD周長的最小值; 當AM / x軸，且四邊形 ABCD為梯形時，求 BCD的面積; (3) N 備用圖 備用圖 【例6】在直角坐標系中， A 1, 2 , B 4, 1 , C m,0 , D n, n為

6、四邊形的 4個頂點，當四邊形 ABCD的周長最短時, 【鞏固】如圖1,拋物線y= ax2 + bx+ c (a0的頂點為C (1, 4),交x軸于A、B兩點，交y軸于點D, 其中點B的坐標為(3, 0)。 (1)求拋物線的解析式; (2)如圖2,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中點E的橫坐標為2,若直線 G、H的坐標；若不存在，請說明 PQ為拋物線的對稱軸，點 G為直線PQ上的一動點，貝U x軸上師范存在一點 H，使D、G、H、F 四點所圍成的四邊形周長最小。若存在，求出這個最小值及點 理由。 _ _ 2 【例7】已知，如圖1, 二次函數(shù)y ax 2ax 3a a 0的圖像的頂點

7、為 H，與x軸交于A、B兩點(B在 A的右側)，點H、B關于直線I : y _x 3對稱. 3 (1 )求A、B兩點的坐標，并證明點 A在直線I上； (2 )求二次函數(shù)的解析式； (3) 過點B作BK / AH交直線I于點K , M、N分別為直線 AH和直線I上的兩個動點，連結 HN、NM、MK，求 HN NM MK 的最小值. 【鞏固】如圖，在平面直角坐標系 xOy中，二次函數(shù)yx2 bx c的圖象與x軸交于A (-1,0)、B (3,0) 2 兩點，頂點為C . (1) 求此二次函數(shù)解析式； (2) 點D為點C關于x軸的對稱點，過點 A作直線l : y fx -3交BD于點E,過點B作直線

8、 33 BK / AD交直線l于K點問：在四邊形 ABKD的內部是否存在點 P,使得它到四邊形 ABKD四 邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由； 在(2)的條件下，若 M、N分別為直線AD和直線I上的兩個動點，連結 DN、NM、MK , 求 DN NM (備用圖) 【例8】在平面直角坐標系中，矩形 OACB的頂點0在坐標原點，頂點 A、B分別在x軸、 y軸的正半軸上， 0A 3，0B 4，D為邊0B的中點 CDEF的周長最小時，求點 E、F的坐標 (H)若E、F為邊0A上的兩個動點，且 EF 2，當四邊形 【鞏固】已知點 A (3, 4)，點B的坐標為(-1, 1

9、)時，在x軸上另取兩點E, F，且EF=1.線段EF在 x軸上平移，線段 EF平移至何處時，四邊形 ABEF的周長最?。壳蟪龃藭r點 E的坐標. 11 2 【例9】已知直線y X 1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y _ x? bx C與直線交于A、E 22 兩點，與X軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1, 0). (1 )求該拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM MC |的值最大，求出點 M的坐標。 _3 【鞏固】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y -X 6與X軸、y軸的交點分別為 A、B，將/ 4 OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于

10、點C. (1)直接寫出點C的坐標，并求過 A、B、C三點的拋物線的解析式； (2)設拋物線的對稱軸與直線 范圍. BC的交點為T, Q為線段BT上一點, 直接寫出|QA QO的取值 3、旋轉 【例1】如圖，已知在 ABC中，BC=a, AC=b，以AB為邊作等邊三角形 ABD.當/ACB變化 且點D與點C 位于直線AB的兩側時，求 CD的最大值及相應的/ ACB的度數(shù). 【例2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為(0,2),點D在x軸的正半軸上，ODB 30 , OE BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y ax23x c與x軸相交于A、F兩點(A在F的 6 左側) (1) 求拋物線的

11、解析式； (2) 點P為三角形ABO內的一個動點，設 m PA PB PO，請直接寫出m的最小值，以及m取 得最小值時，線段 AP的長 【鞏固】已知矩形 ABCD, 和H的位置，使得 AD=10, AB=6，在矩形 AP DP PH最小 ABCD內有一點 B H C 【鞏固】直角梯形 ABCD中，B C 90，在梯形內求作一點 0使OQ BC于Q且OA+OD+OQ 的值最小 、垂線段最短 【例1】已知AB 10,p是線段ab上任意一點，在 AB的同側分別以 APC和BPD，則線段CD長度的最小值是 AP和BP為邊作兩個等邊三角形 【例2】如圖，在銳角VABC中，AB 4J2, BAC 45 B

12、AC的 平分線交BC于點D, M、N分別是AD和AB上的動點，則 BM MN的最小值是 . 【鞏固】矩形ABCD中，AB 20, BC 10.在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小, 求這個最小值 【例3】如圖，在 ABC中，AB=15 , AC=12, BC=9，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與 CB、CA分別相 交于點E、F，則線段EF長度的最小值是 【例4】已知在VABC的BC邊上取一點D，設VABD和VACD的外接圓的圓心分別是 O和O，求：使兩圓 半徑為最小值時點 D的位置 C 【鞏固】點M在VABC的AC邊上，分別作VABM和VCBM的外接圓。問當 公共部分的面積最小？

13、M點在什么位置時，兩外接圓 【例5】在已知VABC內，作內接矩形 DEMN，使一邊DE在最大邊BC上，另外兩個頂點 M、N分別在邊 AC，AB上。試確定矩形 DEMN的位置，使對角線 DM長最短 A 【鞏固】點P在銳角VABC的邊上運動，試確定點 P的位置，使PA+PB+PC最小，并證明你的結論 【例6】如圖，在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與x軸交于A B兩點，D為拋物線的頂點， 0為 坐標原點若 OA、0B( OA OB)的長分別是方程x2 4x 30的兩根，且 DAB 45 (1) 求拋物線對應的二次函數(shù)解析式； (2) 過點A作AC AD交拋物線于點 C，求點C的坐標； (3)在(

14、2)的條件下，過點 A任作直線I交線段CD于點P,求C、 D到直線I的距離分別為 d-i d2，試求d!+d2的最大值. *y D c 【例7】在直角坐標系中，點A坐標為（-3, -2），圓A的半徑為1 , P為x軸上一動點，PQ切圓A于點Q, 則當PQ最小時，P點的坐標為 【鞏固】如圖，在平面直角坐標系中，已知 OAB是等腰三角形（0B為底邊），頂點 A的坐標是（2 ,4）, 點B在x軸上，點Q的坐標是 6 ,0 ，AD x軸于點D，點C是AD的中點，點P是直線BC上的一動點 （1）求點C的坐標 （2） 以點P為圓心、2為半徑作圓，得到動圓 eP，過點Q作eP的兩條切線，切點分布為 E、F，

15、問： 是否存在以O、E、P、F為頂點的四邊形的最小面積為S ?若存在，請求出 S的值；若不存在， 請說明理由. 三、與圓相關的最值 1、過圓內任一點的弦中, 最長的弦是直徑，最短的弦是垂直于過該點的直徑的弦 【例1】如圖，O O的半徑為5,點P到圓心O的距離為.、10，如果過點P作弦，那 么長度為整數(shù)值的弦的條數(shù)為 2、設A是OO內一點，在連接 A與圓上各點的線段中，圓心所在線段最短，圓心在其反向延長線上的線段 最長; 最短 【例1】 在直線MN的同側有定點 A及定圓圓0,試在 MN上求一點P,在圓0上求一點 Q,使AP PQ最 【例2】 點P在圖形M上，點Q在圖形N上，記dmax M , N

16、為線段PQ長度的最大值, dmin M , N 為線 A是OO外一點，在連接 A與圓上各點的線段中，圓心所在線段最長，圓心在其延長線上的線段 d max M , N d min M , N 2 段PQ長度的最小值，圖形 M、N的平均距離Ed M , N 1 /3一 (1) 在平面直角坐標系 xOy中，e 0是以0為圓心，2為半徑的圓，且 A -，石 ,B 2,2 . 3 , 求Ed A,e 0及Ed B,e 0 ；(直接寫出答案即可). (2) 半徑為1的eC的圓心與坐標原點 0重合，直線y 在(2)的條件下，如果 eC的圓心C從原點沿x軸向右移動，eC的半徑不變，且 5 x Ed G,e C

17、 2，求圓心C的橫坐標. -3與x軸交于點D，與y軸交 33 于點F ,記線段DF為圖形G，求Ed G,e C . 3、過圓上點作割線的垂線段，當圓心在這垂線段上時，該點是圓上所有點中到這割線的距離最長的點 1 【例1】已知：AB是e O中一條長為4的弦，P是e O上一動點，cos APB .問是否存在以 A、P、B 3 為頂點的面積最大的三角形 ，試說明理由；若存在，求出這個三角形的面積. 4、過圓上的一點作與圓相離的直線的垂線段，當圓心在這條垂線段上時，這點是圓上所有點與該直線距離 最長的點；當圓心在這條線段的反向延長線時，這點事圓上所有點與該直線距離最短的點 【例1】如圖，AB是半圓的直

18、徑，線段 CA丄AB于點A,線段DB上AB丄點B, AB=2, AC=1, BD=3, P 是半圓上的一個動點，則封閉圖形ACPDB的最大面積是 A O B 5、一條弧所對的圓內角大于它所對的圓周角，而這圓周角則大于該弧所對的圓外角 【例1】B為 MON的邊0M上的兩點，試在 ON上求作一點C,使 ACB最大 【例2】如圖所示，直線 CD與線段AB為直徑的圓相切于點 D，并交BA的延長線于點 C，且AB 2， AD 1，P點在切線CD上移動當 APB的度數(shù)最大時，則 ABP的度數(shù)為 四、轉化類 【例1】如圖，正方形 ABCD的邊長為1,點P為邊BC上任意一點（可與 B點或C點重合），分別過B

19、C、 D作射線AP的垂線，垂足分別是 B 為. C、D,貝U BB +CC +DD的最大值為 ，最小值 【鞏固】在VABC中, A 120 , BC 6，若VABC的內切圓半徑為r，則r的最大值為 【例2】已知拋物線y ax2 bx c經(jīng)過A 4,3、B 2 ,0兩點，當x 3和x3時，這條拋物線上對應 的縱坐標相等.經(jīng)過點 C 0 , 2的直線I與x軸平行，O為坐標原點. (1)求直線AB和這條拋物線的解析式; A,判斷 (2)以A為圓心，AO為半徑的圓記為圓 直線I與圓A的位置關系，并說明理由； (3) 設直線AB上的點D的橫坐標為 1,P m ,n 是拋物線y ax2 bx c上的動點，

20、當APDO的周 長最小時，求四邊形 CODP的面積. 【例3】在平面直角坐標系 xOy中，O O的半徑為2,且A (4, 0) , B (4, 4)，點P在O O上運動。 (1)求2BP+AP的最小值。 4 (2)若點M是函數(shù)y (x0,xM2)的圖象上一點, x ME丄x軸于點E, MF丄y軸于點F，記M的橫坐 2t 標為t (t0,t工2，請用含t的表達式表示PE - PF的最小值。 t2 I TB 1 -r- 1 1 1 1 1 I 1 : 1 1 1 1 1 ! i 11 1| 11 11 1 1 11 ii II i r 1 i i Z i i、 i _ 亠 t/ T i 1 / I 1 i 1 1 I i O f :A ； i A 1 1 1 / : p IT I i 7 i I i