中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題講解-分類剖析半角旋轉(zhuǎn)問題

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題講解分類剖析半角旋轉(zhuǎn)問題本文所述“半角旋轉(zhuǎn)問題”是指，A角的大小和位置固定時(shí)，B角的頂點(diǎn)與A角的 頂點(diǎn)重合，且數(shù)量是A角的一半，當(dāng)B角繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，所產(chǎn)生的兒何問題.這些數(shù) 學(xué)題的解決能夠考察學(xué)生對(duì)全等、相似等基本知識(shí)技能的掌握，以及對(duì)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合 等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，所以半角旋轉(zhuǎn)問題成為2016年中考中的熱點(diǎn).筆者擷取部分題 分類作出分析，供各位讀者參考.一、45。角在90。角內(nèi)”的旋轉(zhuǎn)例1如圖1,正方形ABCD的對(duì)角線交于O,點(diǎn)M、N分別為BC、CD邊上的 動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)3、C、D重合)，AM . AN分別交于點(diǎn)E、F ,且乙MAN = 45。始終不變.(1)求證:

2、AFAAf一亙2，1 / 6(2)求證:AF丄加;(3)請(qǐng)?zhí)剿?在ZM4N旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)Z3AM等于多少度時(shí)，ZFMN = ABAM ,寫出 你的探索結(jié)論，并加以說明.BM C圖1分析 由ZMAN = 45和 ZC4D = 45 、 可得 ZM4C = ZNAD ,繼而可證LMAC NF AD , 所 以 V =, 再根據(jù) AMAN = 45 , 可 得AM AC 2sin AMAN =,進(jìn)而可得 AF 丄加，ZMAC = ZNAD.2 AMDNr)N DN NF由于tanZNAD = ,)CAD = AB,而且 AFBfNFD,所以=， ADAD AB AFFN乂因?yàn)?4加為等腰直角三角形，

3、所以AF = MF,所以tanZNAD =MFFN在 RtHMFN 中，tan AFMN =，所以 ZMAC = ZFMN,故ZFM7V + ZB4M = 45。， MF所以當(dāng) ZM4C = ZBAM = 22.5 時(shí)，ZFMN = ZBAM = 22.5.注 本題首先要觀察ZM4N在圉繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中兩組始終相等的角，然后結(jié)合待 證結(jié)論和題忖隱含的條件ZADB = ZACM證明M4CA FAD,而且無論M、N怎樣 運(yùn)動(dòng)，aMAC和龍4Q始終保持相似.這種相似也可稱之為動(dòng)態(tài)相似，動(dòng)態(tài)相似是半角 旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的一個(gè)突出的特點(diǎn)，也是在解決這類問題中表現(xiàn)出的通性通法通性通法是有效 解題教學(xué)的根本保證.例

4、2已知正方形ABCD的邊長為4, 一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45。角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點(diǎn)E、F ,連結(jié)EF,設(shè)CE = a, CF=b.(1) 如圖2,當(dāng)ZEAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求、方的值；(2) 當(dāng)AEF是直角三角形時(shí)，借助圖3求、b的值；5/6(3) 如圖4,探縈乙EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中、b滿足的關(guān)系式，并說明理由.分析 當(dāng)ZEAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，可證CE = CF = AC = 4邁.當(dāng)*EF是直角三 角形時(shí)，可分為兩種情況:第一種ZAEF = 90。，氐FCE三氐EBA ,可得a = 4, b = 8;第二 種ZAFE = 90, AECF =FDA

5、,可得 = 8, b = 4.而在ZEAF繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)的過程中， 都冇ACEZFC4,=即 “&,故可得“/” = 32.CF AC b 4 邁注 例2是在例1基礎(chǔ)上，將M、N兩點(diǎn)的活動(dòng)范圍擴(kuò)大為在射線BC、CD上運(yùn) 動(dòng)得到的.本題的解題突破口還是要找到半角旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象中始終相等的角，與例1不同的 是，解決第(2)問用到全等而非形似，是增加條件AEF是直角三角形時(shí)”的特殊情況. 而解決第(3)問則保持了與解決例1時(shí)相同的方法一一動(dòng)態(tài)相似.半角旋轉(zhuǎn)作為一種廣義 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型具有內(nèi)部的等價(jià)性、關(guān)聯(lián)性、差異性，研究其等價(jià)性和關(guān)聯(lián)性有助 于學(xué)生快速尋找解題思路研究差異性，有助于學(xué)生迅速調(diào)整解題思路，避

6、免進(jìn)人思維 定式，所以對(duì)半角旋轉(zhuǎn)的精致研究不可或缺.二、60。角在120。角內(nèi)的旋轉(zhuǎn)例 3 如圖 5.菱形 ABCD,已知 ABAD = 20, ZEGF = 60 ,ZEGF的頂點(diǎn)G在菱形對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，角的兩邊分別交BC、CD于點(diǎn)E、F.C圖5圖6(1) 如圖6,當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到與A點(diǎn)重合時(shí)，求證:C + CF = BC;(2) 知識(shí)探究:如圖7,當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，探究EC、CF與3C的數(shù)量關(guān)系;圖8請(qǐng)直接寫出線段EC、CF與3C的數(shù)量關(guān)系(不需寫出證明過程);(3) 問題解決:如圖&已知菱形邊長為8, BG = 7 , CF = 1.2,當(dāng)/2時(shí)，求EC的長度.分析 當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)

7、到與A點(diǎn)重合時(shí)，可證AACE =ADF ,繼而可得DF = CE,所以EC + CF = BC;當(dāng)頂點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)滿足EC + CF = -BC,其證明過程如下, 2過G 作 GH/AB 交 BC于 H ,所以 CH = -BC.由于 GC = GH, ZGHC = ZGCF = 60 , 2ZEGH = ZCGF ,所以 GHE = AGCF ,所以 EC + CF = CH =-BC.仿照此證法可得， 2在定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)過程中，若 =/,則有EC + CF = -BC.當(dāng)菱形邊長為8, BG = 7, CG2CF = 12,且/2時(shí)，過B作3M丄AC，垂足為M ,根據(jù)勾股定理，可求GM

8、 = 1, GC = 3,又 EC = 1.8.注本題中半角旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的是動(dòng)態(tài)全等，而動(dòng)態(tài)相似和動(dòng)態(tài)全等產(chǎn)生的區(qū)別在于 半角旋轉(zhuǎn)所在的具體環(huán)境”不同，也即半角旋轉(zhuǎn)所附著的特殊圖形的性質(zhì)不一樣，這是半 角旋轉(zhuǎn)差異性的具體表現(xiàn).在解決問題時(shí)要及時(shí)察覺這些差異性，并山此而思考在解題方 法上應(yīng)該繼續(xù)堅(jiān)持什么，調(diào)整什么，這樣才能發(fā)揮半角旋轉(zhuǎn)模型的現(xiàn)實(shí)意義和數(shù)學(xué)價(jià)值.例4 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某學(xué)習(xí)小組對(duì)有一內(nèi)角為120。的平行四邊形ABCD( ZBAD = 120)進(jìn)行探究將一塊含&0。的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60。角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合，較短的直角邊分別交線段AB. AQ于

9、點(diǎn)E、F (不包括線段端點(diǎn)).(1)初步嘗試如圖9,若=(2)類比發(fā)現(xiàn)如圖10, A)= 2AB過C作CH丄AD于點(diǎn)求證:A = 2陽;(3)深入探究如圖 11,若=探究得彎甞的值為常數(shù),，則匸.分析 若AD = AB ,四邊形ABCD即為菱形，乂因ZBAD = 20Q ,所以ZBAC = AD = 6O , AC = CD , 乂因?yàn)?ZECF = ZECA + ZACF = 60 , 而ZACF + ZFCZ) = 6O,可得ZACE = ADCF就此可證 AACE = aDCF , AE = DF ,所以 AE + AF = AC .當(dāng)= 時(shí)，過C作CH丄AD于點(diǎn)則可證ZACQ = 90

10、。.設(shè) DH=b,則CD = 2b, CH = ,由 ZECF = ZC4 = 60,可證4/7 r 繼而有= _, AD = 3AB,過C作CG丄AB,垂足為G,過C作GV丄4D垂 FH CH 2足為 N,設(shè) DN=c，貝 ij)C = 2c, BC = 6c , NC = JJc.乂因 ZGCB = 30,所以 GB = 3c , GA = c , GC = 3 辰，根據(jù)勾股定理，# AC = y)GC2+AG2 =2y/lc , 乂 因?yàn)閆GC7V = ZGCF + ZNCF = 60 , ZECF = ZECG + ZGCF = 60。,所以 ZECG = ZFCN ,所 以 ECG FCN ,竺= =今住=3 . 所 以 EG = 3FN ,FN NC 辰AE + 3AF = EG-AG + 3AF = EG-AG + 3(AN-FN)=EG-AG+3AN3NFAF + 3AF 14c=3 AN -AG =3x5c-c = 14c, 所以/ =: = =- = J7 AC 2y/7c注 本題中通過控制特殊四邊形一組臨邊比值的方式，讓半角旋