§6-3厄米算符的對易關系

1、易關系 一算符的一般運算規(guī)則和對易式1 、算符之和與積1 )單位算符I對于任意的波函數(shù)，有I .(6. 42)2 )算符A和 E?相等如果對于任意的波函數(shù)A R ,則有A瓦(6. 43)3 )算符?與 E?之和A B對于任意的波函數(shù)，有(A B A B .(6. 44)顯然：ABBA,(滿足交換律)A (B C (A B) C?,(滿足結(jié)合律)可證：兩個線性算符之和仍為線性 算符.兩個厄米算符之和仍為厄米 算符4 )算符?與 E?之積ABB對于任意的波函數(shù)，有(AB) A(B ).(6. 45)問題：兩個厄米算符之積是不是厄米算 符？研究兩個算符作用是否與次序有關？2、對易式及其滿足的恒等式算

2、符之積一般并不滿足交換律，即AB BA 0.對易式的定義A,用RA.(6. 46)若A,肉0，則稱算符A與E?對易； 若?, B 0,則稱算符A與I?不對易 兩個厄米算符之積一般并不是厄米算符，除非這兩個厄米算符可對易。 具體而言，若R A, B? 則有(A?B?) B? A? B?A?,(6. 47)只有當A, B 0或BA AB時，才有(A?B?)A?B?,這時兩個厄米算符A與B的積AW才是厄 米算符。 對易式 滿足下列 恒等式 ： A?, B? C? A?, B? A?, C? , A?, B?C? A?, B?C? B? A?, C? ,(6. 48) A?B?, C? A?, C?

3、B? A? B?, C? .3、逆算符A?1若由A能夠唯一地解出，則有若算符A的逆算符A 1存在，則有AA1I可以證明，若A與R的逆算符均存在，貝U 有(AB) 1 E?1.(6. 49)二學的基量子力本對易式1、動量算符的各個分量之間可對易p?x, p?y 0,p?y, p?z 0,p?z, p?x 0. 由坐標表象中的動量算符為 p? i 立即可證 .2、 量子力學的基本對易式 （位置算符和動量 算符各分量之間的對易式， 重要 ?。﹛ , p i ,其中 , x, y, z 或 1, 2, 3 ，這里用了 克羅內(nèi)克符號可見，動量算符的各個分量只與位置算符 的不同分量對易X, ?y0JX,

4、?z0,y, ?x0,y, ?z0Jz, ?x0,z, ?y0；J動量算符的相同分量之間是不可對易的X, ?x y, ?y z, ?z i .凡與經(jīng)典力學量相對應的力學量之間 的對易關系，均可由此導出。顯然，克普朗 常量h在力學量的對易關系中起著關鍵性 的作用。證明：考慮坐標算符X和動量算符的X分量XpxxPxXi (x ) i i x.Xx將以上兩式相減，得(X?x?xX) i .由于是體系的任意波函數(shù)，所以有xPx ?xX i .其它等式與此類似證明。(典型證法，要掌握)三 角動量算符各分量之間的對易式1、角動量算符各分量之間垃,垃o,L?y,弓0,L?z,L?z0,垃,引i L?z,L?

5、y,L?zi l?x,l?Z,L?di L?y(6. 51)2、角動量算符平方與各分量之間L2, L? 0.( x, y, z).(6. 52)3、角動量算符各分量與空間坐標分量之間L?x,x 0,I?x,y i z,L?y, xi z,L?y, y 0,L?y, z i x,(6. 53 )L?z, x i y,L?z, y i xL?z, z 0.由以上各式可以歸納出以下規(guī)則： 從左到右， 以 x y z x 依次循環(huán)指標為正，任一指標“錯 位”則為負，相同指標則為零。4、角動量算符各分量與動量坐標分量 之間有類似( 6. 53 )的關系。5、若令L? L?x i L?y,(6. 54)則

6、有L?z, L? L? ,(6. 55)L? , L? 2 L?z.(6. 56) 例題 21. 2 試證明對易式 L?x, y i z. (要 掌握) 證明 利用基本對易式 (21. 66) 和對易式 恒等式 (21. 64) ，可以得到L?x, y yp?z zp?y, yyp?z, y zp?y, yyp?z, y y, y p?z zp?y, y z, y p?yzp?y, yi z. 例題 21. 3 試證明角動量算符三分量之間 的對易式 (21. 67) (要掌握) 。 解 利用基本對易式 (21. 66) 和對易式恒 等式(21. 64) ，可以得到L?x,L?y L?x L?y

7、 L?y L?x(yp?z z p?y ) (z p?x xp?z) (zp?x xp?z)(yp?z zp?y) y p?z z p?x yp?zxp?z zp?y zp?x zp?yxp?zzp?xyp?z zp?xzp?y xp?zyp?z xp?zzp?y p?z zy p?x z p?z x p?y zp?z yp?x p?z zx p?y(zp?z p?z z) ( x p?y yp?x) i L?z ,同理可得：L?y,L?z L?y L?z L?z L?y i L?x ,L?z, L?x L?z L?x L?x L?z i L?y .以上三個關于分量的對易式，在形式上可以 合寫

8、成一個矢量公式：? L? i L,(21.76)上式可以看成是角動量算符的定義式，是經(jīng) 典物理學中根本不可能存在的關系式。在經(jīng) 典物理學中，所有物理量都是可對易的，因 此對任何矢量A總有AA = 0.然而，在量子力學中，角動量算符L?的各分量互不對 易，滿足式(21. 76)，由此決定了角動量的 一系列異乎尋常的性質(zhì)。 6-4 共同本征函數(shù)（量子力學中的核心問題）一不同力學量同時有確定值的條件和共同本征函數(shù)通常，對大量的、完全相同的、均處在 用波函數(shù)描述的狀態(tài)體系的集合多次測量力學量A,然后對所得的結(jié)果求平均，則 將會得一個平均值。每一次測量的結(jié)果將圍 繞平均值有一個漲落a2 （A A）2*（

9、? A）2 d .(6. 57)(6. 58)對于任意兩個力學量 A和B,普遍的不 確定關系為 (省略證明)1 A B -A, B.2(6. 59)可見：如果A Bl o,則一般來說 A和B不可能同時為零，即A與B不 可能同時具有確定值，或者說，它 們不可能具有共同本征態(tài)。如果A, B=0，則可以找到使A=0和 B=0同時得到滿足的態(tài)，即可 以找到這兩個算符的共同本征態(tài)。可以證明，一組算符具有共同本征 函數(shù)的充要條件是，這組算符中的 任意兩個算符都可以對易。例、動量算符？的三個分量Px，Py，?z中的 任意兩個算符都可以對易，它們的共 同本征函數(shù)是p(r)Px(x) Py(y) Pz(z)1e

10、i (x Px yPy ZPz)/(2嚴(2嚴 eiPr/相應的本征值是P（ P x， Py， Pz ） O二 角動量(L2, ?z)的共同本征函數(shù)球諧函數(shù)1、角動量z分量?的本征值方程以及正交 歸一化的本征函數(shù)Lz m() mm(),(6. 60)1m( )2 em , (m 0,1,2,)(6. 61)其相應的本征值為Lzm . (m 0, 1, 2,)2、(l?,l?z)的共同本征函數(shù)考察L的本征值方程1?丫(，)2y(,),(6. 62)9*I?的本征值，是待定的無量綱參量儼的本征函數(shù)從?和Iz的表達式IZsin22I?(sinsinL?zi可以看出，本征值方程(6. 62)可以用分離

11、變量法來求解。取其本征函數(shù)為Y( , )( ) m().(6. 63)將它代入本征值方程(6. 62)，利用Lz的本征值方程，可得關于函數(shù)()的方程為丄2的衛(wèi)sin ddm2sin2為了保證上述方程解的有限性，待定參量 滿足1(1 1), (1 0,1,2,)通過計算，可以得到(化的正交歸一化共同本征函數(shù)為Yim(Pm(cos )eim)(1)m211 (1 |m|)!)(1)彳帀(6. 65)其中的Pm(cos )為關聯(lián)勒讓德函數(shù)，Y|m(,)為球諧函數(shù)（見表6 - 1）表6 - 1 球諧函數(shù)丫（,）總之，(i?,Lz)的共同本征函數(shù)是球諧函數(shù)L2 丫化,)|(|1) 2Y|m(,),(6.

12、6LzY|m(,)m Y|m(,),(6. 620 d 0sind Y|m( , )*Y|m(,)| mm,(l 0,1,2,； m |,|1, , | 1, |)(6.6Y|m(,),它們滿足以下兩個本征值方程以及 正交歸一化條件：其中L2和Lz的本征值都是量子化的，l稱為軌道量子數(shù)或角量子數(shù)，而m稱為磁量子數(shù)。對于給定的軌道量子數(shù)I，L2的本征函數(shù) 是不確定的，由于m =l, l 1, , l，因此共有 (2l 1) 個簡并態(tài)，這些簡并態(tài)由Lz的本征值 m 來區(qū)分。力學量完全集和本征函數(shù)的完全1、解除簡并？一個力學量A,的一個本征值對應于若 干個本征函數(shù)，因此只利用 Ai的本征值不足 以完

13、全確定波函數(shù)；找力學量A?2 （與A獨立而又與A對易）， 得A和A的共同本征函數(shù)，仍然是簡并的？找力學量A3 （與A1和A?2獨立又對易）得 A, A和A?3的共同本征函數(shù)2、力學量完全集假定?（, A2,）是一組彼此獨立而又 相互對易的厄米算符，它們的共同本征函數(shù) 記為 ，其中 是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號 （如丫代，）。如果在給定一組量子數(shù) 之 后，就能夠完全確定體系的一個可能狀態(tài)， 則稱這一組力學量（Al,A2,）構成了體系的 一組力學量完全集。例、一維諧振子哈密頓算符H?的本征函數(shù)全部是非簡并的，因H本身就是力學 量完全集，自由度為1.共同本征函數(shù)的正交歸一性表示力學量的算符必定是厄米算符，

14、而厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)是彼此正交的。因此，力學量完全集的共同本征函數(shù)具有正交性，對于已經(jīng)歸一化的，有(,),(6. 69)態(tài)疊加原理如果一個體系剛好處于它的力學量 完全集的共同本征態(tài)，則力學量A的取值就是相應的本征值A .如果體系所處的狀態(tài)不是力學量A的共同 本征態(tài)，而是若干個共同本征態(tài)的線 性疊加，即c1 12 2環(huán) n，(6. 70)則按照態(tài)疊加原理可以認為，處于 態(tài)下的體系是部分地處于i態(tài)，部分 地處于2態(tài)部分地處于n態(tài)。由 于力學量的取值只能是其本征值，所 以只要式(6. 70)中存在某個項，則相應的本征值A就是A的一種可能 取值，即力學量A的取值既可以是Ai, 也可以是

15、A2, A3, , An .希爾伯特空間與波函數(shù)統(tǒng)計詮釋 包含哈密頓量在內(nèi)的力學量完全 集的共同本征態(tài)，構成了量子體系的態(tài) 空間的一組完全的基矢，即體系的任何 態(tài)均可用它們來展開。于是，力學量完 全集的共同本征函數(shù) 所張開的空間， 就構成了體系的一個完全的態(tài)空間，稱 為希爾伯特空間。如此，體系的任何一個狀態(tài)均可用希爾伯特空間中的矢量來描寫，即 用力學量完全集的共同本征函數(shù)(設量子數(shù)是離散的)來展開，即C ,(6. 71)則共同本征函數(shù)系必須是一組完全的函數(shù)系。利用的正交歸一性，可以得到式(6. 71)中的展開系數(shù)為c(,)* d .(6. 72)如果是歸一化的波函數(shù)，則有c 2 1.(6. 7

16、3)如果是連續(xù)變化的，則可將以上各式中求和化為積分d .按照態(tài)疊加原理，展開式(6. 71)表示該體系可以部分地處在展開式中所包含的共同本征函數(shù)系的任何一個態(tài)中。展開系數(shù)c的模方表示態(tài)部 分地處于 態(tài)的概率，或者說，表示在態(tài)下測量力學量A得到A值的概率四狄拉克符號狄拉克符號特點：運算簡捷，無需采用 具體表象。微觀體系的狀態(tài)：用希爾伯特空間中的一個矢量)來表示，稱為 右矢(ket) 在右矢內(nèi)標上某種記號，可表示某個特 殊的態(tài)。對于本征態(tài)，常把本征值或相應的量 子數(shù)標在右矢內(nèi)。例、用|n表示能量本征態(tài)。左矢(bra) |:表示右矢的共軛空間中的一個抽象態(tài)矢態(tài)矢I與態(tài)矢I 的內(nèi)積記為（I ）,于是有

17、丨廣I ）.| ）與|正交：| ） = 0 ;）為歸一化矢：丨1。正交歸一性設k和j為力學量完全集F的 離散的本征態(tài)，則它們的正交歸一 性表示為(6. 74)例題21.4 求粒子處于北叫,）態(tài)時角動量 的x分量和y分量的平均值Lx，Ly以及l(fā)X，Ly.解由于Lx，Ly與?不對易，所以盡管球諧 函數(shù)Yim(,)是L與Lz的共同本征函數(shù)，但 Yim(,)卻并不是?x和L?y的本征函數(shù)。為了求 岀Lx和Ly的平均值，我們利用對易關系LyLZ I?z?y i ?x,可以得到Lx Y|m( , )* LxY|m( , ) d1 Y|m*LyLzY|mdY|m* LzLyY|md i1 Y| m*L?y(

18、l?ZY| m)d(LzY|m)*?yY|md Y|m*Ly(m Y | m)d(m Y| m)* L?yY| md -m Y|m*Lydm Y | m*L?yY | md 同理可得Ly 0.由于坐標x與y的對稱性，因此有Lx L：,再由I?Ly ?可得Lx丄(L2L2)丄I (I 1) 2 m2 22 21 2 2 2 (I2 I m2) 22例題21. 5 已知一量子態(tài)的波函數(shù)為 彳丫3（，） |Y2（，） f 丫1 1（）,試求態(tài)中角動量L2和Lz的可能取值、概率以及L2和匚.解由于 是由L2和Lz的共同本征函數(shù)球諧函數(shù)疊加而成的，而且其展開系數(shù) 分別為：c3,i213、空2213, q

19、, 11/3,因此由L2Y|m( , ) l(l 1) 2 丫|m(,)和LzY|m( , ) m Y|m(,)可得，態(tài)中角動量的可能取值及其概率Clm2分別為：c3,1丫3 :L2 12 2,Lzc2,2丫夕:L2 6 2,Lz 2 ,c1, 1丫11 : L2 2 2,Lz ,所以，態(tài)的角動量的平均值L2和匚分另為：L2 12 26 2 4 2 2 1 74 29999Lz)9119 6 - 5力學量隨時間的變化 守恒量與對稱性體系的哪一個力學量是守恒的？一力學量平均值隨時間的變化在波函數(shù)(r, t )所描寫的量子態(tài)中，力學量A的平均值A d *(r,t)A (r,t).(6. 75)通常

20、是時間t的函數(shù)( 因為 (r, t )是時間t的函數(shù)，A也可能顯含時間t，所以A通常是時間t的函數(shù))。求A隨時間的變化率?A對時間的微商為dAdtd*Ad -Att(6. 76)由薛定諤方程-H? 和-(H?) t it i代入式(6. 76)中，可得dAd水A*-ddtt i(6.77)因為H?是厄米算符(d(H? yAd代入式(6. 77)可得dAd丿丄dtidt或dAdtJtiH*(AH? H?A),1id (H? )*A .H )，有(6. 78)如果力學量A不顯含時間t (?0 ),竽麗.(6. 79)如果力學量A滿足彳0和A, F? 0,dA ，(6.0)即力學量A的平均值不隨時間

21、改變。守恒量 if 0 和A, H 0, or dA otdt則力學量A稱為體系的一個守恒量。例、哈密頓量不顯含時間若體系的哈密頓量H不顯含時間t，總有H?, H 0,二H是體系的守恒量，體系的能量 是守恒的。例、自由粒子T H? p2/2m,?, H? 0, L?, F? 0I動量和角動量都是守恒量。例、在中心力場中運動的粒子T H ?2/2m V(r), I?, R 0,p, H? 0.二角動量是守恒量，而動量卻不是 守恒量的意義： 無論在什么狀態(tài)下，量子體系的守恒 量的平均值和概率分布都不隨時間 改變。 好量子數(shù)：如果 初始時刻體系處在守恒量 A 的 本征態(tài) ，則隨著時間的推移，體系將

22、保持在該本征態(tài)， 守恒量 A 總是具有 確定值 。在這種情況下，守恒量 A 的 量子數(shù)稱為 好量子數(shù) 。 如果初始時刻體系并不處在守恒量 A 的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不會是 A 的本征態(tài)。在這種情況下， 盡管守恒量 A并不具有確定值，但守恒量A的觀測值的概率分布卻不再隨時間而改變。量子體系的 守恒量 與定態(tài)守恒量 是體系的一種 特殊的力學 量，它與體系的哈密頓量對易；守恒量 在一切狀態(tài) （ 不管是否是定態(tài) ） 下的平 均值和概率分布都不隨時間改變。定態(tài) 是體系的一種 特殊的狀態(tài) ，即 能量本征態(tài)；在定態(tài)下， 一切不顯含時 間 t 的力學量 （不論其是否是守恒量 ）的 平均值和測值概率分布都不隨

23、時間改 變，這正是稱之為定態(tài)的原因。守恒量與對稱性經(jīng)典力學中守恒定律與對稱性的密切關系。體系具有空間平移不變性或空間均甸性 體系的動量守恒；空間轉(zhuǎn)動不變性或空間各向同性 體系的角動量守恒；時間平移不變性或時間均勻性 體系的能量守恒。在量子力學中，對于一個體系的對稱性 的仔細分析，可以有助于了解體系的總體性 質(zhì)，發(fā)掘?qū)珉[藏的守恒量，得出一些非常重 要的結(jié)論，而避免嚴格地求解薛定謂方程 21 - 6 量子力學的基本框、量子理論基礎1、熱輻射k普朗克量子假說：物體發(fā)射或吸收電磁輻射只能以“量子”方式進行，每個能量子的能量 為 h。2、 光電效應愛因斯坦光子假說光和粒子相互作用時表現(xiàn)出粒子性，每一個光

24、量子的能量E與輻射頻率 的關系 E h 。3、康普頓效應h光量子具有動量，p E/c 在定量 上是正確的；在微觀的單個碰撞事件中，動量和能量守恒定律仍成立。4、玻爾理論原子具有離散能量的定態(tài)，兩個定態(tài) 之間的量子躍遷的概念以及頻率條 件：h En Em 5、德布羅意的波粒二象性假設 德布羅意波-物質(zhì)波de Broglie relati onEp1、量子力學的基本框架1、量子系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù)描述。波函數(shù)的概率詮釋(r)|2 x y z :在r點處的體積元d x y z中找到粒子的概率。態(tài)疊加原理女口 1,2, , n,等都是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加態(tài)c1 1 2 2cn ncn n也是這個體系的一個可n能狀態(tài)，2、描寫物理系統(tǒng)的一個力學量，對 應于一個線性厄米算符