2018數(shù)競(jìng)平面幾何(四點(diǎn)共圓)講義教師版

1、沖刺講義 平面幾何（四點(diǎn)共圓） 班號(hào)姓名. 一、知識(shí)準(zhǔn)備 以下簡(jiǎn)單介紹講義可能涉及的一些簡(jiǎn)單的知識(shí)： 1.歐拉線:沁二的垂心 丿，重心，外心）三點(diǎn)共線. 此線稱為歐拉線，且有關(guān)系：= ; 2九點(diǎn)圓定理：三角形的三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)， 以及垂心與頂點(diǎn)的三條連接線段的中點(diǎn)， 共九點(diǎn)共圓。此圓稱為三角形的九點(diǎn)圓，或稱歐拉圓 的九點(diǎn)圓的圓心是其外心與垂心所連線段的中點(diǎn) _ 九點(diǎn)圓的半徑是，”的外接圓半徑的 3三角形內(nèi)心與旁心的性質(zhì):吐崇二的內(nèi)心為；，而邊外的旁心分別為 AD.BE.CF分別是三條內(nèi)角平分線，M交三角形外接圓于 陽(yáng)，此交RC于，則: 三角形過(guò)同一頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線互相垂直； ZB/

2、C- + = 2 2 - 2 ； AB BD BN AC DC（角平分線定理）； W W MB - WC （雞爪”定理）. 二、例題分析 例1.是的外接圓的直徑，過(guò) ：作圓J的切線交于二連接并延長(zhǎng)分別交-、 于 、二求證：. OB 證明：過(guò)作的平行線分別交、于-、，則 ：. 取中點(diǎn),連接、：、；、. 砂，一、D G O 四點(diǎn)共圓. LODG = LOPG，而由 MV/AV，有= 0BG . 匚化也，. /四點(diǎn)共圓. :.LQ GRODH 而 LO Dfi - LACH . LOGH = LACH OGHAC 而一是（的中點(diǎn)，廠是的中點(diǎn)，-. = O.V 例2.等腰梯形 中，止了/ ：八，： 分

3、別是 V，注二很的內(nèi)心，門是直線 工蘭上的一 點(diǎn)，丫 ；嚴(yán)，的外接圓交（八的延長(zhǎng)線于. 證明：亠 ：, APFC = 90D-LBCD = -(CBD + ACDB) 證明：-1- /-EAC + Z.C4 丘 EPEC，故 EFC P共圓， 則 LECP = LEFP - 90“，因此 LPAQ - LPCQ - 90 - LDCE , 而 汽淇“肘財(cái)加口.f .公二訂.m上: 所以,丄二心匸二二,由此，二 . 例3.在九心沉中，?。?，二；，內(nèi)心為，內(nèi)切圓在* 邊上的切點(diǎn)分別為/-，-,設(shè)；是 關(guān)于點(diǎn)/的對(duì)稱點(diǎn)，丄是丄關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn). 求證:幾八亠么四點(diǎn)共圓. B C C 2 所以 x 即

4、同 都在以廠為圓心的同一個(gè)圓周上 GD MD ME XD 由于八匚=泣則半周長(zhǎng) 于是 匯,丿廠 :，一 :：.-： .、； C、D使得C、D、X依次 H為GX的中垂線與BD的 熟知：宀 rI 所以二 進(jìn)而 r： - 在GX上取點(diǎn) X,使/ GFD= / DFX,在XF上取 W 使CF/ GW 例4.設(shè)A、B為圓 位于同一直線上，且 交點(diǎn)證明：X、F、 證明：設(shè)0為圓心， / XOAs XAM, 0、M、C、D四點(diǎn)共圓. / XMO = / OCD = / ODC = / OMC. / CMG = / GMD . 在CM上選取一點(diǎn) E使MX/ DE,貝U MD = ME CG CM CM CX

5、r上兩點(diǎn)，X為r在a和b處切線的交點(diǎn)，在圓 r上選取兩點(diǎn) CA丄BD，再設(shè)F、G分別為CA和BD、CD和AB的交點(diǎn)， G、H四點(diǎn)共圓. ABQXO = M . OXXM = XA2 = XCXD. 又 n md -穢亠寒F 所以 三耳Ms nVW，且相似比為 2， 。又 ADBIs AAT7 是的中點(diǎn) PL=P1 證明：設(shè)直線川 交 皿匚的外接圓于點(diǎn) 廠，易知是 的中點(diǎn)，記 的中點(diǎn)為，則 丨.設(shè)點(diǎn)廠在直線上的射影為-， ab-C rr 2b X EF交MN于P，0、H分別為三角形的外心與 XD XrF XF XfC 由 DG FG 心QG 得 CGXD = XCGD. 由上面兩式得 =，故X

6、= X. / GFD= / XFD. 又= 1 和/ XPB = / CDF 1 . H 和口 B在 CX的同一側(cè). 設(shè)H為直線BF與厶GFX外接圓的交點(diǎn)，貝9 / H XG = / H FG = / H FX = / H GX. H G = H X, H = H . X、F、G、H四點(diǎn)共圓，得證. 注：上述證法比較麻煩，本題實(shí)質(zhì)如下： 易知:仁沙：”氏匚為調(diào)和點(diǎn)列，又丄.-， 可得為m的平分線， 設(shè)=.：外接圓交于工點(diǎn)， 由雞爪”定理知，-，從而廠在的中垂線上， 本題得證. 例5.A ABC中，E、F分別為 AB、AC中點(diǎn)，CM、BN為高, 垂心.求證：AP OH. 證明： 由/ BMC =

7、 / BNC = 90 知 B、C N、M 四點(diǎn)共圓. AM AB = AN AC. 又 AE = AB, AF = AC， AM E = AN AF,即卩 E、F、N、M 共圓. 注意到由 / AMH = / ANH = / AEO = / AFO = 90 知 AH、A0分別為 AMN、 AEF外接圓的直徑. 過(guò)AH中點(diǎn)H與A0中點(diǎn)0分別為 AMN與厶AEF的外心，且易知 OH/ OH. 只需證AP OH，只需證A、O AMN、 AEF外接圓的等幕點(diǎn)即可. 注意到A為兩圓公共點(diǎn)，而由 E、F、N、M共圓知 PM PN = PEPF. 故P也為等幕點(diǎn). 綜上所述，原命題成立. 例6.設(shè) AB

8、C內(nèi)接于圓O,過(guò)A作切線PD，D在射線BC上, P在射線DA上，過(guò)P作圓O的割線PU, U 在BD 上, PU交圓O于Q、T且交AB、AC于R、S.證明：若 QR = ST,貝U PQ = UT. 證明：過(guò)0作OKI PU = K, OF丄BU = F,連結(jié) AK延長(zhǎng)交O O于另一點(diǎn) E, 過(guò) C 作 CH/ PU 交 AE 于 G,交 AB 于 H，連 GF、OP、OU、0A、0E. 由垂徑定理知 BF = FC QK = KT,且 QR = ST. RK = KS即 K 是 RS的中點(diǎn)，且 CH/ PU . = = ? = = 1 ? HG = GC. 由中位線定理知 FG/ BH. /

9、FGE= / BAE = / BCE?F、G、C E 共圓. / EFC= / EGC= / AGH = / UKG. / EFO+ / OKE= / OFC+ / CFE+ / OKE =90 (/ UKG + / OKE) =90 90 = 180 . K、O、F、E四點(diǎn)共圓 又 / OKU + / OFU = 2 X 90= 180 ； K、O、F、U四點(diǎn)共圓 結(jié)合知K、O、F、E、U五點(diǎn)共圓， / KUO = / KEO. 又 PA 為 O O 切線？ OA丄 PA,且 OKI PU ? / KEO= / KAO. / KPO = / KUO? OP = OU . 又 OK PU, P

10、K = UK. 而 QK = TU, PQ = UT,得證. P點(diǎn)為圓心、PD為半徑的圓證明： C點(diǎn)在 BMP外接圓與O P的根軸上. S 例、AC為O O切線，ADE為一條割線，M為DE中點(diǎn)，P為一動(dòng)點(diǎn)，滿足 M、O、P三點(diǎn)共線，O P為以 證明：作PR丄AC,其延長(zhǎng)線交 BC延長(zhǎng)線于S. / / OMA = / OBA = / OCA = 90 , A、C、O、M、B五點(diǎn)共圓. / BMP = / BMA + 90 = BCA+ 90 =80 7 RSC B、M、P、S四點(diǎn)共圓. C對(duì)厶BMP外接圓的幕為 一CBCS= 2CACR. 而C對(duì)O P的幕為 CP2 PD2 = CP2 (AP2

11、 AD E) = CP2- AP 2 + AC 2 =CR2 + RP2 PR2 AR2 + AC2 =CR2 (CR+ CA) 2 + CA2 =2RCCA. C點(diǎn)對(duì)O P的 冪等 于C點(diǎn)到 BMP外接圓的幕. C點(diǎn)在上述兩圓根軸上，得證. 例8.設(shè)HABC的垂心，D、E、FABC的外接圓上三點(diǎn)，使AD/ BE/ CF, S、T、U分別為D、E、 F關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)求證： S T、U、H四點(diǎn)共圓. 證明： 先證引理：ABC外接圓O O與它的九點(diǎn)圓 O V關(guān)于 ABC的垂心H位似，且位似比為 . 引理的證明：設(shè) AH、BH、CH分別交邊 BC、CA、AB于0、E、F,交O O于D

12、、E、F. 易矢知 HD = HD : HE = HE： HF = HF. DEF與厶DEF關(guān)于H位似，位似比為 . DEF外接圓與 DEF外接圓關(guān)于 H位似， 即O 0與O V關(guān)于H位似，位似比為 . 回到原題：設(shè) BC、CA、AB中點(diǎn)分別為 X、丫、乙過(guò)D作DP/ BC, 設(shè)PH中點(diǎn)為W. 易知SD丄BC,設(shè)PS交BC于X,則由SD關(guān)于BC對(duì)稱知 SX = XD. X為BC中點(diǎn)，即X與X重合，即P與S關(guān)于X對(duì)稱. 交O 0于P, 同理P與U、T分別關(guān)于Z、丫對(duì)稱. 四邊形USHT與四邊形ZYWX對(duì)稱. 由引理知Z、X、Y、W四點(diǎn)共圓. 例9.給定銳角 動(dòng)點(diǎn)P,延長(zhǎng) 解：Q點(diǎn)軌跡為 ABC的

13、九點(diǎn)圓. 如圖，取 AH、BH、PH的中點(diǎn) M、N、K, 延長(zhǎng)AD交 ABC外接圓于 G. 則熟知HD = DG, 連接 KN、MN、KD、PB、PG. 因?yàn)楦魅≈悬c(diǎn)有 / NKD = / BPG, / NMD = / BAG. K、N、M、D四點(diǎn)共圓. 又Q在厶APD的外接圓上， PHHQ = AHHD，即 2KH HQ = 2MH H D. KH HQ = MH HD. 于是有K、D、Q、M、N五點(diǎn)共圓. ABC,過(guò)A作BC的垂線，垂足為 D，記 PH交厶APD的外接圓于 Q.求Q點(diǎn)的軌跡. ABC的垂心 在 ABC的外接圓上任取一 U、T、H、S四點(diǎn)共圓，得證. 又厶DMN外接圓為九點(diǎn)圓

14、，所以 Q在九點(diǎn)圓上. 反之，在如上所述九點(diǎn)圓上任取一點(diǎn)Q,設(shè)QH延長(zhǎng)線交 ABC外接圓于P,取PH中點(diǎn)R,同上可證 R 在九點(diǎn)圓上. 故 2RH HQ = 2 MH HD,即卩 PH HQ = AH HD . 因此0在厶APD外接圓上得證. 例10.在厶ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，設(shè) Oi、O2分別是 ABD、 ACD的外心，0是經(jīng)過(guò)A、0i、O2 三點(diǎn)的圓的圓心求證： O D丄BC?AD恰好經(jīng)過(guò) ABC的九點(diǎn)圓心. 證明：連AOi、BOi、AO2、CQ,作AB、AC垂直平分線交于點(diǎn) 0. / / A02C= 2/ADB = / AOi B, AOi = BOi, AO2 = CO2, 二

15、 AOi B AO2C.二 AOiO2s ABC. / AOiO = i80 AOiB = i80 Z AO2C= i80 AO2O. 故O在O O 上, O是厶ABC的外心，故 AOOsA AOiB. 又 Z ADB = Z i, Z OiAB = Z OAO = Z OOA. OD丄 BC? Z BAOi = Z ADO ? Z ADO = Z O DA ?A、O 、O、D 共圓 ? Z AO O = i80 Z ADO = Z ADB + Z ODC ? Z ADB = Z ODC (v Z AO O = 2Z ADB ) 如圖，設(shè) OH與AD交于點(diǎn)K,作BC中垂線OM，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)

16、 M, OM與BC交于點(diǎn)L 由 Z ADB = Z ODC? DL = LM ? OM = 2OL = AH ? AKH MKO ? OK = KH ?K為九點(diǎn)圓心 ？ AD經(jīng)過(guò) ABC的九點(diǎn)圓心. 綜上所述，命題得證. 例ii. :；內(nèi)接于IU,自！作 二的切線,又以為圓心，I為半徑作 刁交直線；于 蟲(chóng)勺，交直線于 則四邊形-的四條邊所在直線分別通過(guò) 弘卡二的內(nèi)心及三個(gè)旁心. 以下，我們?nèi)园?二 情況給岀圖形和解答(其實(shí)在所有情形下結(jié)論都成立) 證明：、如圖，設(shè)的平分線交于，因, 則點(diǎn)：J關(guān)于直線二對(duì)稱，又因一在匕上, 則 ；:因此共圓, 由于為E的切線，則，又由一 I 所以 因此.為二二叮

17、的內(nèi)心. 1 、據(jù)條件知，為矩形，設(shè)角平分線川交直線坊d于人，連6 , 由(1)知,點(diǎn)關(guān)于直線.；對(duì)稱，故 u. :上；：| 則為的外角平分線，因此 為人邊外的旁心. 、設(shè)二上的外角平分線交直線 -I于，由：-，則 念聽(tīng)習(xí).共圓. 與色-LAExl - LABI - LE1B A + BC 申打 LFAl - 90 - A/AF 2 故-共線，因此丄為邊外的旁心. | ；、設(shè) 二二m 的外角平分線交直線于，連漢，因一：打 故M弼共圓4仏巧“仍厶的 斯-LBIEi =店. 所以共線，即廠 是三的外角平分線，因此為匸 邊外的旁心. 例12.三角形 宀 中，乳 s. 是的中點(diǎn)，.分別是 門:邊上的點(diǎn)

18、, 且ME二二兀 &,的外接圓交線段 r |于若點(diǎn)門滿足：匸 沁、2 證明：二丁 證明：在圓二中，由于弦丄三二心T故圓周角 設(shè)點(diǎn)在邊煜上的射影分別為 則“， 則厶 而 因此，宀與-分別共圓, 于是 H :汀. / - ；. . -/ (. 設(shè)?。?的內(nèi)心為今證J，四點(diǎn)共圓： 連沖r Sr-因分別共圓， 則止/V汀-1冷-九朮廠- f EPRA = LPCA.LPA.C. LPHC. 所以農(nóng)為7音二 因?yàn)?C R LPBC - LPBI + LIBA, L1CB = - - LlBA, 2 2 故得:丁，因此，-四點(diǎn)共圓， A LHPC = LB1C = 90u + = 18OU- B, 于是-

19、 延長(zhǎng)交 曲二的外接圓于-則為該外接圓的直徑， 于是空丄比G丄圧：且廣，-朮-C 因此，點(diǎn)o是:飛所在圓的圓心，從而1為2P的切線. AC CT 延長(zhǎng) 交刁于T,則m，,所以,又由 Us和， AB BT BT CT 得，因-心=劇二故.，：. 延長(zhǎng)廠.1 / 到 :，使1 -=：，則* U -r為平行四邊形， LBTC = 180 - LBPC = LPBG BT _PB _ PB 由得“-. 由、得S濁“. 所以，厶RPG7丁RO LTPC,即 LBPM - LCPD. 三、鞏固訓(xùn)練 1* 為正三角形*的邊I上的任意一點(diǎn)，設(shè) 邑心二：與 St：的內(nèi)心分別為-,外心分別為 證明：如圖，據(jù)內(nèi)心性

20、質(zhì)，有 120q 0/)-25-120，得點(diǎn)q也在風(fēng)上，即 ，所以共圓，即點(diǎn)r在口 f上，而 即師五點(diǎn)共 圓. 此圓的圓心即為匚J 的圓心 、:I . 7. 汪意 A 的平分線也是.的中垂線，即 L 共線，因此 LDip, - LDI.A +- LDlA + LACO, -120+ 30 -150； ? 同理有-J五點(diǎn)共圓，圓心為，因此氏蟲(chóng)迖 t厶，且一. 由于 LI.DK - 9，- 60，則 SDQ + 4DO： - 30 . 又在ADQ厶中，+-30.在ADO仏中，Dg + LDO山3住. 所以 Ll.DOLhQ DQD - LLDO2，于是 M,D0 ZQD . 從而- - ，由于在直

21、角三角形中，-， 所以有 24 ABC內(nèi)切圓與 BC切于K，AD是BC邊上的高，M為AD中點(diǎn)，MK與厶ABC內(nèi)切圓交于 K、N . 求證： BNC外接圓與 ABC內(nèi)切圓切于 N. 證明：設(shè)4 ABC關(guān)于/ BAC的旁切圓為 O Ia，半徑為a, ABC內(nèi)心為I，O I半徑為r， O Ia切 BC于 T, KI 交 O I 于 K、S,貝U = = , IaT/ IS （均垂直于 BC）, A、S、T 共線. / I為SK中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，SK/ AD, T、I、M共線. / = = = , IK/ IaT, M、K、Ia三點(diǎn)共線. 設(shè)O I關(guān)于點(diǎn)K、N切線交于 Q,則QI丄NK. 設(shè)QI交NK于R,則 / IB 平分/ ABC, IaB 平分/ ABC外角， / IBIa = 90 . 又 / IRIa = 90 , I、B、 同理I、R、C、Ia共圓， I、 -QB QC = QRQI. TQ丄 KN, I