2021年人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1知識點(diǎn)小結(jié)

1、人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1知識點(diǎn)小結(jié)選修2-1知識點(diǎn)選修2-1第一章常用邏輯用語1、命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題判斷為真的語句.假命題判斷為假的語句.2、“若p，則q”p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.3、若原命題為“若p，則q”，則它的逆命題為“若q，則p”.4、若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.5、若原命題為“若p，則q”，則它的逆否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假四種命題的真假性之間的關(guān)系1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的

2、真假性沒有關(guān)系7、p是q的充要條件pqp是q的充分不必要條件pq，qpp是q的必要不充分條件pq,qpp是q的既不充分不必要條件pq,qp8、邏輯聯(lián)結(jié)詞（1）用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq全真則真，有假則假。（2）用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq全假則假，有真則真。（2）對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p真假性相反9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示含有全稱量詞的命題稱為全稱命題全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存

3、在量詞，用“”表示含有存在量詞的命題稱為特稱命題特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”10、全稱命題px，px，它的否定px，px全稱命題的否定是特稱命題例“a=1”是“x0,2xa1”的（）xa充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件第二章圓錐曲線與方程1、橢圓定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)f1，f2的距離之和等于常數(shù)（大于f1f2）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓這兩個定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距2、橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長焦點(diǎn)焦距對稱性離心率xy1ab022abaxa且byb1a,0、2a,010,b

4、、20,bf1c,0、f2c,02222yx1ab022abbxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0f10,c、f20,c短軸的長2b長軸的長2af1f22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱cb2e120e1aa3、平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)f1，f2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于f1f2）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線這兩個定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距4、雙曲線的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長焦點(diǎn)焦距y2x221a0,b02abya或ya，xr10,a、20,af10,c、f20,cx2y221a0,b02abxa或xa，yr1a,0、2

5、a,0f1c,0、f2c,0虛軸的長2b實軸的長2af1f22cc2a2b2對稱性離心率漸近線方程關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱cb2e12e1aabaxyxab5、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線6、平面內(nèi)與一個定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線定點(diǎn)f稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線7、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的y“通徑”，即2p8、焦半徑公式p；2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為f，則fx0；2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點(diǎn)為f，則fy0；2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線x22pyp0上，

6、焦點(diǎn)為f，則fy029、拋物線的幾何性質(zhì)y22pxy22pxx22pyx22py標(biāo)準(zhǔn)方程p0p0p0p0若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為f，則fx0圖形頂點(diǎn)0,0x軸pf,02pf,02pf0,2對稱軸y軸pf0,2焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程xp2xp2yp2yp2離心率e1范圍x0x0y0y0解題注意點(diǎn)1、“回歸定義”是一種重要的解題策略。如（1）在求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；（2）涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形（一般是余弦定理）的知識來解決；（3）在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義

7、把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決。2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（1）有關(guān)直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)問題，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況相交、相切、相離.聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程（注意在和雙曲線和拋物線方程聯(lián)立時二次項系數(shù)是否為0）,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是0、0、0.應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合(例如雙曲線中，利用直線斜率與漸近線的斜率之間的關(guān)系考查直線與雙曲線的位置關(guān)系)常見方法聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，利用韋達(dá)定理等；點(diǎn)差法（主要適用中點(diǎn)問題，設(shè)而不求，注意需檢驗，化簡依據(jù)x1x2yy2yy2x0,12y0,21k

8、）22x2x1（2）有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及韋達(dá)定理來解決；（注意斜率是否存在）直線具有斜率k，兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(x1,y1),b(x2,y2)2ab1k2x1x2(1k2)(xx)4x1x21211y1y22k直線斜率不存在,則aby1y（3）有關(guān)對稱垂直問題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，簡化運(yùn)算?？疾槿齻€方面a存在性（相交）；b中點(diǎn)；c垂直（k1k21）注:圓錐曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運(yùn)算。當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時，通常有兩種處理方法一是韋達(dá)定理；二是點(diǎn)差法.圓錐曲線中參數(shù)取值

9、范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。注意向量在解析幾何中的應(yīng)用（數(shù)量積解決垂直、距離、夾角等）（4）求曲線軌跡常見做法定義法、直接法（步驟建設(shè)現(xiàn)（限）代化）、代入法（利用動點(diǎn)與已知軌跡上動點(diǎn)之間的關(guān)系）、點(diǎn)差法（適用求弦中點(diǎn)軌跡）、參數(shù)法、交軌法等。例已知定點(diǎn)f1(3,0),f2(3,0)，在滿足下列條件的平面上動點(diǎn)p的軌跡中是橢圓的是（答c）；apf1pf24bpf1pf26cpf1pf210dpf1例2已知雙曲線的離心率為2，f1、f2是左右焦點(diǎn)，p為雙曲線上一點(diǎn)，且f1pf260，2pf2212spf1f2x2y2123求該

10、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答1）412例3已知橢圓的一個頂點(diǎn)為a（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，若由焦點(diǎn)到直線的距離為（1）求橢圓分方程；（2）設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)m,n，當(dāng)|am|=|an|時，求m的取值x21范圍。（答y21;m(,2)）32y2例4過點(diǎn)a（2，1）的直線與雙曲線x1相交于兩點(diǎn)p1、p2，求線段p1p2中點(diǎn)的軌跡22方程。第三章空間向量與立體幾何bx,y,zay2y1,z2zax,y,z11、空間向量及其運(yùn)算設(shè)則bx1x111，222，2,12abx1x2,y1y2,z1z23ax1,y1,z14abx1x2y1y2z1z25若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1

11、z206若b0，則a/babx1x2,y1y2,z1z2aaax12y12z12x1x2y1y2z1z2abcosa,b8222222abx1y1z1x2y2z279x1,y1,z1，x2,y2,z2，則dx2x1y2y1z2z1222（10）共面向量定理p,a,b共面pxayb(x,yr)；apxabyacp、a、b、c四點(diǎn)共面opoaxabyacopxoayobzoc(其中xyz1)（11）空間向量基本定理pxaybzc(x,y,zr)（不共面的三個向量a,b,c構(gòu)成一組基底，任意兩個向量都共面）2、平行（直線的方向向量，平面的法向量）（a,b是a,b的方向向量，n是平面的法向量）線線平行

12、a/ba/b線面平行a/an或a/b，b或axbyc(b，c是內(nèi)不共線向量）面面平行/n1/n23、垂直線線垂直ababab0,ac(，b是c內(nèi)不共線向量）線面垂直aa/n或ab面面垂直n1n24、夾角問題|ab|線線角cos|cosa,b|（注意異面直線夾角范圍0）2|a|b|an|線面角sin|cosa,n|a|n|n1n2|（一般步驟求平面的法向量；計算法向量夾角；二面角|cos|cosn1,n2|n1|n2|回答二面角（空間想象二面角為銳角還是鈍角或借助于法向量的方向），只需說明二面角大小，無需說明理由）距離問題（一般是求點(diǎn)面距離，線面距離，面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離）|pan|p到平

13、面的距離d（其中a是平面內(nèi)任一點(diǎn)，n為平面的法向量）|n|立體幾何解題一般步驟坐標(biāo)法建系（選擇兩兩垂直的直線，借助于已有的垂直關(guān)系構(gòu)造）；寫點(diǎn)坐標(biāo)；寫向量的坐標(biāo)；向量運(yùn)算；將向量形式的結(jié)果轉(zhuǎn)化為最終結(jié)果。基底法選擇一組基底（一般是共起點(diǎn)的三個向量）；將向量用基底表示；向量運(yùn)算；將向量形式的結(jié)果轉(zhuǎn)化為最終結(jié)果。幾何法作、證、求異面直線夾角平移直線（借助中位線平行四邊形等平行線）；線面角找準(zhǔn)面的垂線，借助直角三角形的知識解決；二面角定義法作二面角，三垂線定理作二面角；作交線的垂面.擴(kuò)展閱讀高中數(shù)學(xué)選修2-1知識點(diǎn)總結(jié)高二數(shù)學(xué)選修21知識點(diǎn)第一章常用邏輯用語1、命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷

14、真假的陳述句.真命題判斷為真的語句.假命題判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題

15、的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性原命題逆命題否命題逆否命題真真真真假假假真真假假假四種命題的真假性之間的關(guān)系1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；真真真假2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq當(dāng)p、q都是真命題時，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個命題中有一個命題是假命題時，p

16、q是假命題用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq當(dāng)p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表第1頁共8頁示含有全稱量詞的命題稱為全稱命題全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示含有存在量詞的命題稱為特稱命題特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”10

17、、全稱命題px，px，它的否定px，px全稱命題的否定是特稱命題第二章圓錐曲線與方程11、平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)f）的點(diǎn)的軌跡1，f2的距離之和等于常數(shù)（大于f1f2稱為橢圓這兩個定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距12、橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長焦點(diǎn)焦距對稱性離心率準(zhǔn)線方程x2y21ab0a2b2axa且byby2x21ab0a2b2bxb且aya1a,0、2a,010,b、20,bf1c,0、f2c,010,a、20,a1b,0、2b,0f10,c、f20,c短軸的長2b長軸的長2af1f22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱cb2e1

18、20e1aaa2xca2yc13、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到f1對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1，點(diǎn)到f2對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d2，則f1d1f2d2e14、平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)f1，f2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于f1f2）的第2頁共8頁點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線這兩個定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距15、雙曲線的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長焦點(diǎn)焦距對稱性離心率x2y221a0,b02abxa或xa，yry2x221a0,b02abya或ya，xr1a,0、2a,0f1c,0、f2c,010,a、20,af10,c、f20,c虛軸的長2b實軸的長2af1f22cc

19、2a2b2關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱cb2e12e1aaa2a2準(zhǔn)線方程xyccbayxyx漸近線方程ab16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線17、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到f1對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1，點(diǎn)到f2對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d2，則f1d1d218、平面內(nèi)與一個定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線定點(diǎn)f稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線19、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p20、焦半徑公式p；2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為f，則fx0；2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點(diǎn)為f，

20、則fy0；2f2e若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為f，則fx0第3頁共8頁若點(diǎn)x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點(diǎn)為f，則fy021、拋物線的幾何性質(zhì)y22px標(biāo)準(zhǔn)方程p0圖形頂點(diǎn)y22pxp0x22pyp0p2x22pyp00,0x軸pf,02xp2y軸對稱軸焦點(diǎn)pf,02xp2pf0,2yp2pf0,2yp2準(zhǔn)線方程離心率e1范圍x0x0y0y0第三章空間向量與立體幾何22、空間向量的概念1在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量2向量可用一條有向線段來表示有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，記作3向量的大小稱為向量的模（或長度）4模（或長度）為0的

21、向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量5與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a6方向相同且模相等的向量稱為相等向量23、空間向量的加法和減法第4頁共8頁1求兩個向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則即在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形c，則以起點(diǎn)的對角線c就是a與b的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則2求兩個向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則即在空間任取一點(diǎn)，作a，b，則ab24、實數(shù)與空間向量a的乘積a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)0時，a與a方向相同；當(dāng)0時，a與a方向相反；當(dāng)0時，a為零向量，記為0a的長

22、度是a的長度的倍25、設(shè)，為實數(shù)，a，b是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律分配律abab；結(jié)合律aa26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線27、向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，bb0，a/b的充要條件是存在實數(shù)，使ab28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量29、向量共面定理空間一點(diǎn)位于平面c內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使xyc；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有xyc；或若四點(diǎn)，c共面，則xyzcxyz1a，b，30、已知兩個非零向量a和b，在空間任取一點(diǎn)，作則稱為向量a，b的夾角，記作a,b兩個

23、向量夾角的取值范圍是a,b0,aaa,b31、對于兩個非零向量和b，若，則向量，b互相垂直，記作ab2第5頁共8頁osab,稱為a，32、已知兩個非零向量a和b，則abc的數(shù)量積，記作即babababcosab,零向量與任何向量的數(shù)量積為033、ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcosa,b的乘積34、若a，b為非零向量，e為單位向量，則有1eaaeacosa,e；a2ba與b同向aaaab；，abab023aaa；aba與b反向ab4cosa,b；5ababab35、向量數(shù)乘積的運(yùn)算律1abba；2ababab；3abcacbc36、若i，j，k是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一

24、向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxiyjzk，稱xi，yj，zk為向量p在i，j，k上的分量37、空間向量基本定理若三個向量a，b，c不共面，則對空間任一向量p，存在實數(shù)組x,y,z，使得pxaybzc38、若三個向量a，b，c不共面，則所有空間向量組成的集合是ppxaybzc,x,y,zr這個集合可看作是由向量a，b，c生成的，a,b,c稱為空間的一個基底，a，b，c稱為基向量空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底39、設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，以e1，e2，e3的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以e1，e2，e3的方向為x軸，y軸

25、，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系xyz則對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量p存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxe1ye2ze3把x，y，z稱作向量p在單位正交基底第6頁共8頁e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作px,y,z此時，向量p的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)x,y,z40、設(shè)ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，則1abx1x2,y1y2,z1z22abx1x2,y1y2,z1z23ax1,y1,z14abx1x2y1y2z1z25若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z206若b0，則a/babx1x2,y1y2,z1z2aaax12y12z12xxyyzzab8cosa,b212221221222abx1y