IIR數(shù)字濾波器的計算機優(yōu)化與設計

1、 陜西理工學院畢業(yè)設計IIR數(shù)字濾波器的計算機優(yōu)化與設計張歡樂（陜理工物理與電信工程學院 電子信息科學與技術專業(yè)2008級2班，陜西 漢中 723000）指導教師：黃朝軍摘要 數(shù)字濾波技術是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分，濾波器的設計是信號處理的核心問題之一，本文介紹了IIR數(shù)字濾波器的特性以及應用，分析了IIR數(shù)字濾波器的基本原理、系統(tǒng)函數(shù)、差分方程、技術指標、基本結構、設計流程。分別采用脈沖響應不變法和雙線性變換法，設計出巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫2型以及橢圓濾波器，并對這些不同類型的濾波器進行了比較，分析它們的濾波性能；同時還對比分析了不同階數(shù)情況下，同一類型低通數(shù)字濾波器的濾波性

2、能，設計出滿足技術指標的最優(yōu)IIR數(shù)字濾波器。關鍵詞 數(shù)字濾波，IIR濾波器， MatlabOptimization and Designing of IIR Digital FilterZhang Huan Le (Grade 08,Class 2,Major electronic information science and technology, School of Physics and Telecommunication Engineering, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor : Hu

3、ang Chao-JunAbstract: Digital filter technology is an important part of digital signal processing, and the design of filter is a core problems in signal processing. The author introduced the characteristics and application of the IIR digital filter, and the basic principle, system function, differen

4、ce equation, technical index, basic structure, design process of IIR digital filter are analyzed in this paper. Using the impulse response and bilinear transformation method, the Butterworth, chebyshev 1, chebyshev 2 and Ellipse filter are designed, and compare their performance in the case of same

5、order, and then the filter performance of one kind filter with different order are analyzed also. Finally the IIR digital filter which satisfy the technical indexes is designed.Key words: digital filter; IIR filter; Matlab 目 錄1引言11.1數(shù)字濾波器的研究背景與意義11.2數(shù)字濾波器的應用現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢11.3論文的主要框架22 IIR數(shù)字濾波器的概述32.1 IIR數(shù)字

6、濾波器基本原理32.2 IIR數(shù)字濾波器特點32.3 IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)越性32.4數(shù)字濾波器的分類和技術指標42.5數(shù)字濾波器的設計方案52.6設計思路53 IIR濾波器的算法設計63.1 基本結構63.2 技術指標和系統(tǒng)函數(shù)63.3 IIR濾波器的設計原理和思路73.3.1低通濾波器的設計過程73.3.2 高通、帶通和帶阻濾波器的設計過程73.4 IIR數(shù)字濾波器的設計方法73.4.1脈沖響應不變法73.4.2 雙線性變換法83.5 IIR數(shù)字濾波器的計算機實現(xiàn)103.5.1 IIR數(shù)字濾波器的計算機設計步驟103.5.2 MATLAB工具箱中巴特沃斯濾波器的設計函數(shù)114 IIR數(shù)字濾

7、波器的Matlab實現(xiàn)124.1直接設計法設計巴特沃斯帶通數(shù)字濾波器124.2 不同階數(shù)的巴特沃斯低通濾波器的特性比較124.3參數(shù)相同時四種低通濾波器的特性比較134.4當階數(shù)相同時四種類型模擬濾波器的比較144.5設計巴特沃斯模擬高通濾波器154.6 設計巴特沃斯模擬帶通和帶阻濾波器154.7 設計相同參數(shù)的橢圓和巴特沃斯低通模擬濾波器165脈沖響應不變法和雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器165.1脈沖響應不變法與雙線性變換法的比較175.2用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器175.3給不同濾波器中加入載波信號進行對比206濾波器的硬件設計216.1三階低通濾波器的設計216.2舉

8、例說明217 結語23致謝23參考文獻24附錄251 引言1.1 數(shù)字濾波器的研究背景與意義當今，數(shù)字信號處理1DSP (Digtal Signal Processing)技術正飛速發(fā)展，它不但自成一門學科，更是以不同形式影響和滲透到其他學科。它與國民經(jīng)濟息息相關，與國防建設緊密相連；它影響或改變著我們的生產、生活方式，因此受到人們普遍的關注。數(shù)字化、智能化和網(wǎng)絡化是當代信息技術發(fā)展的大趨勢，而數(shù)字化是智能化和網(wǎng)絡化的基礎，實際生活中遇到的信號多種多樣，例如廣播信號、電視信號、雷達信號、通信信號、導航信號、射電天文信號、生物醫(yī)學信號、控制信號、氣象信號、地震勘探信號、機械振動信號、遙感遙測信號

9、等等。上述這些信號大部分是模擬信號，也有小部分是數(shù)字信號。模擬信號是自變量的連續(xù)函數(shù)，自變量可以是一維的，也可以是二維或多維的。大多數(shù)情況下一維模擬信號的自變量是時間，經(jīng)過時間上的離散化(采樣)和幅度上的離散化(量化)，這類模擬信號便成為一維數(shù)字信號。因此，數(shù)字信號實際上是用數(shù)字序列表示的信號，語音信號經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號是一個一維離散時間序列；而圖像信號經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號是一個二維離散空間序列。數(shù)字信號處理，就是用數(shù)值計算的方法對數(shù)字序列進行各種處理，把信號變換成符合需要的某種形式。例如，對數(shù)字信號進行濾波以限制他的頻帶或濾除噪音和干擾，或將他們與其他信號進行分離；對信

10、號進行頻譜分析或功率譜分析以了解信號的頻譜組成，進而對信號進行識別；對信號進行某種變換，使之更適合于傳輸，存儲和應用；對信號進行編碼以達到數(shù)據(jù)壓縮的目的等等。數(shù)字濾波技術是數(shù)字信號分析、處理技術的重要分支。無論是信號的獲取、傳輸，還是信號的處理和交換都離不開濾波技術，它對信號安全可靠和有效靈活地傳輸是至關重要的。在所有的電子系統(tǒng)中，使用最多技術最復雜的要算數(shù)字濾波器了。數(shù)字濾波器的優(yōu)劣直接決定產品的優(yōu)劣。1.2 數(shù)字濾波器的應用現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢在信號處理過程中，所處理的信號往往混有噪音，從接收到的信號中消除或減弱噪音是信號傳輸和處理中十分重要的問題。根據(jù)有用信號和噪音的不同特性，提取有用信號的過

11、程稱為濾波，實現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)稱為濾波器。在近代電信設備和各類控制系統(tǒng)中，數(shù)字濾波器應用2-5極為廣泛，這里只列舉部分應用最成功的領域。(1) 語音處理 語音處理是最早應用數(shù)字濾波器的領域之一，也是最早推動數(shù)字信號處理理論發(fā)展的領域之一。該領域主要包括5個方面的內容：第一，語音信號分析，即對語音信號的波形特征、統(tǒng)計特性、模型參數(shù)等進行分析計算；第二，語音合成，即利用專用數(shù)字硬件或在通用計算機上運行軟件來產生語音；第三，語音識別，即用專用硬件或計算機識別人講的話，或者識別說話的人；第四，語音增強，即從噪音或干擾中提取被掩蓋的語音信號。第五，語音編碼，主要用于語音數(shù)據(jù)壓縮，目前已經(jīng)建立了一系列語音

12、編碼的國際標準，大量用于通信和音頻處理。近年來，這5個方面都取得了不少研究成果，并且，在市場上已出現(xiàn)了一些相關的軟件和硬件產品，例如，盲人閱讀機、啞人語音合成器、口授打印機、語音應答機，各種會說話的儀器和玩具，以及通信和視聽產品大量使用的音頻壓縮編碼技術。(2) 圖像處理數(shù)字濾波技術以成功地應用于靜止圖像和活動圖像的恢復和增強、數(shù)據(jù)壓縮、去噪音和干擾、圖像識別以及層析X射線攝影，還成功地應用于雷達、聲納、超聲波和紅外信號的可見圖像成像。(3) 通信在現(xiàn)代通信技術領域內，幾乎沒有一個分支不受到數(shù)字濾波技術的影響。信源編碼、信道編碼、調制、多路復用、數(shù)據(jù)壓縮以及自適應信道均衡等，都廣泛地采用數(shù)字濾

13、波器，特別是在數(shù)字通信、網(wǎng)絡通信、圖像通信、多媒體通信等應用中，離開了數(shù)字濾波器，幾乎是寸步難行。其中，被認為是通信技術未來發(fā)展方向的軟件無線電技術，更是以數(shù)字濾波技術為基礎。(4) 電視數(shù)字電視取代模擬電視已是必然趨勢。高清晰度電視的普及指日可待，與之配套的視頻光盤技術已形成具有巨大市場的產業(yè)；可視電話和會議電視產品不斷更新?lián)Q代。視頻壓縮和音頻壓縮技術所取得的成就和標準化工作，促成了電視領域產業(yè)的蓬勃發(fā)展，而數(shù)字濾波器及其相關技術是視頻壓縮和音頻壓縮技術的重要基礎。(5) 雷達雷達信號占有的頻帶非常寬，數(shù)據(jù)傳輸速率也非常高，因而壓縮數(shù)據(jù)量和降低數(shù)據(jù)傳輸速率是雷達信號數(shù)字處理面臨的首要問題。告

14、訴數(shù)字器件的出現(xiàn)促進了雷達信號處理技術的進步。在現(xiàn)代雷達系統(tǒng)中，數(shù)字信號處理部分是不可缺少的，因為從信號的產生、濾波、加工到目標參數(shù)的估計和目標成像顯示都離不開數(shù)字濾波技術。雷達信號的數(shù)字濾波器是當今十分活躍的研究領域之一。(6) 聲納聲納信號處理分為兩大類，即有源聲納信號處理和無源聲納信號處理，有源聲納系統(tǒng)涉及的許多理論和技術與雷達系統(tǒng)相同。例如，他們都要產生和發(fā)射脈沖式探測信號，他們的信號處理任務都主要是對微弱的目標回波進行檢測和分析，從而達到對目標進行探測、定位、跟蹤、導航、成像顯示等目的，他們要應用到的主要信號處理技術包括濾波、門限比較、譜估計等。 (7) 生物醫(yī)學信號處理 數(shù)字濾波器

15、在醫(yī)學中的應用日益廣泛，如對腦電圖和心電圖的分析、層析X射線攝影的計算機輔助分析、胎兒心音的自適應檢測等。(8) 音樂數(shù)字濾波器為音樂領域開辟了一個新局面，在對音樂信號進行編輯、合成、以及在音樂中加入交混回響、合聲等特殊效果方面，數(shù)字濾波技術都顯示出了強大的威力。數(shù)字濾波器還可用于作曲、錄音和播放，或對舊錄音帶的音質進行恢復等。(9) 其他領域數(shù)字濾波器的應用領域如此廣泛，以至于想完全列舉他們是根本不可能的，除了以上幾個領域外，還有很多其他的應用領域。例如，在軍事上被大量應用于導航、制導、電子對抗、戰(zhàn)場偵察；在電力系統(tǒng)中被應用于能源分布規(guī)劃和自動檢測；在環(huán)境保護中被應用于對空氣污染和噪聲干擾的

16、自動監(jiān)測，在經(jīng)濟領域中被應用于股票市場預測和經(jīng)濟效益分析等等。1.3 論文的主要框架本篇論文主要討論IIR濾波器的基本結構和特點，硬件設計有源三階低通濾波器。計算機設計不同參數(shù)的IIR數(shù)字濾波器，首先將要設計的數(shù)字濾波器的技術指標轉換成相應的模擬濾波器的技術指標，接著按照轉換后的模擬濾波器的技術指標設計出相應的原型模擬濾波器，最后以一定的方法將設計出的模擬濾波器轉換為用戶所需的數(shù)字濾波器。用Matlab工具箱設計不同階數(shù)的巴特沃斯低通濾波器性能的對比，再用同種方法設計出巴特沃斯高通模擬濾波器，然后設計出巴特沃斯帶阻濾波器、帶通濾波器，設計出在同種參數(shù)下不同類型的數(shù)字濾波器的對比，最后用脈沖響應

17、不變法和雙線性變化法設計出低通數(shù)字濾波器，找出最優(yōu)的設計方案。2 IIR數(shù)字濾波器的概述2.1 IIR數(shù)字濾波器基本原理實際應用中，多數(shù)情況利用數(shù)字濾波器來處理模擬信號。處理模擬信號的數(shù)字濾波器基本結構如圖2.1所示。圖2.1中，輸入端接入一個低通濾波器H1(S)，其作用是對輸入信號的頻帶進行限制，以避免頻譜混疊；輸出端也接一個低通濾波器H2(S)，以便將D/A變換輸出的模擬量良好地恢復成連續(xù)時間信號6。設計IIR數(shù)字濾波器一般采用間接法（脈沖響應不變法和雙線性變換法），應用最廣泛的是雙線性變換法?；驹O計過程是：（1）將給定的數(shù)字濾波器的指標轉換成過渡模擬濾波器的指標；（2）設計過渡模擬濾波

18、器；（3）將過渡模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。IIR數(shù)字濾波器的設計一般是利用目前已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設計方法進行設計，通常采用模擬濾波器原型有巴特沃斯函數(shù)、切比雪夫函數(shù)、橢圓濾波器函數(shù)等1。2.2 IIR數(shù)字濾波器特點 (1)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。(2)IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結構，即結構上帶有反饋環(huán)路。IIR數(shù)字濾波器運算結構通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型三種結構形式，都具有反饋回路。(3)IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的設計方法進行設計，通常采用模擬濾波器原型有巴特沃斯函數(shù)、切

19、比雪夫函數(shù)、橢圓濾波器函數(shù)等，由現(xiàn)成的設計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高，在設計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數(shù)字濾波器的公式。(4)IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網(wǎng)絡7。2.3 IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)越性從性能上來說，IIR數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)的極點可位于單位圓內的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得較高的選擇性，所用的存貯單元少，信號延遲小，所以經(jīng)濟而效率高。目前已廣泛應用于通信、語音、雷達、聲納、地震、生物醫(yī)學、遙控遙測、地質勘探、自動控制、圖像處理、航空航天、故

20、障檢測、自動儀表等領域。數(shù)字濾波是數(shù)字信號處理的一個重要分支，目前，數(shù)字信號濾波器的設計圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮等方面的應用取得了令人矚目的進展和成就。它具有可靠性好、精度高、靈活、體積小、重量輕等優(yōu)點，它是通過數(shù)字濾波器來實現(xiàn)的。鑒于此，數(shù)字濾波器的設計就顯得尤為重要。2.4數(shù)字濾波器的分類和技術指標按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達到濾波的目的。但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，

21、最大限度地恢復信號，這時就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器。現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地回復信號，從而達到最佳濾波的目的1。數(shù)字濾波器從頻率特性可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構上分類，可分為：無限脈沖響應濾波器和有限脈沖響應濾波器。濾波器的技術要求主要包括四個方面，即：1. 低通濾波器的截止頻率主要包括通帶截止頻率和阻帶下限截止頻率；2. 高通濾波器的截止頻率主要包括通帶截止頻率和阻帶上限截止頻率；3. 帶通濾波器的截止頻率主要包括通帶下限截

22、止頻率，通帶上限截止頻率；4. 帶祖濾波器的截止頻率與帶通濾波器一樣，也主要包括通帶下限截止頻率，通帶上限截止頻率，下阻帶截止頻率，以及上阻帶截止頻率。濾波器中帶通帶阻的容限的具體技術指標，往往由允許的最大衰減 及阻帶應達到的最小衰減給出。通帶及阻帶的衰減，分別定義為： （2.1） （2.2）式中均假定已被歸一化為1。由于在數(shù)字濾波器設計中是用弧度表示的，而實際上給出的頻率要求往往是實際頻率，單位是，因此在數(shù)字濾波器的設計中還應給出采樣頻率。2.5數(shù)字濾波器的設計方案數(shù)字濾波器的設計方法有兩種：直接法和間接法。IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器都可以采用直接法進行設計，對于IIR數(shù)字濾波器主要

23、分為兩種設計方法：時域直接設計法和頻域直接設計法。圖2.2為直接法設計數(shù)字濾波器的過程7。圖2.2直接法設計數(shù)字濾波器框圖間接法的思路是先設計一個合適模擬濾波器，然后通過脈沖響應不變法和雙線性變換法來變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器，用間接法設計IIR數(shù)字濾波器可以利用現(xiàn)成的模擬濾波器設計公式，是目前手工設計階數(shù)較低的IIR數(shù)字濾波器的主要方法。圖2.3是間接法設計數(shù)字濾波器的過程7。圖2.3間接法設計數(shù)字濾波器框圖由圖2.2和圖2.3比較可以看出：間接法設計思路清晰，步驟詳盡，可參閱公式等。但是由于其計算繁瑣，手工計算大多只能用來進行簡單的低階選頻濾波器的設計，而直接設計方法，可應用MATLA

24、B軟件信號處理工具箱中所提供的一整套函數(shù)，通過原型變換法直接設計各種典型的濾波器。2.6設計思路數(shù)字濾波器的設計就是用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)（LTI）去逼近給定的性能指標要求。系數(shù)的求解在數(shù)學上是一個逼近問題，如果在s平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，則是數(shù)字濾波器的設計。 無論是IIR數(shù)字濾波器設計，還是FIR數(shù)字濾波器設計，數(shù)字濾波器的大致由以下步驟完成。 （1）根據(jù)要求，確定濾波器的性能指標。 （2）用因果穩(wěn)定離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能指標。 （3）用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)（其中包括濾波器結構選擇、有限字長效應的處理方法等）。 （4）利用

25、計算機軟件或專用數(shù)字濾波器硬件的實際技術實現(xiàn)。3 IIR濾波器的算法設計3.1 基本結構無限長單位脈沖響應網(wǎng)絡，存在輸出對輸入的反饋支路，IIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡結構有三種，直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型。實際應用中大量采用級聯(lián)和并聯(lián)兩種結構1。3.2 技術指標和系統(tǒng)函數(shù)設計濾波器時，總是先設計低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉換成希望類型的濾波器。低通濾波器的技術指標是：通帶截止頻率（又稱通帶上限頻率）：阻帶下限截止頻率：通帶允許的最大衰減：阻帶允許的最小衰減（，的單位dB）：通帶上限角頻率 ：阻帶下限角頻率對于單調下降的幅度特性，和可表示成： （3.1） （3.2） （3.3） （3.4） （3

26、.5）如果能有，和求出可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必須是因果穩(wěn)定的，因此極點必須落在s平面的左半平面，相應的Ha(-s)極點必然落在右半平面，Z域N階IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為公式： （3.6）IIR 數(shù)字濾波器可用一個n階差分方程表示： （3.7）公式(3.6)中、為濾波系數(shù)。當全為零時，該濾波器為FIR數(shù)字濾波器；當不全為零時，則為IIR濾波器。對照模擬濾波器的傳遞函數(shù)： （3.8）數(shù)字濾波器與模擬濾波器的設計思路相仿，其設計實質也是尋找一組系數(shù)b,a，去逼近所要求的頻率響應，使其在性能上滿足預定的技術要求；不同的是模擬濾波器的設計是在S平面上，用數(shù)學逼近法去尋找近似的所需特性H

27、(S)，而數(shù)字濾波器則是在Z平面尋找合適的H(Z)。IIR數(shù)字濾波器的單位響應是無限長的，而模擬濾波器一般都具有無限長的單位脈沖響應，因此與模擬濾波器相匹配。由于模擬濾波器的設計在理論上已十分成熟，因此數(shù)字濾波器設計的關鍵是將H(S)H(Z)，即：利用復值映射將模擬濾波器離散化。已經(jīng)證明，脈沖響應不變法和雙線性變換法能較好地擔當此任，則在此基礎上，數(shù)字濾波器的設計就可首先歸結為模擬濾波器的設計了 3。3.3 IIR濾波器的設計原理和思路對于IIR數(shù)字濾波器的設計，通常采用模擬濾波器設計技術來實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的設計。這是因為模擬濾波器的設計已經(jīng)有很多簡單而又有現(xiàn)成的設計公式可循，并且設計參數(shù)

28、已經(jīng)表格化，設計起來準確且方便，這種方法可使數(shù)字濾波器設計變得簡單有序、容易實現(xiàn)。通常模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器有以下幾步完成：(1)根據(jù)給定的數(shù)字濾波器指標要求，確定模擬濾波器的技術指標。(2)按照模擬濾波器的性能指標要求，設計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。模擬濾波器的種類和設計方法很多，其中較為典型的、性能優(yōu)良的設計方法有：巴特沃斯（Butterworth）濾波器設計法、切比雪夫(Chebyshev)濾波器設計法和橢圓(Elliptic)濾波器設計法等。(3)用適當?shù)臄?shù)字化方法（如脈沖響應不變法、雙線性變換法等），將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。3.3.1低通濾波器的設計過程

29、(1)由得到象限對稱的s平面函數(shù)。(2)將因式分解，得到零點和極點。(3)由求出的的零點、極點及增益常數(shù)，可完全確定系統(tǒng)函數(shù)。3.3.2 高通、帶通和帶阻濾波器的設計過程高通、帶通和帶阻濾波器設計的一般過程是：(1)通過頻率變換公式，現(xiàn)將需要設計的濾波器指標轉換為相應的低通濾波器的指標；(2)設計相應的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)；(3)對Q(p)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(S)。3.4 IIR數(shù)字濾波器的設計方法 3.4.1脈沖響應不變法1變換原理脈沖響應不變法的基本原理是將模擬濾波器的單位沖擊響應加以等間隔的抽樣（抽樣周期為T），使數(shù)字濾波器的單位沖激響應正好等于的抽樣乘值T ，

30、即 （3.9）沖激響應不變法的實現(xiàn)流程如下： (3.10)抽樣序列的z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系： （3.11）沖激響應不變法將模擬濾波器的s平面變換映射成數(shù)字濾波器的z平面，其變換關系式為： (3.12)2模擬濾波器的數(shù)字化方法從（3.11）式可知，模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器是通過以下公式得來的：可將展成部分分式： （3.13）該模擬濾波器的單位脈沖響應為： （3.14）其中u(t)是連續(xù)時間的單位脈沖響應。沖激響應不變法要求h(n)等于的抽樣，由（3.10）和（3.15）可得： （3.15）對h(n)求z變換可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： （3.16）若時，（4.17）式可改寫為： （

31、3.17） 3脈沖響應不變法的實現(xiàn)步驟綜上所述，在實際設計過程中，脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字濾波器的步驟如下：(1)確定數(shù)字濾波器的性能指標和。(2)利用，將數(shù)字濾波器的性能指標變換成模擬濾波器的性能指標和。(3)利用成熟的模擬濾波設計方法設計模擬濾波器，求出。(4)若能寫成的形式，就可直接通過式將模擬濾波器轉變成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。否則，需對進行拉氏逆變換求的，然后對按式進行抽樣，才能獲得數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)。3.4.2 雙線性變換法脈沖響應不變法是使數(shù)字濾波器在時域上模仿模擬濾波器，其缺點是產生頻率響應的混疊失真。造成此缺陷的主要原因是，從s平面到z平面是多值得映射

32、關系。為了辟免沖激響應不變法的缺點，對于模擬濾波器的數(shù)字化，人們又提出了雙線性變換法。1.變換原理 為了克服沖激響應不變法多只映射這一缺點，雙線性變換法則將整個s平面映射到平面中的一個帶寬為橫帶上（該帶域的下限頻率為，帶域的上限頻率為），然后通過變換關系把平面映射到整個z平面上。由于整個s平面與帶域為到的平面與z平面上的點也是一一對應的，由此可以消除多值映射所帶來的頻譜混疊現(xiàn)象。2.模擬濾波器數(shù)字化方法首先，為了將s平面整個地變換到平面的橫帶到范圍，取頻率變換關系： （3.18）其中，c是待定常數(shù)；是s平面的縱坐標，即s平面的頻率變量；是平面的縱坐標，即平面的頻率變量。根據(jù)上式，當從到變化時，

33、將從變化，且一一對應。將上式改寫為： (3.19)解析延拓到整個s平面和平面，令，則得到s平面到平面變換的關系： (3.20)然后，將平面通過以下標準變換關系映射到z平面：Z= (3.21)將(3.22)代到（3.21）中，從而得到s平面與z平面的單值映射關系： （3.22） （3.23）（3.22）和（3.23）則稱為雙線性變換公式。當c取值隨頻率不同而不同，分為兩種：（1）時，；（2）使數(shù)字濾波器的某一頻率與模擬濾波器的一個特定頻率嚴格相對應，則。3.雙線性變換法的實現(xiàn)步驟（1）確定數(shù)字濾波器的技術指標（通帶頻率、通帶最大衰減、阻帶頻率、阻最小衰減）。（2）采用頻率轉換關系，將數(shù)字濾波器的

34、技術指標轉換成模擬濾波器的技術指標，即和轉換成和，對于通帶最大衰減和阻帶最小衰減。（3）按照模擬濾波器的技術指標設計模擬濾波器，獲得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。（4）利用式（4.4.5），將s平面轉換到z平面，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即 （3.24）通常情況下，c一般取，T可任意取，一般情況下取18。3.5 IIR數(shù)字濾波器的計算機實現(xiàn)3.5.1 IIR數(shù)字濾波器的計算機設計步驟(1)指標歸一化處理。如果采用雙線性變換法，還需進行預畸變。(2)確定最小階數(shù)N和頻率參數(shù)?？晒┻x用的階數(shù)擇函數(shù)有：buttord，cheblord，cheb2ord，ellipord等。(3)運用最小階數(shù)N設計模擬低通濾

35、波器原型。模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有：buttap,cheblap, cheb2ap和ellipap，這些函數(shù)輸出的是零極點式形式，還要用zp2tf函數(shù)轉換成分子分母多項式形式。如果想根據(jù)最小階數(shù)直接設計模擬低通濾波器原型，可用butter，chebyl，cheby2，ellip等函數(shù)，只是注意要將函數(shù)中的設為1。(4)根據(jù)第2步的頻率參數(shù)，模擬低通濾波原型轉換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數(shù)分別是：lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。(5)運用脈沖響應不變法或雙線性變法把模濾波器轉數(shù)字濾波器，調用的函數(shù)是impinvar和bilinear。脈沖響應不變法適用于采樣頻率大

36、于4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高的各型濾波器。具體設計框圖8如圖3.1所示：圖3.1利用MATLAB設計IIR的框圖由圖3.1可知，利用MATLAB設計IIR數(shù)字濾波器可分為以下幾步來實現(xiàn)：（1） 按一定規(guī)則將數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器技術指標。（2） 根據(jù)轉換后的技術指標，使用濾波器階數(shù)函數(shù)，確定濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率Wc。（3） 利用最小階數(shù)N產生模擬低通濾波原型。（4） 利用截止頻率Wc把模擬濾波器原型轉換成模擬低通、高通、帶通或帶阻濾波器。（5） 利用脈沖響應不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器。3.5.2 MA

37、TLAB工具箱中巴特沃斯濾波器的設計函數(shù)Z,P,K=buttap(N)，用于計算N階巴特沃斯歸一化模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點和增益因子，其中K表示濾波器增益。N,wc=buttord(,RP,As)，用于計算巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率。N,wc=buttord(,RP,As, s)，用于計算巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率。B,A=butter(N, ,ftype)，用于計算N階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A，有系統(tǒng)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： （3.25） 式（3.9）中，B(N)和A(N)分別為向量B和A的第N個元素。B

38、,A=butter（N,wc,ftype,s），用于計算N階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A，有系統(tǒng)向量B和A可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： （3.26）用參數(shù)ftype來區(qū)分低通還是高通濾波器。當ftype=high，設計3dB截止頻率為的高通濾波器。缺省ftype時默認設計低通濾波器。ftype=stop時，設計3dB截止頻率為的帶阻濾波器，此時為二元向量,和分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率2。注意：設計的帶通和帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是2N階的。這是因為帶通濾波器相當于N階低通濾波器與N階高通濾波器級聯(lián)7-14。4 IIR數(shù)字濾波器的Matlab

39、實現(xiàn)4.1直接設計法設計巴特沃斯帶通數(shù)字濾波器圖4.1 波特沃斯數(shù)字濾波器的幅頻響應圖4.1中給出的是巴特沃斯型模擬帶通幅頻特性與數(shù)字帶通幅頻特性的比較，其中給定的參數(shù)為：fp=480Hz,520Hz，fs=450Hz,550Hz，wp=2*pi*480Hz,520Hz，ws=2*pi*450 Hz,550 Hz， rp=3dB，rs=20dB。計算程序見附錄A。幅頻特性對比由圖4.1可看出：模擬濾波器在500Hz時達到最高幅度，而數(shù)字濾波器在1.6Hz達到最高幅度；相頻特性對比由圖4.1可看出：模擬濾波器的通帶為500Hz， 數(shù)字濾波器的通帶為1.6Hz。由此可得出結論：當給定數(shù)字濾波器指標

40、時，采樣間隔T的取值對頻譜混疊程度影響很小，而對模擬濾波器的影響較大；數(shù)字濾波器的幅頻響應較好地逼近了模擬濾波器的幅度響應，但相位響應卻出現(xiàn)了較大失真。4.2 不同階數(shù)的巴特沃斯低通濾波器的特性比較圖4.2給出的是5階、4階、3階、2階巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性曲線，給定參數(shù)為：通帶截止頻率fp=5khz，fp1=4khz，fp2=3khz，fp3=1khz，通帶最大衰減ap=2dB，阻帶截止頻率fs=12khz，阻帶最小衰減as=30dB。計算程序見附錄B。將B和A代入公式3.9寫出系統(tǒng)函數(shù)為：濾波器的階數(shù)N選取了5階、4階、3階、2階，由圖4.2可以看出N值越大，通帶和阻帶的近似就越好，

41、過渡帶的特性越陡，響應曲線在通帶內越平緩，在阻帶內衰減的速度越大，實際應用中，根據(jù)需要選擇合適的濾波器階數(shù)。幅度平方函數(shù)特性如圖4.2所示。這種函數(shù)具有以下特點：通帶內具有最大平坦幅度特性，在正頻率范圍內 ，隨頻率升高而單調下降；階數(shù)越高，過渡帶越窄；沒有零點。圖4.2 5階、4階、3階、2階低通濾波器的幅頻特性 4.3參數(shù)相同時四種低通濾波器的特性比較 給定相同的濾波器參數(shù)：wp=20*2*pi，ws=50*2*pi，Rp=1，Rs=30，F(xiàn)s=200，Ts=1/Fs，分別利用巴特沃斯濾波器、切比雪夫I型濾波器、切比雪夫II型濾波器、橢圓濾波器進行低通濾波器的設計。設計程序見附錄C。圖4.3

42、 相同參數(shù)下不同濾波器的低通濾波器的幅頻特性調用MATLAB中相應的函數(shù)，運行程序得出圖4.3：由圖4.3運行結果很容易驗證，當給定相同濾波器參數(shù)時，通帶最大衰減ap和阻帶最小衰減as參數(shù)相同時，巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性，過渡帶最寬。優(yōu)點是它的通帶最平坦，趨向阻帶時衰減單調增大，缺點是從通帶到阻帶的過渡帶最寬，對于帶外干擾信號的衰減作用最弱，過渡帶不夠陡峭。兩種類型的切比雪夫濾波器相同點是：它們的過渡帶比巴特沃斯濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬；切比雪夫1型和II型濾波器都具有等波紋幅度特性。不同之處是：切比雪夫I型濾波器的過渡帶比切比雪夫II型濾波器的過渡帶寬；切比雪夫

43、I型濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，通帶是等波紋特性；切比雪夫II型濾波器的通帶頻率比其他濾波器延遲大約15Hz左右，阻帶是等波紋幅頻特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。4.4當階數(shù)相同時四種類型模擬濾波器的比較圖4.4 同階數(shù)不同類型的濾波器的對比圖圖4.4是巴特沃斯濾波器（左上）和同階第一類切比雪夫濾波器（右上）、第二類切比雪夫濾波器（左下）、橢圓函數(shù)濾波器（右下）的頻率響應圖。調用MATLAB濾波器設計函數(shù)，由4.4圖很容易驗證，當階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減ap和阻帶最小衰減as，巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性，過渡帶最寬。它的通帶內沒有

44、波紋，在靠近零頻處，有最平坦通帶，趨向阻帶時衰減單調增大，缺點是從通帶到阻帶的過渡帶最寬，對于帶外干擾信號的衰減作用最弱，過渡帶不夠陡峭。兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃斯濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫1型濾波器在通帶具有等波紋幅度特性，過渡帶和阻帶是單調下降的幅頻特性。切比雪夫2型濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。由上述比較可見，四種濾波器各具特點。工程中實際中選擇哪種濾波器取決于對濾波器階數(shù)和相位特性的具體要求。例如，在滿足所給相同指標的條件下希望濾波器階數(shù)最低時，就

45、應當選擇橢圓濾波器。4.5設計巴特沃斯模擬高通濾波器 圖4.5 Q(P)損耗函數(shù)曲線圖 圖4.6 由低通轉換高通后的濾波器 圖4.7 直接設計的高通巴特沃斯濾波器圖4.5給出的是5階巴特沃斯高通濾波器的幅頻特性曲線，計算中已知參數(shù)為通帶邊界頻率為4KHz,阻帶邊界頻率為1 KHz，通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為40dB。先設計低通濾波器，由低通濾波器轉換為高通濾波器，計算程序見附錄D，圖4.6是轉化為低通濾波器的幅頻曲線圖。圖4.7是調用函數(shù)buttord和butter直接設計巴特沃斯高通濾波器，計算程序見附錄E。4.6 設計巴特沃斯模擬帶通和帶阻濾波器 圖4.8 5階巴特沃斯帶通濾

46、波器損耗函數(shù)曲線圖 圖4.9 5階巴特沃斯帶阻濾波器幅頻圖圖4.8的運行結果：N = 5圖4.9的運行結果：N= 5圖4.8給出的是5階巴特沃斯模擬帶通濾波器的損耗函數(shù)曲線圖，計算中已知參數(shù)為通帶上、下邊界頻率分別為4KHZ和7KHZ，阻帶上、下邊界頻率分別為2KHZ和9KHZ，通帶最大衰減為1dB,阻帶最小衰減為20dB。計算程序見附錄F。圖4.9給出的是5階巴特沃斯模擬帶阻濾波器的幅頻函數(shù)圖，計算中已知參數(shù)是阻帶上、下邊界頻率分別為4KHZ和7KHZ，通帶上、下邊界頻率分別為2KHZ和9KHZ，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為20dB，計算程序見附錄G。4.7 設計相同參數(shù)的橢圓和巴特

47、沃斯低通模擬濾波器圖4.10 相同參數(shù)不同類型的模擬擬低通濾波器損耗圖運行結果：Nb = 7， Ne = 4圖4.10給出的是7階巴特沃斯低通濾波器和4階橢圓模擬低通濾波器，計算中已知參數(shù)通帶截止頻率fp=3khz，通帶最大衰減ap=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12khz，阻帶最小衰減as=60dB。計算中程序見附錄H。由圖4.11可知，同種參數(shù)用不同類型設計的濾波器，所需的階數(shù)是不同的，巴特沃斯需要更高的階數(shù)（N=7），這就延長了計算時間。而橢圓濾波器的階數(shù)最低（N=4），階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應用將會更廣泛。5脈沖響應不變法和雙線性

48、變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器 5.1 脈沖響應不變法設計數(shù)字低通濾波器5.2 雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器圖5.1運行結果：N = 4圖5.2運行結果：N = 2圖5.1為脈沖響應不變法設計數(shù)字低通濾波器的幅頻特性曲線，指標參數(shù)如下：fp=2100，fs=8000，F(xiàn)s=20000，Rp=0.5，Rs=30，T=1/Fs，計算中程序見附錄I。圖5.2為雙線性變換法設計低通數(shù)字濾波器的幅頻函數(shù)圖，已知參數(shù)頻率低于2100Hz時，容許幅度誤差在0.5dB以內；在頻率8000Hz到10000Hz之間的阻帶衰減大于30dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。計算程序見附錄J。通過運行結果得出以

49、下結論：當給定相同參數(shù)來設計數(shù)字濾波器時，沖擊響應不變法的階數(shù)N=4，幅頻和相頻特性的過渡帶頻率為6800Hz；雙線性變換法的階數(shù)N=2，幅頻相頻特性過渡帶頻率為5500Hz。通過比較可知，對于給定相同參數(shù)來設計濾波器的方法中，雙線性變換法在硬件實現(xiàn)上性價比高，同時濾波效果好。5.1脈沖響應不變法與雙線性變換法的比較脈沖響應不變法的優(yōu)點是：模擬頻率和數(shù)字頻率之間的轉換關系是線性的，并保持了模擬濾波器的時域瞬態(tài)特性。缺點：當模擬濾波器頻率響應不是嚴格限帶時，則用沖擊響應不變法設計出的數(shù)字濾波器在頻域出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。脈沖響應不變法會造成頻響混疊，不宜用來設計高通、帶阻濾波器，適用于基本上是限帶的濾波

50、器，如低通和帶通濾波器。設計性能要求又較高時，則不宜使用這種方法。雙線性變換法克服了頻率響應的混疊響應的混疊現(xiàn)象，但頻率變換關系產生了非線性。對具有分段常數(shù)幅頻特性的選頻濾波器來說，頻率非線性失真問題可以用預畸變方法解決。并且雙線性變換法同脈沖響應不變法相比，它具有計算簡單和易于實現(xiàn)的特點。因此，實際工作中廣泛采用雙線性變換法來設計IIR數(shù)字濾波器。5.2用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器1.實現(xiàn)步驟： （1）確定數(shù)字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率p、通帶衰減ap、阻帶截止頻率s、阻帶衰減as。（2）將數(shù)字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。如果采用脈沖響不變法，邊界頻

51、率的轉換關系為。如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉換關系為。（3）按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。（4）利用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。（5）數(shù)字低通技術指標為：p=0.4rad a p=1dB s=0.5rad a s=40dbB（6）模擬低通的技術指標為：歸一化截止角頻率為：wp=2pi*Fs/Ft， ws=2pi*Fs/Ft（7）利用模擬切比雪夫濾波器設計數(shù)字濾波器。通帶截止頻率為：wp=0.4*pi； 阻帶截止頻率為：ws=0.5*pi；通帶最大衰減為：Rp=1；阻帶最大衰減為：As=15；設定周期為1s

52、；模擬低通濾波器的生成：b,a=cheby1(n,1,Wn,low,s)； 滿足設計指標的最小階數(shù)n和截止頻率為：Wnn,Wn=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,1,40,s)。上面的設計步驟可簡化為圖5.3：確定數(shù)字低通濾波器的各項性能指標數(shù)字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器利用雙線性變換法將模擬濾波器轉變?yōu)閿?shù)字低通濾波器利用模擬切比雪夫濾波器設計數(shù)字濾波器圖5.3 濾波器設計流程方框圖2.舉例說明（1）技術指標通帶邊界頻率為400Hz，阻帶邊界頻率為500Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為2

53、000Hz。希望采用雙線性變換法設計切比雪夫I型數(shù)字濾波器。程序見附錄K。圖5.4 切比雪夫1型低通濾波器及其傳輸零極點圖由圖5.4可知：極點全在單位元內部，因而該濾波器是穩(wěn)定的。其中濾波器傳輸函數(shù)的零極點對系統(tǒng)頻率響應的影響是：在原點（z=0）處的極點或零點至單位圓的距離大小不變，其值為，故對幅度影響不起作用；單位圓附近的零極點將對系統(tǒng)的幅度響應的位置和深度有明顯的影響；單位圓內且靠近單位圓附近的極點將對系統(tǒng)幅度響應凸峰的位置和峰度有明顯的影響。因此，適當?shù)目刂葡到y(tǒng)函數(shù)的極點、零點分布、就能改變數(shù)字濾波器的頻率響應特性，達到預期的要求。（2）當給（1）中加入信號，其中300Hz，600Hz，

54、求濾波器的輸出，并給出的圖形。圖5.5 濾波器輸入x、x1、x2與輸出y的波形由5.5圖可知，輸出信號y的波形與給出的x1信號和x2信號的頻率有關，其中x信號是x1信號和x2 信號的疊加，x幅頻特性受x1和x2信號的影響，輸出信號y和輸入信號x波形相同，頻域延遲了5Hz左右，由此可知，數(shù)字濾波器的作用就是通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的比例或者濾除某些頻率成分。5.3給不同濾波器中加入載波信號進行對比圖5.6 切比雪夫1型數(shù)字帶通濾波器輸入一個方波信號圖圖5.7 巴特沃斯型數(shù)字帶通濾波器輸入一個方波信號 圖5.6和圖5.7進行觀察對比可得：當給定指標參數(shù)為fp=480,520，fs=450,550，rp=3，rs=20，wp=2*pi*480,520， ws=2*pi*450,550，方波頻率為f=100Hz。用切比雪夫1和巴特沃斯設計的