導數(shù)參數(shù)問題(解析版文科)(20210326095713)

1、含參數(shù)導數(shù)問題、基礎題型：函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立;1此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令f (x)0得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法：第一種：分離變量求最值 -用分離變量時要特別注意是否需分類討論(0,=0, 0成立，則a=(1)求函數(shù)yf (x)的圖像在1處的切線方程;e(2)(I)f/(x)求y f (x)的最大值；設實數(shù)a 0，求函數(shù)F(x)f (x)定義域為0,1 -1 nx2af (x)在a,2a上的最小值xfj)ef/(1) 2e2函數(shù)yf (x)的在x1處的切線方程為:e

2、ec2c2e x 3ey e 2e2(x 1)，即 y(n)令Jx)0得xe當 x (0,e)時，f/(x)當 x (e,)時，f/(x)fmax (x)f (e)1e(川)a 0,由(2)知：0 , f(x)在(0,e)上為增函數(shù)0，在(e,)上為減函數(shù)F(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,)上單調遞減.F (x)在 a,2a 上的最小值 f min (x) min F (a), F (2a)F(a) F(2a) Elnf2 2當 0 a 2時，F(xiàn)(a) F(2a)0, fmin (x) F(a) Ina1當 2 a 時 F (a) F (2a) 0, fmin (x)F (2a) In

3、2a23、設a為實數(shù)，已知函數(shù) f(x) lx3 ax2 (a21)x.3(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)的極值.(2)若方程f (x)=0有三個不等實數(shù)根，求a的取值范圍(1)依題有 f(x) !x3 x2 ,3故 f xx2 2x x x 2 .由x,000, 222,f x+00+f x/極大值極小值/得f x在x 0時取得極大值f 00 , f X在x 2時取得極小值f 2 3(2) 因為 f xx2 2ax (a2 1) x (a 1) x (a 1),所以方程f x0的兩根為a- 1 和a+1,顯然，函數(shù)f (x)在x= a 1取得極大值，在x=a+1是取得極小值.因為方程f(x)

4、 =0有三個不等實根，解得 2 a 2且a1.1 23(a 2)(a 1)0,所以f(a 1)0,即 f(a 1) 0,3(a 2)(a 1)20,4、 方程x3 3x m 0在0,1上有實數(shù)根，則 m的最大值是 132f (x)-x (1 a)x 4ax 24 a5、 設函數(shù)3，其中常數(shù)a1(1)討論f(x)的單調性；若當x寸，f(x)0恒成立，求a的取值范圍。(1) f (x) x22(1 a)x 4a (x 2)(x2a)由a 1知，當x 2時，f (x) 0,故f (x)在區(qū)間(，2)是增函數(shù)；當2 x 2a時，f (x)0，故f (x)在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)；當x 2a時，f (

5、x)0,故f(x)在區(qū)間(2a,)是增函數(shù)。綜上，當a 1時，f (x)在區(qū)間(，2)和(2a,)是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)。(2)由(1 )知，當x0時，f (x)在 x2a或x0處取得最小值。f(2a) i(2a)3 (1a)(2a)24a 2a24 a4 32a3 4a224 a33f(0)24aa 1,a 1由假設知f(2a)0,即4a(a3)(a 6)0,解得 1a0成立，則 a=解：曾鬥邇i咸.辻珮商戰(zhàn)*曲所H從止門一粽上4E|1 r/42.已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)o2ax 2x 3 a.如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有a 0 ,f (x) 2x 3，顯然在上沒有零點

6、,所以a 0令4 8a 3 a 8a2 24a 4 0得a -當a-時，y f x恰有一個零點在1,1 上;2當f1 gf 1a 1 a 50 即 1 a5 時,零點，求a的取值范圍.2解：若y零點在1,1上;3 .721,1上有兩個零點時也恰有一個解得aa8a224a 4 0a 08a2 24a112a0112af 10因此a的取值范圍是a 1或3.設函數(shù) f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8，其中 a R。(1)若f(x)在x 3處取得極值，求常數(shù)a的值； 若f(x)在(,0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍。解：(I) f(x) 6x26(a 1)x 6a6(xa)(x 1).因f

7、(x)在x3取得極值， 所以f (3)6(3a)(3 1)0.解得a經(jīng)檢驗知當a 3時,x 3為f(x)為極值點(n)令 f (x)6(x a)(x 1) 0得x1 a,x21.3.當a 1時，若x (,a)(1,),則f (x)0,所以f (x)在(，a)和(1,)上為增函數(shù)，故當0 a 1時，f(x)在(，0)上為增函數(shù).當a 1時，若x(,1)(a,),則f (x)0,所以f(x)在(,1)和(a,)上為增函數(shù)，從而f (x)在(，0上也為增函數(shù).綜上所述，當a 0,)時，f(x)在(，0)上為增函數(shù)325.已知 f(x) ax bxcx在區(qū)間0,1上是增函數(shù)，在區(qū)間(,0),(1,)上

8、是減函數(shù),又2f(2)(I )求 f (x)的解析式；(n )若在區(qū)間0,m(m 0)上恒有f (x) wx成立，求m的取值范圍5.解：(I)f (x) 3ax2 2bx c，由已知 f (0)f (1) 0,c 0,3a 2bc解得0, b0,3a.22f (x) 3ax 3ax,13a3a332, a2,f(x)2x 3x2422(n)令 f (x) w x，即 2x3 3x2 x w 0 ,1 x(2x 1)(x 1) 0 ,0 w x w 或 x 1 .21 又f (x) w x在區(qū)間0, m上恒成立，0 m w -.26.已知x 1是函數(shù)f (x)m, n R, m 0 ,32mx

9、3(m 1)x nx 1的一個極值點，其中(I )求m與n的關系式；(ii)求f (x)的單調區(qū)間;(III )當 x1,1時，函數(shù)yf (x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3 m，求m的取值范圍.6.解(I) f (x)23mx 6( m 1)xn因為x 1是函數(shù)f (x)的一個極值點,所以f0,即 3m 6( m1) n 0,所以n3m 6(II )由(I)知,2f (x) 3mx6(m 1)x 3m 6 = 3m(x 1) x 12當m 0時，有1 1 -，當x變化時，f(x)與f (x)的變化如下表:mx,1 ? m1 2 m1三1 m11,f (x)00000f(x)調調遞減極小值

10、單調遞增極大值單調遞減2 2故有上表知，當m 0時，f(x)在 ,1單調遞減，在(1,1)單調遞增，在(1,)mm上單調遞減.2(III )由已知得 f (x) 3m，即 mx 2(m 1)x 20又m 0所以x22(m1)x20 即 x?(m1)x 0,x1,1mmmm設 g(x) x22(1-)x2其函數(shù)開口向上，由題意知式恒成立，mmg( 1)01 222044所以Jmm解之得m又m0所以m 0g(1) 01033即m的取值范圍為么,0310.已知函數(shù)f(x) x32 axx1, a R .(I)討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(U)設函數(shù)f(x)在區(qū)間 -,-內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.3

11、 310.解：(1)f (x) x3 ax2 x 1求導：f (x)23x 2ax 1當a2 3時， 0f(x)在R上遞增當a23 , f (x)0求得兩根為x即f(x)在 ,a & 3遞增,a 4a1 _3a y/a2_333遞減,a .a 33遞增3a a2 3 7(2)3 3，且 a2 3a Ja2 313_ 311設 a R，函數(shù) f (x) ax3 3x2.(I)若x 2是函數(shù)y f (x)的極值點，求a的值；(U)若函數(shù)g(x) f(x) f (x)，x 0,2，在x 0處取得最大值，求a的取值 范圍.11解：(I) f (x) 3ax2 6x 3x(ax 2).因為x 2是函數(shù)y

12、 f(x)的極值點，所以f (2)0,即6(2 a 2)0，因此a 1 .經(jīng)驗證，當a 1時，x 2是函數(shù)y f (x)的極值點. 4分(U)由題設，g(x) ax3 3x2 3ax2 6x ax2(x 3) 3x(x 2).當g(x)在區(qū)間0 ,2上的最大值為g(0)時，g(0) g(2), 即 0 20a 24 .故得 a - . 9 分5反之，當a -時，對任意x 0,2,5g(x) - x2 (x 3) 3x(x 2)53x(2x2 x 10)(2x 5)(x 2) 13(I )討論f(x)的單調性；(n )若當x0寸，f(x)0恒成立，求a的取值范圍。15.解： (I) f (x) x 2(1 a)x 4a (x 2)(x 2a)由a 1知，當x 2時，f (x)0，故f (x)在區(qū)間(，2)是增函數(shù);當2 x 2a時，f (x)0,故f (x)在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)；當x 2a時，f (x)0，故f (x)在區(qū)間(2a,)是增函數(shù)。綜上，當a