MBA聯(lián)考排列組合

1、【經(jīng)典資料，WORD文檔，可編輯修改】【經(jīng)典考試資料，答案附后，看后必過，WORD文檔，可修改】1 排列及計(jì)算公式從n個(gè)不同元素中，任取 m(mc n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的 一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出 m(mc n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素 的排列數(shù)，用符號(hào) A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n- 2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(規(guī)定 0!=1).2 組合及計(jì)算公式從n個(gè)不同元素中，任取 m(mc n)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合；從 n 個(gè)不同元素中

2、取出 m(mc n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)c(n ,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!); c(n,m)=c(n,n-m);3 .其他排列與組合公式從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n,r)/r= n!/r(n-r)!.n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,.nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為n!/(n 1!* n2!*.* nk!).k類元素,每類的個(gè)數(shù)無限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為 c(m+k-1,m).兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用(1) 加法原理和分類計(jì)數(shù)法1 加法原理2 加法原理的集合形式3

3、 分類的要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)(2) 乘法原理和分步計(jì)數(shù)法1 乘法原理2 合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同例題分析排列組合思維方法選講1 首先明確任務(wù)的意義例1.從1、2、3、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有 個(gè)。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。設(shè)a,b,c成等差

4、，二 2b=a+c,可知b由a,c決定，又 2b是偶數(shù)， a,c同奇或同偶，即：從 1 , 3, 5,，19或2 , 4, 6, 8,20這十個(gè)數(shù)中選 出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。例2.某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從 M到N有多少種不同的走法？分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，

5、就可以確定走法數(shù)，本題答案為：=56。2 注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合例3 .在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A, B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A, B兩種作物的間隔不少于 6壟，不同的選法共有 種。分析：條件中 要求A、B兩種作物的間隔不少于 6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。例4 .從6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中恰好有一雙同色的取法有 。（A）2

6、40 （B）180 （C）120 （D）60分析：顯然本題應(yīng)分步解決。（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有種方法；（二）從剩下的十只手套中任選一只，有種方法。（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法；（四）由于選取與順序無關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。例5.身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，貝U所有不同的排法種數(shù)為。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90種。例6 .在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另

7、外 2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工。現(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法？分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有種；第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有種；第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有種。因而共有185種。例7 現(xiàn)有印著0, I, 3 , 5 , 7, 9的六張卡片，如果允許 9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多 少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把 0, 1, 3 , 5, 7, 9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三

8、個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0，含9，有種方法；抽出的三數(shù)含0不含9,有種方法；抽出的三數(shù)含9不含0,有種方法；抽出的三數(shù)不含9也不含0,有種方法。又因?yàn)閿?shù)字9可以當(dāng)6用，因此共有2X（+）+=144種方法。例8 .停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是 種。分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8輛車共九個(gè)元素排列，因而共有種停車方法。3 .特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮例9 六人站成一排，求（1）甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù) （2）甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：(1)先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)

9、要求相互有影響，因而考慮分類。第一類：乙在排頭，有種站法。第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法，共+種站法。(2) 第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。共 +2+=312 種。例10 對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好 在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能？分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品， 因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測(cè)試的有種可能

10、；第二步：前四次有一件正品有中可能。第三步：前四次有種可能。共有種可能。4 .捆綁與插空例11. 8人排成一隊(duì)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰(3) 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：(1)有種方法。(2) 有種方法。(3) 有種方法。(4) 有種方法。(5) 本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共-+=23040種方法。例12.某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況？分析：連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有

11、區(qū) 別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即。例13.馬路上有編號(hào)為I, 2 , 3,，10十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉， 但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。共=20種方法。4 間接計(jì)數(shù)法.(1)排除法例14.三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形？分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共

12、線三點(diǎn)的方法數(shù)，共種。例15 .正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體 ?分析：所求問題的方法數(shù) =任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)， 共-12=70-12=58 個(gè)。例16. I，2，3，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)？分析：由于底數(shù)不能為1。(1 )當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)， 有一種情況。(2)當(dāng)不選1時(shí)，從2-9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中Iog24=log39，Iog42=log93, Iog23=log49,Iog32=log94.因而一共有53個(gè)。(3) 補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題例17.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一

13、定相鄰)，共有多少種不同的方法 ？如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢？分析：(一)實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。(二)先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種，共=120 種。例18 . 5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法？分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重 復(fù)了次。因而有 =9X8X7X6=3024種。若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法,同理也有3024種，綜上，有 6048種。例19.三個(gè)

14、相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法？=20分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共 種。5.擋板的使用例20 . 10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法？分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放 置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共 36種。6 .注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階 段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題。例21.從0 , 1, 2 , ,9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組

15、成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。（一）兩個(gè)選出的偶數(shù)含 0,則有種。（二）兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0,則有種。例22.電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去, 最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法？分析：（一）先把 7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。（二）選擇10層中的四層下樓有種。共有種。例23.用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，（1）可組成多少個(gè)不同的四位數(shù) ？（2）可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù) ？（3）可組成多少個(gè)能被 3整除的四位數(shù)？將中的四位數(shù)按從小到大的

16、順序排成一數(shù)列，問第85項(xiàng)是什么？分析：（1）有個(gè)。（2）分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。共+種。（3）先把四個(gè)相加能被 3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來，即先選0，1，2，30，1，3，50，2，3，40, 3, 4, 51 , 2, 4, 5它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4X()+=96種。(4) 首位為1的有=60個(gè)。前兩位為20的有=12個(gè)。前兩位為21的有=12個(gè)。因而第85項(xiàng)是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。7 分組問題例24. 6本不同的書(1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法？(2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？(3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？(4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法？(5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法？分析：(1)有中。(2) 即在(1)的基礎(chǔ)上除去順序，有種。(3) 有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。(4) 有種。同(3),原因是甲，乙，丙持有量確定。(5) 有種。例25. 6人分乘兩輛不