變型雞兔同籠問題與假設(shè)法詳細(xì)典型題型

1、1第三講 變型雞兔同籠問題與假設(shè)法【專題知識(shí)點(diǎn)概述】1500大約在問題嗎？這個(gè)問題，是我國(guó)古代著名趣題之一。你以前聽說(shuō)過(guò)“雞兔同籠”年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足， 問雞兔各幾何？這四句話的意思是： 有若干只雞兔同在一 只腳。求籠中各有幾 只雞和兔？個(gè)頭；從下面數(shù)，有 94個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35古人常用的這種思維方法叫化歸法?；瘹w法就是在解決問題時(shí)，先不對(duì)問題采取直接的分析， 而是將題中的條件或問題進(jìn)行變形， 使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它歸成某個(gè)已經(jīng)解決 的問題。今天我們將給大家介另外一種求解“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設(shè)

2、法”！【授課批注】本節(jié)課意讓在探究中體會(huì)解題思想，在策略多樣性中體驗(yàn)最優(yōu)思想, 培養(yǎng)學(xué)生多手段、多層面、多角度地探索問題，解決問題的基本方法和一般方法， 體驗(yàn)了解決問題策略的多樣同時(shí)體會(huì)解題過(guò)程性，使學(xué)生感受“雞兔同籠”問題 的變式及其在生活中的廣泛的應(yīng)用，中化難為易、化繁為簡(jiǎn)的思想方法，發(fā)展了 學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，開拓了學(xué)生解題思路，發(fā)展了 學(xué)生的個(gè)性，使學(xué)生在各種數(shù)學(xué)思 想的滲透中形成良好的數(shù)學(xué)解題能力?！半u兔同籠”問題基本解題公式1 ）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：（=兔數(shù)；每只雞的腳數(shù)X總頭數(shù)）十（每只兔的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）-（總腳數(shù)=雞數(shù)。總頭數(shù)-兔數(shù)雞數(shù)；-每只雞腳數(shù)）= 或者是

3、（每只兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）十（每只兔腳 數(shù)兔數(shù)。-雞數(shù)= 總頭數(shù)）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)雞的總腳數(shù)比 兔的總腳數(shù)多時(shí)，可用式（2兔數(shù)；每只兔的腳數(shù)）=（每只雞腳數(shù)X總頭數(shù)- 腳數(shù)之差）*（每只雞的腳數(shù)+ =雞數(shù)-總頭數(shù)兔數(shù)=雞數(shù)；雞兔腳數(shù)之差）十（每只雞的腳數(shù)+每只免的腳數(shù)）+ 或（每只兔腳數(shù)X總頭數(shù) 兔數(shù)。-總頭 數(shù)雞數(shù)=）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多時(shí)，可用公式。（3 =每只兔的腳數(shù)）兔數(shù)；（每只雞的腳數(shù)X總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差） 十（每只雞的腳數(shù)+雞數(shù)。兔數(shù)總頭數(shù)-=雞每只兔的腳數(shù)）=雞兔腳數(shù)之差）十（每只雞的腳數(shù)或（每只兔的腳數(shù)X總頭數(shù)-+數(shù)；兔數(shù)。=

4、雞數(shù)-總頭數(shù)（4）得失問題（雞兔問題的推廣題）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分?jǐn)?shù)X產(chǎn)品總數(shù)-實(shí)得總分?jǐn)?shù)）寧（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合 格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)?；蛘呤强偖a(chǎn)品數(shù)-（每只不合格品扣分?jǐn)?shù)X總產(chǎn)品數(shù)+實(shí)得總分?jǐn)?shù)）寧（每只合 格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)。（5）雞兔互換問題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問題） , 可用下面的公式：（兩次總腳數(shù)之和）*（每只雞兔腳數(shù)和） + （兩次總腳數(shù)之差）*（每只 雞兔腳數(shù)之差）丨* 2=雞數(shù)；（兩次總腳數(shù)之和）*（每只雞兔腳數(shù)之和）-（兩次總腳數(shù)之差）*（每只 雞兔腳數(shù)之差）寧2=兔數(shù)?！臼谡n批注】用不同方

5、法（同為雞，同為兔，砍足，增頭，圖示法等）解決問題，增強(qiáng)學(xué)生知 識(shí)面和拓展思維?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)解析】1. 通過(guò)不同的方法研究解決雞兔同籠問題2. 對(duì)“假設(shè)法”的理解和應(yīng)用，滲透假設(shè)的思想方法【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1. 假設(shè)法的應(yīng)用2. 理解用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題的的算理【習(xí)題精講】【例 1】（難度等級(jí) ）工人運(yùn)青瓷花瓶 250 個(gè)，規(guī)定完整運(yùn)一個(gè)到目的地給運(yùn)費(fèi) 20 元，損壞一個(gè)要倒 賠 100 元，運(yùn)完這批花瓶后，工人共得 4400 元 .問共損壞了幾個(gè)花瓶？【分析與解】假設(shè)250個(gè)能夠完整運(yùn)達(dá)目的地。將得運(yùn)費(fèi)250 X20=5000 （元）,與實(shí)際所得 相差 5000-4400=600（元）。

6、損壞個(gè)數(shù) 600 -（100+20 ） =5 （個(gè)）?！纠?2】（難度等級(jí) ）松鼠媽媽采松果，晴天每天可以采 20 個(gè)，雨天每天只能采 12 個(gè).它一連幾天采 了112個(gè)松果，平均每天采 14個(gè).問這幾天中有幾個(gè)雨天？【分析與解】因松鼠媽媽共采松果112個(gè)，平均每天采14個(gè),所以實(shí)際用了 112十14二8（天）. 假設(shè)這8天全是晴天，松鼠媽媽應(yīng)采松果 20 X 8 = 160 （個(gè)），比實(shí)際采的多了160 - 112 = 48 （個(gè)），因雨天比晴天少采20 - 12 = 8 （個(gè)），所以共有雨天48 寧8= 6 （天）.【例 3】（難度等級(jí) ）四年級(jí)四班有 60個(gè)學(xué)生參加下棋活動(dòng)老師準(zhǔn)備了象棋

7、、 跳棋20副， 2人下一幅 象棋， 6 人下一副跳棋，問象棋和跳棋各多少副？【分析與解】假設(shè) 20 副均為象棋，共有 20X 2=40 （人）在玩，還有 20 人沒參加活動(dòng)。跳 棋數(shù) 20 -（6-2 ） =5 （副），象棋數(shù) 20-5=15 （副）?！纠?4】（難度等級(jí) ）實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一共出了 10 道題目，答對(duì)一道得 10 分，答錯(cuò) 一題反扣 5 分（沒有不答的情況） 。張華得了 70 分，他答對(duì)了幾道題？ 【分析與解】假設(shè)所有問題全部答對(duì)，得分10 X 10=100（分），比實(shí)際得分多100-70=30（分），錯(cuò)題數(shù)：30 -（10+5 ） =2 （道），正確題數(shù)：10

8、-2-8 （道）?！纠?5】（難度等級(jí) ）蜘蛛有 8 條腿，蜻蜓有 6 條腿和 2 對(duì)翅膀，蟬有 6 條腿和 1 對(duì)翅膀。現(xiàn)在這三種小蟲共 18 只，有 118 條腿和 20 對(duì)翅膀。每種小蟲各幾只？ 【分析與解】因?yàn)轵唑押拖s都有 6 條腿，所以從腿的數(shù)目來(lái)考慮，可以把小蟲分成“ 8 條腿” 與“ 6 條腿”兩種。利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)（118 6 X 18） - （8 6） = 5（只）。因此就知道6條腿的小蟲共18 5 = 13（只）。也就是蜻蜓和蟬共有 13 只，它們共有 20 對(duì)翅膀。蟬數(shù)（13 X 2 20） - （2 1） = 6（只）。因此蜻蜓數(shù)是13 6 = 7（只）

9、?！纠?6】（難度等級(jí) ）一份稿件,甲單獨(dú)打字需 6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需 10 小時(shí)完成,現(xiàn)在甲單獨(dú)打若 干小時(shí)后,因有事由乙接著打完 ,共用了 7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？ 【分析與解】我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時(shí)打30 -6=5（份），乙每小時(shí)打30 - 10=3（份）. 現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成兔頭數(shù) ,乙打字的時(shí)間看成雞頭數(shù) ,總頭數(shù)是 ?兔的腳數(shù) 是?雞的腳數(shù)是 3,總腳數(shù)是 30, 就把問題轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問題了 . 根據(jù)前面的公式（5-3） =4.5,-7） X =（30-3 數(shù)兔雞數(shù)=7-4.5 =2.5,也就是甲打字用了 4.5 小時(shí),乙

10、打字用了 2.5 小時(shí) .【例 7】（難度等級(jí) ）有 50 位同學(xué)前往參觀 ,乘電車前往每人 1.2 元 , 乘小巴前往每人 4 元 , 乘地下鐵路 前往每人 6 元.這些同學(xué)共用了車費(fèi) 110 元 ,問其中乘小巴的同學(xué)有多少位？ 【分析與解】由于總錢數(shù) 110 元是整數(shù) ,小巴和地鐵票也都是整數(shù) ,因此乘電車前往的人數(shù)一定 是 5 的整數(shù)倍 . 如果有 30 人乘電車 , 110-1.2 X 30=74（ 元）.還余下 50-30=20（ 人）都乘小巴錢也不夠 .說(shuō)明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了 .如果有 40 人乘電車 110-1.2 X 40=62（ 元）.還余下 50-40=10（ 人）都乘地

11、下鐵路前往 ,錢還有多 （626 X 10）.說(shuō)明假設(shè)的乘電 車人數(shù)又多了 .30 至 40 之間 ,只有 35 是 5 的整數(shù)倍 . 現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成雞兔同籠了 :總頭數(shù) 50-35=15, 總腳數(shù) 110-1.2 X 35=68.因此 乘小巴前往的人數(shù)是（6 X 15-68）十（6-4）=11.【例 8】（難度等級(jí) ） 商店出售大,中,小氣球,大球每個(gè)3元,中球每個(gè)1.5元,小球每個(gè)1元.張老師用120 元共買了 55 個(gè)球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多 .問每種球各買幾個(gè)？【分析與解】因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù) ,大,小球的價(jià)錢也都是整數(shù) ,所以買中球的錢數(shù)是整數(shù) ,而且還 是3的整數(shù)倍.

12、我們?cè)O(shè)想買中球 ,小球錢中各出 3元.就可買 2個(gè)中球,3 個(gè)小球.因 此 ,可以把這兩種球看作一種 ,每個(gè)價(jià)錢是（1.5 X 2+1 X 3） - （2+3）=1.2（元）.從公式可算出 ,大球個(gè)數(shù)是（120-1.2 X 55） - （3-1.2）=30（個(gè)）.買中,小球錢數(shù)各是（120-30 X 3） - 2=15（元）.可買 10 個(gè)中球,15 個(gè)小球.答:買大球 30 個(gè),中球 10 個(gè),小球15 個(gè).【例 9】（難度等級(jí) ）使用甲種農(nóng)藥每千克要兌水 20 千克，使用乙種農(nóng)藥每千克要兌水 40 千克根 據(jù)農(nóng)科院專家的意見，把兩種農(nóng)藥混起來(lái)用可以提高藥效，現(xiàn)有兩種農(nóng)藥共 50 千克，要配

13、藥水 1400 千克，那么，其中甲種農(nóng)藥用了多少千克？【分析與解】假設(shè)50千克都是乙種農(nóng)藥，那么需要兌水40 X 50 = 2000（千克）但題目要求配藥水 1400水，又已知）千克650（ = 1350 2000 .多用了）千克1350（ = 50 1400即實(shí)際 兌水 千克，使用乙種農(nóng)藥每千克兌水需要比使用甲種農(nóng)藥多兌水40-20 = 20（千克）,所以推知，在混合農(nóng)藥中甲種農(nóng)藥有 650 -20 = 32.5（千克）.【例10（難度等級(jí)某工廠的27位師傅帶徒弟40名，每位師傅可以帶一名徒弟、兩名徒弟或三名 徒弟，如果帶一名徒弟的師傅的人數(shù)是其他師傅的人數(shù)的兩倍，那么帶兩名徒弟的師傅有幾位

14、？【分析與解2=18（位）；帶兩名或三名徒弟的師傅有 27-18=9（位X帶一名徒弟的師傅的人 數(shù)是：27） , 3他們共帶40-18=22（名）徒弟，如果這9位師傅帶兩名徒弟，他 們只能帶18名徒弟，還有22-18=4（名）徒弟沒人帶，所以應(yīng)有4位師傅每人帶 三名徒弟，帶兩名師傅有5位?！纠?1 （難度等級(jí)丿某商場(chǎng)為招攬顧客舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)獎(jiǎng)金有三種：一等獎(jiǎng)1000元,二等獎(jiǎng)250元，三等 獎(jiǎng)50元.共有100人中獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額為9500元.問二等獎(jiǎng)有多少名？【分析與解假設(shè)全是三等獎(jiǎng)，共有：9500/50=190（人）中獎(jiǎng)，比實(shí)際多：190-100=90（人）1000/50=20 ，也就是說(shuō)：把2

15、0個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè)一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而 人數(shù)減少了： 20-仁19 （人）250/50=5，也就是說(shuō)：把5個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成一個(gè) 二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額不變，而 人數(shù)減少了： 5-1=4 （人）。因?yàn)槎喑龅氖?0人, 而：90=19*2+4*13.即：要使總?cè)藬?shù)為100，只需要把20*2=40個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成2個(gè)一等獎(jiǎng)，把5*13=65個(gè)三等獎(jiǎng)?chuàng)Q成13個(gè)二等獎(jiǎng)就可以了。所以，二等獎(jiǎng)有13個(gè)人?！纠?2 （難度等級(jí)丿今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002 年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄 的年齡的 3 倍時(shí) ,是公元哪一

16、年？【分析與解】4 年后 ,兩人年齡和都要加 8.此時(shí)兄弟年齡之和是 17+8=25, 父母年齡之和是 78+8=86. 我們可以把兄的年齡看作雞頭數(shù) ,弟的年齡看作兔頭數(shù) .25 是總頭數(shù).86是總腳數(shù).根據(jù)公式，兄的年齡是（25 X 4-86） - （4-3）=14（歲）.1998 年,兄年齡是 14-4=10（ 歲）.父年齡是 （25-14） X 4-4=40（ 歲）.因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，兄的年齡是（40-10） - （3-1）=15（歲）,這是 2003 年.【例 13 】（難度等級(jí) ）有一輛貨車運(yùn)輸 2000 只玻璃瓶,運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算 ,每只 2角,如

17、 有破損,破損瓶子不給運(yùn)費(fèi) ,還要每只賠償 1 元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi) 379.6 元,問這次搬 運(yùn)中玻璃瓶 ？ 破損了幾只【分析與解】如果沒有破損 ,運(yùn)費(fèi)應(yīng)是 400 元.但破損一只要減少 1+0.2=1.2（ 元）.因此破損只數(shù) 是（400-379.6） - （1+0.2）=17（只）.【例 14 】（難度等級(jí) ）從甲地至乙地全長(zhǎng) 45 千米,有上坡路,平路,下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí) 3千米, 平路上速度是每小時(shí) 5千米,下坡速度是每小時(shí) 6千米.從甲地到乙地 ,李強(qiáng)行走了 1 0小時(shí);從乙地到甲地 ,李強(qiáng)行走了 11 小時(shí).問從甲地到乙地 ,各種路段分別是多少千米？【分析與解】 把來(lái)回路程

18、45 X 2=90（千米）算作全程.去時(shí)上坡，回來(lái)是下坡；去時(shí)下坡回來(lái)時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成一種路程 ,根據(jù)例 15,平均速度是每小時(shí) 4 千米.現(xiàn)在形成 一個(gè)非常簡(jiǎn)單的雞兔同籠問題 .頭數(shù) 10+11=21, 總腳數(shù) 90, 雞,兔腳數(shù)分別是 4 和 5.因此平路所用時(shí)間是（90-4 X 21） - （5-4）=6（小時(shí)）.單程平路行走時(shí)間是6寧2=3（小時(shí)）.從甲地至乙地 ,上坡和下坡用了 10-3=7（ 小時(shí) ）行走路程是45-5 X 3=30（ 千米）.又是一個(gè)雞兔同籠問題 .從甲地至乙地 ,上坡行走的時(shí)間是（6 X 7-30） - （6-3）=4（小時(shí)）.行走路程是 3X4=12

19、（ 千米）.下坡行走的時(shí)間是7-4=3（小時(shí)）行走路程是6X 3=18（千米）. 答:從甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.【例 15 】（難度等級(jí) ）某次數(shù)學(xué)考試考五道題 ,全班52人參加,共做對(duì)181道題,已知每人至少做對(duì) 1道 題,做對(duì)1 道的有7人,5道全對(duì)的有 6人,做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多 ,那么做 對(duì)4道的人數(shù)有多少人？【分析與解】對(duì)2道,3道,4道題的人共有 52-7-6=39（ 人）.他們共做對(duì) 181-1 X 7-5 X 6=144（ 道）.由于對(duì) 2 道和 3 道題的人數(shù)一樣多 ,我們就可以把他們看作是對(duì) 2.5 道題的人（2+3） - 2=2.5）.這樣 兔腳數(shù)=4,雞腳數(shù)=2.5,總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39.對(duì) 4 道題的有(144-2.5 X 39) - (4-1.5)=31(人).作業(yè)】1. 東湖小學(xué)六年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽 ,共20道試題. 做對(duì)一題得 5分,沒有做一題或做 錯(cuò)一題倒扣 3 分.劉剛得了 60分,則他做對(duì)了幾道題？【答案】 15米的平 14米的山路和每段長(zhǎng) 9 千米，全長(zhǎng)由每段長(zhǎng) 220自行車進(jìn)行越野